Нескінченно малі функції.

Визначення.Функціяf(x) називаєтьсянескінченно малоюприха, деаможе бути числом або однією з величин, +або –, якщо.

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прямує аргумент х. При різних значенняхафункція може бути нескінченно малою чи ні.

Приклад.Функціяf(x) =xⁿє нескінченно малою прих0 і не є нескінченно малою прих1, тому що.

Теорема.Для того, щоб функція f(x) при мала границю, рівну А, необхідно й достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

де – нескінченно мала при(при.

Властивості нескінченно малих функцій:

1. Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

2. Добуток фіксованого числа нескінченно малих функцій при теж нескінченно мала функція при .

3. Добуток нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х=ає нескінченно малою функцією при .

4. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, границя якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доведення деяких теорем про границі, наведених вище.

Доведення теореми 2.Представимо,, де

, тоді

A+B= const,– нескінченно мала, значить

Теорему доведено.

Доведення теореми 3.Представимо,, де

, тоді

,і– нескінченно малі, значить

Теорему доведено.

Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.

Визначення.Границя функціїf(x) приха, деа– число, щодорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числаМ>0 існує таке число>0, що нерівність

виконується при всіх х, що задовольняють умові

Записується .

Властиво, якщо в наведеному вище визначенні замінити умову наf(x)>M, то одержимо:

а якщо замінити на f(x)<M, то:

Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати в такий спосіб:

axaxax

Визначення.Функція називаєтьсянескінченно великою приха, деа– число або одна з величин, +або –, якщо, деА– число або одна з величин, +або –.

Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою.

Теорема.Якщопри(якщо ) і не обертається в нуль, то

Порівняння нескінченно малих функцій.

Нехай ,і– нескінченно малі функції при . Будемо позначати ці функції,івідповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати за швидкістю їхнього спадання, тобто за швидкістю їх прямування до нуля.

Наприклад, функція f(x) =x¹⁰прямує до нуля швидше, ніж функціяf(x) =x.

Визначення.Якщо, то функціяназиваєтьсянескінченно малою вищого порядку, ніж функція.

Визначення.Якщо, тоіназиваютьсянескінченно малими одного порядку.

Визначення.Якщото функціїіназиваютьсяеквівалентними нескінченно малими. Записують.

Приклад.Порівняємо нескінченно малі прих0 функціїf(x) =x¹⁰іf(x) =x.

тобто функція f(x) =x¹⁰– нескінченно мала вищого порядку, ніжf(x) =x.

Визначення.Нескінченно мала функціяназиваєтьсянескінченно малою порядку k відносно нескінченно малої функції, якщо границяскінченна й відмінна від нуля.

Однак, слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення не має границі, то функції непорівнянні.

Приклад.Якщо, то прих0, тобто функція– нескінченно мала порядку 2 щодо функції.

Приклад.Якщо, то прих0не існує, тобто функціяінепорівнянні.