Відносини й функції.

Визначення.Упорядкованою парою(a, b) двох елементівaіbназивається множина {{a},{a,b}}.

Для будь-яких елементів a, b, c, dсправедливе співвідношення:

Визначення.Декартовим добутком множин А иВназивається множина всіх упорядкованих пар (a, b), деаА,bB.

Декартовий добуток прівних множин А буде називатисяп-имдекартовим степенеммножини А і позначаєтьсяАⁿ.

Визначення.n-мірним відношенням Rна непорожній множині А називається підмножинаАⁿ. ЯкщоR–n-мірне відношення на множині А і (а₁,а₂,…а_n)R, то кажуть, що відношенняRвиконується для елементіва₁,а₂,…а_n, і записуютьR а₁а₂…а_n. Якщоn= 2, то таке відношення називаєтьсябінарним.

Для бінарного відношення замість загального запису Ra₁a₂застосовують записа₁Ra₂.

Властивості бінарних відносин.

Визначення.Добутком двох бінарних відносинRіS, заданих на множиніА, називається множина

Знак називаєтьсяштрих Шефферай позначає антикон’юнкцію.

Визначення.Оберненим (інверсним)відношенням до відношенняR, заданого на множиніА, називається відношенняR^–1, обумовлене рівністю:

Якщо R,SіT– бінарні відносини на множині А, то виконуються наступні рівності:

Алгебраїчні структури.

Визначення.На множині А визначенаалгебраїчна операція, якщо кожним двом елементам цієї множини, узятим у певному порядку, однозначним образом поставлений у відповідність деякий третій елемент із цієї ж множини.

Прикладами алгебраїчних операцій можуть слугувати такі операції як додавання й віднімання цілих чисел, додавання й віднімання векторів, матриць, множення квадратних матриць, векторне множення векторів та ін.

Відзначимо, що скалярний добуток векторів не може вважатися алгебраїчною операцією, тому що результатом скалярного добутку буде число, а числа не належать до множини векторів, до якого належать співмножники.

Визначення.Множина А з заданою на ній алгебраїчною операцією (наприклад, множенням) називаєтьсягрупою, якщо виконані такі умови:

1) для будь-яких трьох елементів a, b, c A виконується властивість асоціативності:

2) у множині А існує такий елементе, що для будь-якого елементааіз цієї множини виконується рівність:

3) для будь-якого елемента амножини існує елемента'з цієї ж множини, такий, що

Різні множини можуть бути групою щодо якоїсь операції й не бути групою щодо іншої операції.

Число елементів називається порядкомгрупи.

Визначення.Між елементами множинMіNвстановленовзаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу множиниМпоставлено у відповідність певний елемент множиниN, причому різним елементам однієї множини відповідають різні елементи іншої множини.

Визначення.Дві групиMіNназиваютьсяізоморфними, якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій для будь-якого двох елементівa, b M і відповідних їм елементівa’, b’ Nелементу

с = ab буде відповідає елементc’ = a’b’.

При цьому відображення групи Мна групуNназиваєтьсягомоморфізмом.

Визначення.Якщо операція, визначена в групі комутативна, (тобто для будь-яких елементівaіbгрупи вірне співвідношенняab=ba), то така група називаєтьсякомутативною абоабелевоюгрупою.

Визначення.МножинаRз двома заданими в ній алгебраїчними операціями, додаванням і множенням, називаєтьсякільцем, якщо щодо операції додавання вона є абелевою групою, а операція множення дистрибутивна, тобто для будь-яких елементівa, b і сR справедливі рівності:

Якщо операція множення, задана в кільці комутативна, то таке кільце називається комутативним кільцем.

Визначення.Полемназивається комутативне кільце, у якому для будь-якого ненульового елементаa0 і будь-якого елементаbіснує єдиний елементхтакий, щоax = b.