Елементи топології.

Топологія вивчає поняття неперервності й близькості забстрактної точки зору.

Визначення.Околомточкирназивається довільна множинаU, що містить відкриту кулю (не включаючи границю) із центром у точцір.

Околицею на площині, очевидно, є відкрите коло із центром у точці р.

З визначення околу випливають наступні очевидні властивості:

1) Точка рналежить будь-якому своєму околу.

2) Якщо U– окіл точкир, аVU, тоV– теж окіл точкир.

3) Якщо UіV– околи точкир, то їх перетиномUVтеж буде окіл точкир.

4) Якщо U– окіл точкир, то можна знайти такий окілVточкир, щоW=VUє околицею є околицею кожної зі своїх точок.

Визначення.Топологічним просторомназивається множинаЕ, кожна точка якоїрмає набір підмножин множиниЕ, що називаються околами точкирі задовольняють наведеним вище властивостям.

Частковим випадком топологічного простору є метричний простір.

Визначення.НехайЕ– топологічний простір, аF– його підмножина. Нехайр– точка множиниF. Назвемо підмножинуUмножиниFоколицею точкирвF, якщоU=FV, деV– окіл точкирвE.

При цьому множина FназиваєтьсяпідпросторомпросторуЕ.

Метричний простір.

Визначення.Метрикою на множиніЕназивається функціяf(x,y), визначена на декартовому добуткуЕЕ, значеннями якої є невід’ємні дійсні числа, що задовольняє при будь-яких значенняхх,у,zіз множиниЕнаступним умовам:

1) f(x,y) =f(y,x)

2) f(x,y) +f(y,z)f(x,z)

3) f(x,y) = 0 тоді й тільки тоді, колих=у.

Визначення.Метричним просторомназивається множинаЕз заданою на ній метрикоюf.

Визначення.Число(x,y), дехЕтауЕ– задані точки, називаєтьсявідстаннюміж цими точками.

Визначення.Нехайr– додатне число. Множина {y:(x,y) <r} називаєтьсявідкритою кулеюрадіусаrіз центром у точціх; множина {y:(x,y)r} –замкнутою кулею радіусаrіз центром у точціх.

Наприклад, для тривимірного евклідового простору ³метрика визначається як, дех(х₁,х₂,x₃)³іy(y₁,y₂,y₃)³.

Відкриті й замкнуті множини.

Визначення.НехайЕ– топологічний простір, аU– його підмножина. МножинаUназиваєтьсявідкритим, якщо воно є околицею для будь-якої точкиU.

Визначення.НехайЕ– топологічний простір, аF– його підмножина. МножинаFназиваєтьсязамкнутою, якщо множинаE\F– відкрита.

Відзначимо наступні властивості:

1) Об'єднання будь-якої сукупності відкритих множин відкрите.

2) Перетин скінченного числа відкритих множин відкритий.

3) Перетин будь-якої сукупності замкнутих множин замкнутий.

4) Об'єднання скінченного числа замкнутих множин замкнуте.

Визначення.Якщо А – будь-яка множина в топологічному просторіЕ, то об'єднання всіх відкритих множин, що містяться вА, відкрите. Це об'єднання називаєтьсявнутрішністю множини А. Позначається Int. Це об'єднання буде найбільшою відкритою множиною, що міститься в А.

Визначення.Множинаназиваєтьсязамиканням множиниА. Множина FrА=C_Aназиваєтьсяграницею множиниА.

Неперервні відображення.

Нехай ЕиF– топологічні простори, і нехайf– відображення просторуЕвF.

f:EF.

Неперервність відображення полягає в тому, що точки, близькі друг до друга в множині Е, відображаються в точки, близькі одна одній друга в множиніF.

Визначення.Відображенняf:EFназиваєтьсянеперервним у точці р, якщо для будь-якого околуVточкиf(p) у множиніFіснує такий окілUточки в множиніЕ, щоf(U)V. Відображенняfназиваєтьсянеперервним, якщо воно неперервне в кожній точці просторуЕ.

Особливе значення мають ті неперервності відображення, для яких існує неперервне обернене відображення.

Визначення.Якщоf– взаємно однозначне відображення просторуЕвF, то існує обернене відображенняgпросторуFвE. Якщо йfіgнеперервні, то відображенняfназиваєтьсягомеоморфізмом, а просториЕиF–гомеоморфні.

Гомеоморфізм між множинами встановлює взаємно однозначну відповідність між околицями, закритими й відкритими підмножинами цих множин.