1.5 Основні вимоги до математичних моделей і їх властивості

Правильна побудова математичної моделі досліджуваної задачі – основна умова успішної розробки проекту. Невірно побудована модель може призвести до помилкових висновків і виявитися неекономічною під час експлуатації. Правильно розроблена модель може істотно поліпшити економічні результати діяльності фірми або ефективність функціонування організації. Розробка моделі для аналізу досліджуваного виду діяльності вимагає творчого підходу. Крім того, щоб правильно зрозуміти сутність досліджуваної проблеми, необхідно зібрати і ретельно проаналізувати великий обсяг даних. Практичне значення модель здобуває за умови, що її вивчення наявними засобами доступніше, чим вивчення самого об'єкта. З усього сказаного випливають такі вимоги до моделі:

- адекватність (відповідність моделі своєму оригіналу);

- простота (відсутність другорядних факторів);

- об'єктивність (відповідність наукових висновків реальним умовам);

- чутливість (здатність моделі реагувати на зміну параметрів);

- стійкість (малому збурюванню вихідних параметрів повинно відповідати мала зміна рішення задачі (моделі));

- універсальність (широта області застосування).

У теорії оптимізації на даний час розроблено велике число моделей і методів розв’язання різних класів задач (див. підрозділ 1.4). Тому під час побудови математичної моделі будь-якої задачі виникають проблеми ідентифікації: - чи можна використовувати відому модель для формалізації даної задачі?, а якщо ні, то у якій мірі потрібна переробка (пристосування) відповідної моделі ?

Процес ідентифікація математичної моделі і методу розв’язання задачі показаний на схемі, що наведена на рисунку нижче. Розглянемо такий процес на прикладі.

Ідентифікація моделі

Чи можливе пристосування?

Чи підходить задача до відомих моделей?

Побудова нової

модели

Вибір моделі

Ідентифікація методу розв’язання

Чи можливе розв’язання задачі відомими

методами

Чи можлива модифікація?

Розробка нового методу

Вибір методу

Розв’язання задачі

Приклад 1.10 (Задача розміщення підприємств). З метою розширення сфери діяльності фірма планує відкрити кілька нових філій. Пункт i є однією з можливих точок розміщення нової філії потужністю S_i, а постійні витрати пов’язані з його експлуатацією, дорівнюють F_i ≥ 0 незалежно від фактичного обсягу випуску. Існує усього m можливих пунктів (i =1,2,…,m) розміщення, але відкривати філії у всіх цих пунктах нераціонально. Для кожного пункту i виготовлення і пункту j збуту відомі: c_ij ≥ 0 – сукупні виробничі і транспортні витрати; F_ij ≥ 0 – деякі постійні витрати (F_ij не залежить від обсягу перевезень x_ij > 0, однак для x_ij = 0 F_ij = 0). Потрібно вибрати такі пункти розміщення нових підприємств, щоб сумарні витрати були мінімальні.

Для побудови математичної моделі цієї задачі, виходячи зі схожості умов, слід орієнтуватися на модель класичної транспортної задачі, сформульованої у підрозділі 1.4 і яка що має вигляд

(сумарні транспортні витрати) (1.5)

за обмежень:

(пропозиція); (1.6)

(попит); (1.7)

x_ij ≥ 0 (обсяг перевезень) (1.8)

Для нашого прикладі введемо позначення:

U_ij = min (а_i,b_j).

Тоді замість функції (1.5) отримаємо сумарні витрати у вигляді:

. (1.9)

Замість обмеження (1.6) на потужності постачальників вводимо обмеження на пропускні здатності маршрутів

, (1.10)

при цьому обмеження (1.7) по попиту споживачів залишається без змін:

(1.11)

Побудову моделі ще не закінчено. Слід забезпечити щоб умова x_ij > 0 виконувалося тільки у випадку, коли z_ij = 1. Це досягається за допомогою лінійних обмежень:

x_ij ≤ U_ij z_ij для будь-яких i, j = 1,...,m (1.12)

Крім того,

х_ij ≥ 0, i, j = 1,...,m (1.13)

Тепер можна сказати, що математична модель (1.9)-(1.13) задачі прикладу 1.10 отримана у результаті модифікації моделі (1.5) - (1.8) класичної транспортної задачі.