- •Розділ 1. Методологічні основи дослідження операцій
- •1.1 Етапи дослідження операцій
- •1.2 Математичне моделювання. Загальна структура
- •1.3 Етапи математичного моделювання. Приклади
- •1.4 Розділи і класи задач дослідження операцій
- •1.5 Основні вимоги до математичних моделей і їх властивості
- •1.6 Формалізація принципів оптимального поводження в моделях прийняття рішення.
- •Розділ 2. Задачі лінійного програмування
- •2.1 Попередні відомості теорії лінійного програмування.
- •2.2 Графічна інтерпретація розв’язання задач лп
- •2.3 Змістовний опис симплекс-методу розв’язання задач лп
- •2.4 Знаходження початкового опорного плану
- •2.5 Знаходження оптимального плану
- •2.6 Застосування симплекс-таблиць
- •2.7 Метод штучної бази
- •2.8 Двоїсті (спряжені) задачі лінійного програмування
- •З другої групи умов доповняльної нежорсткості маємо
- •Розділ 3. Транспортні задачі (т-задачі)
- •3.1 Математична структура т-задач
- •3.2. Визначення початкового опорного плану т-задачі
- •3.3 Властивості опорних планів т-задач
- •3.4 Розв’язання т-задач методом потенціалів
- •3.6 Задача про оптимальні призначення
- •3.7 Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона
- •3.8 Задача про найкоротший шлях на мережi. Метод Мiнтi
- •Розділ 4. Дискретне програмування
- •4.1 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-1)
- •4.2 Задача частково дискретного лп. Метод Гоморi-2
- •4.3 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-3
- •4.4 Задача частково дискретного лп. Метод Дальтона-Ллевелiна
- •4.5 Задача дискретного лп. Метод гілок I границь
- •Розділ 5. Нелінійне програмування. Безумовна однопараметрична оптимізація
- •5.1 Загальні відомості
- •5.2 Методи виключення інтервалів
- •Зауваження
- •5.3 Поліноміальна апроксимація
- •5.4 Методи оптимізації з використанням похідних
- •Розділ 6. Нелінійне програмування. Методи умовної оптимізації
- •6.1 Класична задача математичного програмування
- •6.2 Задача опуклого квадратичного програмування.
- •6.3. Метод Франка – Вулфа розв’язання задач квадратичного програмування (зкп)
- •Розділ 7. Теорія прийняття рішень
- •7.1. Теорія корисності і прийняття рішень
- •7.1.1. Прийняття рішень в умовах ризику
- •7.1.2. Критерій “очікуване значення – дисперсія”
- •7.1.3. Критерій граничного рівня.
- •7.2. Прийняття рішень в умовах невизначеності
- •7.2.1. Класичні критерії прийняття рішень
- •7.2.2. Похідні критерії
- •Розділ 8. Прийняття рішень в ігрових ситуаціях
- •8.1 Класифікація ігор
- •8.2 Розв’язання матричних ігор у чистих стратегіях
- •8.3 Змішане розширення матричної гри
- •8.4 Властивості розв’язку матричних ігор
- •8.5. Алгебраїчний метод розв’язання матричних ігор
- •8.6 Графічний метод розв’язання ігор 2nіm 2.
- •8.7 Матричний метод розв’язання ігор
- •8.8. Ітеративні методи розв’язання ігор
- •8.9. Метод послідовного наближення до ціни гри
- •Розділ 9. Нескінченні антагоністичні ігри
- •9.1. Визначення нескінченної антагоністичної гри
- •9.2 Ігри з опуклими функціями виграшів
- •Розділ 10. Безкоаліційні ігри
- •Розділ 11. Кооперативні ігри
- •11.1 Характеристика кооперативних ігор
- •11.2. Характеристичні функції ігор з малим числом гравців
- •Розділ 12. Вправи для самостійної роботи та для практичних і лабораторних занять
- •12.1. Побудова математичних моделей задач
- •12.2. Розв’язання задач лінійного програмування
- •12.3 Розв’язання транспортних задач
- •12.4 Розв’язання задач цілочислового програмування
- •12.5 Розв’язання задач нелінійного програмування
- •12.6 Розв’язання матричних ігор
- •12.7 Лабораторний практикум
- •Розділ 13. Контрольна робота для студентів заочної форми навчання
- •13.1 Правила вибору задач контрольної роботи
- •13.2 Варіанти завдань контрольної роботи
- •Література
- •1.1 Етапи дослідження операцій 5
8.5. Алгебраїчний метод розв’язання матричних ігор
Нехай задана матрична гра порядку 2 2, що описується матрицею
.
Насамперед необхідно перевірити, чи є в даній грі сідлова точка. Якщо це так, то гра має розв’язок в чистих стратегіях, причому оптимальними стратегіями гравців 1 і 2 відповідно будуть чиста максмінна і чиста мінімаксна стратегії.
Якщо ж гра не має чистих стратегій, то обидва гравці мають тільки такі оптимальні стратегії, що використовують усі свої чисті стратегії з позитивними ймовірностями.
Інакше один із гравців (наприклад 1) має чисту оптимальну стратегію, а інший – тільки змішані. Не обмежуючи загальності, можна вважати, що оптимальною стратегією гравця 1 є вибір з ймовірністю 1 першого рядка. Далі, з властивості 8.1 випливає, що а11 = а12 = і матриця має вигляд
.
Звідси легко побачити, що для матриць такого вигляду одна із стратегій гравця 2 є така, що домінує. Отже, за властивістю 2.4 цей гравець має чисту стратегію, що суперечить припущенню.
Нехай Х = (, 1 ) – змішана оптимальна стратегія гравця 1. Оскільки гравець 2 має змішану оптимальну стратегію, з властивості 2.1 отримаємо, що (див. також властивість 8.7)
Звідси випливає, що при 0 стовпці матриці А не можуть бути пропорційними з коефіцієнтом, відмінним від одиниці. Якщо ж коефіцієнт пропорційності дорівнює одиниці, то матриця А приймає вигляд
і гравець 1 має чисту оптимальну стратегію (він вибирає з ймовірністю 1 той з рядків, елементи якого не менше відповідних елементів іншого), що суперечить припущенню. Отже, якщо 0 і гравці мають тільки змішані оптимальні стратегії, то визначник матриці А відмінний від нуля. З цього випливає, що остання система рівнянь має єдиний розв’язок. Розв’язуючи цю систему, знаходимо
;
.
Аналогічні міркування приводять нас до того, що змішана оптимальна стратегія гравця 2 Y = (, 1 - ) задовольняє системі рівнянь
звідки
; .
Якщо ж платіжна матриця має розмірність т n, то для того щоб знайти розв’язок такої гри, треба відшукати такі невід’ємні xi, i = 1,m, yj, j = 1, n, які задовольняють співвідношення
Замінимо всі нерівності на рівності й спробуємо розв’язати отриману систему рівнянь. Якщо всі xi , i= 1,m і yj j= 1,n,то буде знайдено розв’язок гри. Інакше, якщо серед xi чи yj є хоч один не додатній елемент, це означає, що заміна всіх нерівностей рівностями не справедлива і треба тільки частину нерівностей замінити рівностями і розв’язати ту саму систему. Перебираючи послідовно всі комбінації рівностей та нерівностей та розв'язуючи їх, відшукуємо розв’язок гри. При цьому слід мати на увазі, що якщо для будь-якого i= 1,m буде виконуватись нерівність
,
то xi = 0.
Якщо ж для будь-якого j= 1,n буде
,
то yj = 0.
Приклад 8.4. Розв’язжемо гру порядку 22, що описується матрицею
.
Оскільки у цій грі матриця сідлової точки немає, тому шукаємо розв'язок у змішаних стратегіях. ймовірності використання окремих чистих стратегій обчислюються за наведеними вище формулами:
при цьому, ціна гри визначиться як
,
а змішані стратегії гравців мають вигляд X =(5/6, 1/6),Y = (1/3, 2/3).
Приклад 8.5. Розв’яжемо гру порядку 22, що описується матрицею
.
Розглянемо випадок, коли всі нерівності замінено на рівності:
Ці рівняння не мають такого розв’язку, щоб ймовірності xi та yj були невід’ємні. Замінюючи рівності на нерівності, приходимо до такої системи:
З нерівностей тавипливає, щоy3 = 0 та x1 = 0.
Тепер вже розв’яжемо таку систему рівнянь:
Вона має такий розв’язок: x2 = 0, x3 = 1, y1 = 2/5, y2 = 3/5, = 2. Таким чином, ціна гри дорівнює 2, оптимальна змішана стратегія першого гравця Х* = (0, 0, 1), другого Y* =( 2/5,3/5,0 )