- •Розділ 1. Методологічні основи дослідження операцій
- •1.1 Етапи дослідження операцій
- •1.2 Математичне моделювання. Загальна структура
- •1.3 Етапи математичного моделювання. Приклади
- •1.4 Розділи і класи задач дослідження операцій
- •1.5 Основні вимоги до математичних моделей і їх властивості
- •1.6 Формалізація принципів оптимального поводження в моделях прийняття рішення.
- •Розділ 2. Задачі лінійного програмування
- •2.1 Попередні відомості теорії лінійного програмування.
- •2.2 Графічна інтерпретація розв’язання задач лп
- •2.3 Змістовний опис симплекс-методу розв’язання задач лп
- •2.4 Знаходження початкового опорного плану
- •2.5 Знаходження оптимального плану
- •2.6 Застосування симплекс-таблиць
- •2.7 Метод штучної бази
- •2.8 Двоїсті (спряжені) задачі лінійного програмування
- •З другої групи умов доповняльної нежорсткості маємо
- •Розділ 3. Транспортні задачі (т-задачі)
- •3.1 Математична структура т-задач
- •3.2. Визначення початкового опорного плану т-задачі
- •3.3 Властивості опорних планів т-задач
- •3.4 Розв’язання т-задач методом потенціалів
- •3.6 Задача про оптимальні призначення
- •3.7 Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона
- •3.8 Задача про найкоротший шлях на мережi. Метод Мiнтi
- •Розділ 4. Дискретне програмування
- •4.1 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-1)
- •4.2 Задача частково дискретного лп. Метод Гоморi-2
- •4.3 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-3
- •4.4 Задача частково дискретного лп. Метод Дальтона-Ллевелiна
- •4.5 Задача дискретного лп. Метод гілок I границь
- •Розділ 5. Нелінійне програмування. Безумовна однопараметрична оптимізація
- •5.1 Загальні відомості
- •5.2 Методи виключення інтервалів
- •Зауваження
- •5.3 Поліноміальна апроксимація
- •5.4 Методи оптимізації з використанням похідних
- •Розділ 6. Нелінійне програмування. Методи умовної оптимізації
- •6.1 Класична задача математичного програмування
- •6.2 Задача опуклого квадратичного програмування.
- •6.3. Метод Франка – Вулфа розв’язання задач квадратичного програмування (зкп)
- •Розділ 7. Теорія прийняття рішень
- •7.1. Теорія корисності і прийняття рішень
- •7.1.1. Прийняття рішень в умовах ризику
- •7.1.2. Критерій “очікуване значення – дисперсія”
- •7.1.3. Критерій граничного рівня.
- •7.2. Прийняття рішень в умовах невизначеності
- •7.2.1. Класичні критерії прийняття рішень
- •7.2.2. Похідні критерії
- •Розділ 8. Прийняття рішень в ігрових ситуаціях
- •8.1 Класифікація ігор
- •8.2 Розв’язання матричних ігор у чистих стратегіях
- •8.3 Змішане розширення матричної гри
- •8.4 Властивості розв’язку матричних ігор
- •8.5. Алгебраїчний метод розв’язання матричних ігор
- •8.6 Графічний метод розв’язання ігор 2nіm 2.
- •8.7 Матричний метод розв’язання ігор
- •8.8. Ітеративні методи розв’язання ігор
- •8.9. Метод послідовного наближення до ціни гри
- •Розділ 9. Нескінченні антагоністичні ігри
- •9.1. Визначення нескінченної антагоністичної гри
- •9.2 Ігри з опуклими функціями виграшів
- •Розділ 10. Безкоаліційні ігри
- •Розділ 11. Кооперативні ігри
- •11.1 Характеристика кооперативних ігор
- •11.2. Характеристичні функції ігор з малим числом гравців
- •Розділ 12. Вправи для самостійної роботи та для практичних і лабораторних занять
- •12.1. Побудова математичних моделей задач
- •12.2. Розв’язання задач лінійного програмування
- •12.3 Розв’язання транспортних задач
- •12.4 Розв’язання задач цілочислового програмування
- •12.5 Розв’язання задач нелінійного програмування
- •12.6 Розв’язання матричних ігор
- •12.7 Лабораторний практикум
- •Розділ 13. Контрольна робота для студентів заочної форми навчання
- •13.1 Правила вибору задач контрольної роботи
- •13.2 Варіанти завдань контрольної роботи
- •Література
- •1.1 Етапи дослідження операцій 5
8.4 Властивості розв’язку матричних ігор
Позначимо через G (Х,Y,А) гру двох осіб з нульовою сумою, у якій гравець 1 вибирає стратегію х Х , гравець 2 – y , після чого гравець 1 отримує виграш А = А (х, y) за рахунок гравця 2.
Означення 8.6. Стратегія х1 гравця 1 домінує (строго домінує) над стратегією х2, якщо
А (х1, y) А (х2, y) (А (х1, y) > А (х2, y)), y .
Стратегія y1 гравця 2 домінує (строго домінує) над стратегією y2, якщо
А (х, y1) А (х, y2) (А (х, y1) < А (х, y2)), х Х.
При цьому стратегії х2 і y2 називаються домінуємими (строго).
Спектром змішаної стратегії гравця у скінченій антагоністичній грі називається множина усіх його чистих стратегій, ймовірність яких відповідно до цієї стратегії позитивна.
Властивість 8.1. Якщо чиста стратегія одного з гравців знаходиться в спектрі деякої його оптимальної стратегії, то виграш цього гравця в ситуації, утвореною даною чистою стратегією і будь-якою оптимальною стратегією іншого гравця, дорівнює значенню скінченої антагоністичної гри.
Властивість 8.2. Жодна строго домінуєма чиста стратегія гравця не знаходиться в спектрі його оптимальної стратегії.
Гра G = (Х,Y,А) називається підгрою гри G (Х, Y, А), якщо Х Х, , а матриця А є підматрицею матриці А. Матриця А при цьому будується такий чином. В матриці А залишаються рядки і стовпці, що відповідають стратегіям Х і , а інші “викреслюються”. Усі ті що залишиться після цього в матриці А і будуть утворювати матрицю А.
Властивість 8.3. Нехай G = (Х,Y,А) – скінчена антагоністична гра, а G= (Х \ х,Y,А) – підгра гри G, а х – чиста стратегія гравця 1 у грі G, що домінується деякою стратегією , і спектр якої не міститьх. Тоді будь-який розв’язок (хо, yо, ) гри G є розв’язком гри G.
Властивість 8.4. Нехай G = (Х,Y,А) – скінчена антагоністична гра, а G= (Х,Y \ y,А) – підгра гри G, а y – чиста стратегія гравця 2 у грі G, що домінується деякою стратегією , і спектр якої не міститьy. Тоді будь-який розв’язок гри G є розв’язком G.
Властивість 8.5. Якщо для чистої стратегії х гравця 1 виконуються умови властивості 2.3, а для чистої стратегії y гравця 2 виконуються умови властивості 2.4, то будь-який розв’язок гри G = (Х \ х,Y \ y,А) є розв’язком гри G = (Х,Y,А).
Властивість 8.6. Трійка (хо, yо, ) є розв’язком гри G = (Х,Y,А) тоді і тільки тоді, коли (хо, yо, k +а) є розв’язком гри G(Х,Y,кА+а), де а – будь-яке дійсне число, k > 0.
Властивість 8.7. Для того, щоб хо = () була оптимальною змішаною стратегією матричної гри з матрицею А і ціною гри , необхідно і достатньо виконання таких нерівностей:
, (j = ). (8.4)
Для того щоб yо = (, ...,, ...,) була оптимальною змішаною стратегією гравця 2 необхідно і достатньо виконання нерівностей:
, (i = ). (8.5)
З останньої властивості випливає: щоб встановити, чи є передбачувані (х, y) і розв’язком матричної гри, досить перевірити, чи задовольняють вони нерівностям (8.4) і (8.5). З іншого боку, знайшовши ненегативні розв’язки нерівностей (8.4) і (8.5) спільно з рівняннями
, (8.6)
отримаємо розв’язок матричної гри.
Таким чином, розв’язок матричної гри зводиться до пошуку ненегативних параметрів розв’язань лінійних нерівностей (8.4) (8.5) і лінійних рівнянь (8.6). Однак це вимагає великого обсягу обчислень, який зростає зі збільшенням числа чистих стратегій гравців.
Наприклад для матриці 33 маємо систему з 6 нерівностей і 2 рівнянь. Тому, по перше, слід, використовуючи властивості 8.2 і 8.3, зменшити по можливості, число чистих стратегій. А по-друге, в усіх випадках перевірити виконання рівності
= .
Якщо ця рівність виконується, то обидва гравці мають чисті оптимальні стратегії (гравець 1 ( чисту максмінну, а гравець 2 ( чисту мінімаксну). Інакше хоча б в одного гравця оптимальні стратегії будуть змішані. Для матричних ігор невеликого розміру ці розв’язки можна знайти, застосовуючи властивості 8.1 – 8.5.
Зауваження. Слід відзначити, що виключення не строго домінуємих стратегій може призвести до втрати деяких розв’язків. Якщо ж виключаються тільки строго домінуємих стратегій, то множина розв’язків гри не зміниться.
Приклад 8.3. Нехай G = (Х,Y,А), де Х = {1, 2, 3, 4}; Y = {1, 2, 3, 4}, а функція виграшу А задана таким чином:
де C > 0.
Розв’язання. Насамперед відзначимо, що за властивістю 8.6 досить розв’язати гру G1 = (Х,Y,А), де А1 = А1/C . У матричній формі гра G1 визначається матрицею виграшів
.
Елементи четвертого рядка цієї матриці “ ” відповідних елементів третього рядка, а тому третя стратегія гравця 1 домінує над четвертою. Крім того, елементи першого стовпця матриці А1 “ ” відповідних елементів другого стовпця, Отже, друга стратегія гравця 2 домінує над його першою стратегією.
Далі, із властивості 2.5 випливає, що будь-який розв’язок гри G2 = (Х \ {4}, Y \ {1}, А1) є розв’язком гри G1. У матричній формі гру G2 можна описати матрицею
.
Очевидно, що елементи другого рядка “ ” напівсуми відповідних елементів першого і третього рядків. Крім того, елементи третього стовпця матриці А2 “ “ відповідних елементів другого стовпця. Застосовуючи властивість 2.5 одержимо, що будь-який розв’язок гри G3 = (Х \ {4,2}, Y \ {1,4}, А2), тобто
.
є розв’язком гри G2, а отже і гри G1.
Матриця А3 не має сідлової точки, тому що не виконується рівність
= ,
і, значить, гра G3 не має розв’язку в чистих стратегіях, тобто оптимальні стратегії гравців є змішаними. Ці стратегії, у даному випадку, легко знайти з аналізу структури матриці А3. Оскільки матриця А3 симетрична, можна припустити, що гравці в оптимальній стратегії використовують свої чисті стратегії з рівними ймовірностями.
Дійсно, якщо гравець 1 вибирає з рівними ймовірностями стратегії 1 і 3, то під час застосування кожної з двох чистих стратегій гравцем 2 математичне очікування виграшу гравця 1 буде рівним
, або .
Аналогічно, якщо гравець 2 використовує свої чисті стратегії 2 і 3 з рівними ймовірностями, то математичне очікування його програшу буде дорівнювати 3/2. Отже, зазначені стратегії є оптимальними в грі G3, а величини 3/2 – значенням гри G3. З попереднього випливає, що ці стратегії оптимальні, також, і у грі G1.
Таким чином, стратегія Х = (1/2 , 0, 1/2, 0) є оптимальною стратегією гравця 1, стратегія Y = (0, 1/2, 1/2, 0) – оптимальною стратегією гравця 2 у грі G1, а значення гри G1 дорівнює 3/2. У силу властивості 2.4 розв’язком гри G буде трійка (Х, Y, 3С/2 ).