- •Розділ 1. Методологічні основи дослідження операцій
- •1.1 Етапи дослідження операцій
- •1.2 Математичне моделювання. Загальна структура
- •1.3 Етапи математичного моделювання. Приклади
- •1.4 Розділи і класи задач дослідження операцій
- •1.5 Основні вимоги до математичних моделей і їх властивості
- •1.6 Формалізація принципів оптимального поводження в моделях прийняття рішення.
- •Розділ 2. Задачі лінійного програмування
- •2.1 Попередні відомості теорії лінійного програмування.
- •2.2 Графічна інтерпретація розв’язання задач лп
- •2.3 Змістовний опис симплекс-методу розв’язання задач лп
- •2.4 Знаходження початкового опорного плану
- •2.5 Знаходження оптимального плану
- •2.6 Застосування симплекс-таблиць
- •2.7 Метод штучної бази
- •2.8 Двоїсті (спряжені) задачі лінійного програмування
- •З другої групи умов доповняльної нежорсткості маємо
- •Розділ 3. Транспортні задачі (т-задачі)
- •3.1 Математична структура т-задач
- •3.2. Визначення початкового опорного плану т-задачі
- •3.3 Властивості опорних планів т-задач
- •3.4 Розв’язання т-задач методом потенціалів
- •3.6 Задача про оптимальні призначення
- •3.7 Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона
- •3.8 Задача про найкоротший шлях на мережi. Метод Мiнтi
- •Розділ 4. Дискретне програмування
- •4.1 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-1)
- •4.2 Задача частково дискретного лп. Метод Гоморi-2
- •4.3 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-3
- •4.4 Задача частково дискретного лп. Метод Дальтона-Ллевелiна
- •4.5 Задача дискретного лп. Метод гілок I границь
- •Розділ 5. Нелінійне програмування. Безумовна однопараметрична оптимізація
- •5.1 Загальні відомості
- •5.2 Методи виключення інтервалів
- •Зауваження
- •5.3 Поліноміальна апроксимація
- •5.4 Методи оптимізації з використанням похідних
- •Розділ 6. Нелінійне програмування. Методи умовної оптимізації
- •6.1 Класична задача математичного програмування
- •6.2 Задача опуклого квадратичного програмування.
- •6.3. Метод Франка – Вулфа розв’язання задач квадратичного програмування (зкп)
- •Розділ 7. Теорія прийняття рішень
- •7.1. Теорія корисності і прийняття рішень
- •7.1.1. Прийняття рішень в умовах ризику
- •7.1.2. Критерій “очікуване значення – дисперсія”
- •7.1.3. Критерій граничного рівня.
- •7.2. Прийняття рішень в умовах невизначеності
- •7.2.1. Класичні критерії прийняття рішень
- •7.2.2. Похідні критерії
- •Розділ 8. Прийняття рішень в ігрових ситуаціях
- •8.1 Класифікація ігор
- •8.2 Розв’язання матричних ігор у чистих стратегіях
- •8.3 Змішане розширення матричної гри
- •8.4 Властивості розв’язку матричних ігор
- •8.5. Алгебраїчний метод розв’язання матричних ігор
- •8.6 Графічний метод розв’язання ігор 2nіm 2.
- •8.7 Матричний метод розв’язання ігор
- •8.8. Ітеративні методи розв’язання ігор
- •8.9. Метод послідовного наближення до ціни гри
- •Розділ 9. Нескінченні антагоністичні ігри
- •9.1. Визначення нескінченної антагоністичної гри
- •9.2 Ігри з опуклими функціями виграшів
- •Розділ 10. Безкоаліційні ігри
- •Розділ 11. Кооперативні ігри
- •11.1 Характеристика кооперативних ігор
- •11.2. Характеристичні функції ігор з малим числом гравців
- •Розділ 12. Вправи для самостійної роботи та для практичних і лабораторних занять
- •12.1. Побудова математичних моделей задач
- •12.2. Розв’язання задач лінійного програмування
- •12.3 Розв’язання транспортних задач
- •12.4 Розв’язання задач цілочислового програмування
- •12.5 Розв’язання задач нелінійного програмування
- •12.6 Розв’язання матричних ігор
- •12.7 Лабораторний практикум
- •Розділ 13. Контрольна робота для студентів заочної форми навчання
- •13.1 Правила вибору задач контрольної роботи
- •13.2 Варіанти завдань контрольної роботи
- •Література
- •1.1 Етапи дослідження операцій 5
12.4 Розв’язання задач цілочислового програмування
12.4.1. Розв'язати методом Гоморi-1 задачі дискретного лінійного програмування. В усіх нижченаведених задачах всі змінні невід'ємні та цілі.
|
1) |
5 x1 + 6 x2 + 6 x3 ® min, |
2) |
6 x1 + 4 x2 ® min, |
|
|
2 x1 + 4 x2 ³ 10, |
|
2 x1 + x2 ³ 3, |
|
|
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 ³ 10; |
|
x1 x2 £ 1; |
|
3) |
6 x1 + 4 x2 ® min, |
4) |
x1 + x2 ® min, |
|
|
2 x1 + x2 ³ 3, |
|
x1 x2 + x5 = 1, |
|
|
x1 2 x2 £ 2, |
|
2 x1 + 2 x2 + x3 = 2, |
|
|
3 x1 + 2 x2 ³ 1; |
|
4 x1 + 2 x2 + x4 = 1; |
|
5) |
6 x1 + 4 x2 ® min, |
6) |
2 x1 + 3 x2 ® min, |
|
|
2 x1 + x2 ³ 3, |
|
x1 + 2 x2 ³ 16, |
|
|
x1 x2 ³ 1; |
|
2 x1 + x2 ³ 16; |
|
7) |
5 x1 3 x2 ® max, |
8) |
5 x2 + 7 x4 ® min, |
|
|
3 x1 + 2 x2 ³ 6, |
|
10 x2 + x3 + x4 = 16, |
|
|
2 x1 3 x2 ³ 6, |
|
x1 3 x2 3 x4 = 12, |
|
|
x1 x2 £ 4, |
|
6 x2 2 x4 + x5 = 17; |
|
9) |
5 x4 7 x5 ® max, |
10) |
8 x1 + 2 x2 ® max, |
|
|
x1 x4 2 x5 = 7, |
|
x1 4 x2 + x3 = 4, |
|
|
x3 + 3 x4 6 x5 = 3, |
|
4 x1 + x2 + x4 = 4, |
|
|
x2 x4 4 x5 = 11; |
|
x1 + x2 + x5 = 6. |
Відповіді: 1) x* = (3; 1; 0), L(x*) = 21. 2) x* = (1; 1), L(x*) = 10.
3) x* = (1; 1), L(x*) = 10. 4) x* = (1; 0; 0; 3; 0), L(x*) = 1.
5) x* = (2; 0), L(x*) = 12. 6) x* = (6; 5), L(x*) = 27.
7) x* = (18; 14), L(x*) = 48. 8) x* = (0; 4; 24; 0; 7), L(x*) = 20.
9) x* = (0; 0; 0; 3; 2), L(x*) = 29. 10) x* = (5; 1; 0; 0; 0), L(x*) = 42.
12.4.2. Розв'язати методом Гоморi-2 задачі частково дискретного ЛП, умови яких задані нижче.
|
1) |
x1 + 8 x2 ® max, |
2) |
6 x1 x2 ® min, |
|
|
3 x1 + x2 £ 9, |
|
2.9 x1 + 6 x2 £ 17.4, |
|
|
0.16 x1 + x2 £ 1.9, |
|
3 x1 x2 £ 1, |
|
|
xj ³ 0, xj ціле, j = 1,2; |
|
xj ³ 0, xj ціле, j = 1,2; |
|
3) |
0.25 x1 + x2 ® max, |
4) |
2 x1 4 x2 ® min, |
|
|
0.5 x1 + x2 £ 1.75, |
|
2 x1 + x2 £ 19.33, |
|
|
x1 + 0.3 x2 £ 1.5, |
|
x1 + 3 x2 £ 10, |
|
|
xj ³ 0, xj ціле, j = 1,2; |
|
xj ³ 0, xj ціле, j = 1,2; |
|
5) |
x1 + x2 ® max, |
6) |
x1 + x2 ® max, |
|
|
2 x1 + 11 x2 £ 38, |
|
2 x1 + 11 x2 £ 38, |
|
|
x1 + x2 £ 7, |
|
x1 + x2 £ 7, |
|
|
4 x1 5 x2 £ 5, |
|
4 x1 5 x2 £ 5, |
|
|
xj ³ 0, j = 1,2, x2 ціле; |
|
xj ³ 0, j = 1,2, x1 ціле; |
|
7) |
x1 ® max, |
8) |
8 x1 6 x2 ® min, |
|
|
x1 + 3 x2 £ 12, |
|
3 x1 + 5 x2 + x3 = 11, |
|
|
3 x1 8 x2 £ 24, |
|
4 x1 + x2 + x4 = 8, |
|
|
xj ³ 0, j = 1,2, x1 ціле; |
|
xj ³ 0, j = 1,2, x1 ціле. |
Відповіді: 1) x* = (2; 1), L(x*) = 10. 2) x* = (1; 3), L(x*) = 9.
3) x* = (1; 1), L(x*) = 1.25. 4) x* = (7; 1), L(x*) = 18.
5) x* = (3.75; 2), L(x*) = 5.75. 6) x* = (4; 2.73), L(x*) = 6.73.
7) x* = (9; 0.38), L(x*) = 9. 8) x* = (1; 1.6; 0; 2.41), L(x*) = 17.6.
12.4.3. Розв'язати методом Гоморi-3 нижченаведені задачі дискретного ЛП. В усіх задачах всі змінні невід'ємні та цілі.
|
1) |
x1 5 x2 ® max, |
2) |
3 x1 + 2 x2 ® min, |
3) |
x1 + 3x2 ® min, |
| ||||
|
|
12 x1 3 x2 ³ 8, |
|
3 x2 £ 2, |
|
x1 + 6x2 ³ 5, |
| ||||
|
|
3 x1 + 9 x2 ³ 8, |
|
2 x1 + 2 x2 £ 2, |
|
5x1 + 19x2 ³ 13, |
| ||||
|
|
x1 + 3 x2 ³ 3; |
|
2 x1 x2 ³ 1; |
|
3x1 + 6x2 ³ 2; |
| ||||
|
4) |
7x1 + 12x2 ® min, |
5) |
3x1 8x2 ® max, |
6) |
10x1 + 7x2 ® min, |
| ||||
|
|
4x1 23x2 £ 14, |
|
2x1 + 10x2 ³ 4, |
|
2x1 12x2 £ 9, |
| ||||
|
|
12x1 + 2x2 £ 9, |
|
3x1 5x2 £ 10, |
|
x1 + 4x2 ³ 10, |
| ||||
|
|
13x1 x2 £ 10; |
|
2x1 x2 ³ 2; |
|
4x1 2x2 ³ 14; |
| ||||
|
7) |
3 x4 2 x5 ® max, |
8) |
3 x2 + x5 ® min, | |||||||
|
|
x1 5 x4 + x5 = 15, |
|
2 x2 + x3 18 x5 = 20, | |||||||
|
|
x3 + x4 8 x5 = 9, |
|
x1 + x2 15 x5 = 7, | |||||||
|
|
x2 x4 10 x5 = 19; |
|
5 x2 + x4 + x5 = 9. | |||||||
Відповіді:
1) x* = (2; 2), L(x*) = 12. 2) x* = (1; 0), L(x*) = 3.
3) x* = (0; 1), L(x*) = 3. 4) x* = (1; 1), L(x*) = 19.
5) x* = (2; 1), L(x*) = 14. 6) x* = (5; 2), L(x*) = 64.
7) x* = (3; 5; 3; 4; 2), L(x*) = 16. 8) x* = (6; 2; 2; 0; 1), L(x*) = 7.
12.4.4. Розв'язати методом віток та границь задачі цiлочслового ЛП. В усіх задачах виконуються умови: xj³0, xj цілі, j=1,2.
|
1) |
x1 + x2 ® max, |
2) |
2 x1 x2 ® min, |
3) |
6 x1 + 4 x2 ® min, | ||||
|
|
2 x1 + 11 x2 £ 38, |
|
6 x1 + 4 x2 £ 24, |
|
2 x1 + x2 ³ 3, | ||||
|
|
x1 + x2 £ 7, |
|
x1 x2 £ 3, |
|
x1 2 x2 £ 2, | ||||
|
|
4 x1 5 x2 £ 5; |
|
x1 + 3 x2 £ 3; |
|
3x1 + 2x2 ³ 1; | ||||
|
4) |
x1 + x2 ® min, |
5) |
5 x1 + 7 x2 ® min, |
6) |
2 x1 x2 ® max, | ||||
|
|
x1 x2 £ 1, |
|
10 x1 + x2 £ 16, |
|
2 x1 + x2 £ 8, | ||||
|
|
2 x1 + 2 x2 £ 2, |
|
3 x1 3 x2 £ 12, |
|
x1 + 3 x2 ³ 6, | ||||
|
|
4 x1+ 2 x2 £ 1; |
|
6 x1 2 x2 £ 17, |
|
3 x1 + x2 ³ 3; | ||||
|
7) |
x1 + 4 x2 ® min, |
8) |
5 x1 7 x2 ® max, |
9) |
x1 + 2 x2 ® min, | ||||
|
|
x1 3 x2 £ 1, |
|
2 x1 + x2 ³ 3, |
|
2 x1 + 2 x2 ³ 5, | ||||
|
|
8 x1 x2 ³ 6, |
|
20 x1 x2 ³ 15, |
|
x1 3 x2 £ 1, | ||||
|
|
3 x1 11 x2 £ 7; |
|
x1 x2 £ 2; |
|
x1 x2 ³ 2. | ||||
Відповіді: 1) x* = (3; 2) або x* = (2; 3), L(x*) = 5.
2) x* = (3; 1), L(x*) = 7. 3) x* = (1; 1), L(x*) = 10.
4) x* = (1; 0), L(x*) = 1. 5) x* = (4; 0), L(x*) =20.
6) x* = (3; 1), L(x*) = 5. 7) x* = (1; 1), L(x*) = 5.
8) x* = (1; 3), L(x*) = 26. 9) x* = (4; 2), L(x*) = 8.