3.6 Задача про оптимальні призначення

Постановка задачі про призначення. Знайти вектор (матрицю) X=(x_ij, i,j=1,...,n), що мiнiмiзує цільову функцію

L(X) = c₁₁ x₁₁ +...+ c_1n x_1n +...+ c_n1 x_n1 +...+ c_nn x_nn

i задовольняє систему обмежень

x_i1 + ... + x_in = 1, i=1,...,n,

x_1j + ... + x_nj = 1, j=1,...,n,

x_ij = 0 або 1, i,j=1,...,n,

де c_ij — витрати, пов'язані з використанням i-го виконавця для виконання j-ї роботи (i,j=1,...,n). Елементи c_ij утворюють матрицю витрат C.

Наведена задача може бути розв'язана угорським методом, що грунтується на тому факті, що віднімання числа a_i, i=1,...,n, від кожного елемента i-го рядка та числа b_j, j=1,...,n, від кожного елемента j-го стовпця матриці витрат C не змінює множини оптимальних призначень, тобто вказані дії перетворюють матрицю витрат C в еквівалентну їй матрицю, яку також називають матрицею витрат.

Алгоритм угорського методу.

1. В матриці C вiднiмаємо від кожного елемента i-го рядка мінімальний елемент цього рядка (i=1,...,n).

2. від кожного елемента j-го стовпця перетвореної матриці витрат вiднiмаємо його мінімальний елемент (j=1,...,n). В результаті виконання двох пунктів кожний рядок та кожний стовпець матриці витрат мають принаймні один 0.

3. Проглядаємо послідовно рядки матриці витрат, починаючи з першого. Якщо рядок має лише один непозначений 0, позначаємо його позначкою * та закреслюємо (за допомогою позначки ^) решту нулів в цьому ж стовпцi. 0 вважається позначеним, якщо він має позначку *. Повторюємо ці дії, поки кожний рядок не буде мати непозначених нулів, або буде мати їх принаймні два.

4. Дії п. 3 повторюємо для всіх стовпцiв матриці витрат.

5. Дії п.п. 3 та 4 повторюємо послідовно (якщо необхідно) поки не трапиться один з трьох можливих випадків:

i) кожний рядок має призначення (має 0 з позначкою *);

ii) є принаймні два непозначених нулі в деяких рядках i деяких стовпцях матриці витрат;

iii) немає непозначених нулів i повне призначення ще не отримане (число нулів з позначкою * менше n).

6. У випадку i) задача про оптимальні призначення розв'язана: x_ij, що відповідають 0*, дорівнюють 1, решта – 0, кінець. У випадку ii) довільно вибираємо один з непозначених нулів, позначаємо його позначкою *, закреслюємо решту нулів в тому ж рядку i в тому ж стовпчику i повертаємося до п. 3. У випадку iii) переходимо до п. 7.

7. Позначаємо позначкою # рядки, для яких не отримане призначення (в яких немає 0*). Такі рядки вважаємо позначеними, решту – непозначеними. Аналогiчно називаються i стовпчики матриці витрат.

8. Позначаємо позначкою # ще не позначенi стовпчики, які мають закреслений 0 (позначений позначкою ^) у позначених рядках.

9. Позначаємо позначкою # ще не позначенi рядки, які мають призначення (тобто 0*) у позначених стовпцях.

10. Повторюємо дії пунктів 8 і 9 доти, поки більше не можна буде позначити жодного рядка та стовпця матриці витрат.

11. Викреслюємо (за допомогою позначки &) не позначенi рядки i позначені стовпчики матриці витрат.

12. Знаходимо мінімальний не викреслений елемент матриці витрат, віднімаємо його від елементів кожного з не викреслених рядків, додаємо до елементів всіх викреслених стовпчикiв i переходимо до п. 3. При цьому позначки елементів матриці витрат (* та ^) втрачають свою силу.

Зауваження

1. Якщо в задачі (3.1)–(3.4) цільову функцію (3.1) треба максимi­зувати, то для її розв'язання можна застосувати угорський метод, замінивши матрицю C на –C.

2. За означенням в задачі (3.1)–(3.4) матриця витрат квадратна. Якщо це не так, то вона перетворюється до такої додаванням необхідного числа додаткових рядків або стовпчикiв з відповідними елементами c_ij=0.

У першому випадку роботи, що отримали призначення в додаткових рядках, залишаються без виконавців. У другому — виконавці, що отримали призначення в додаткових стовпцях, залишаються без роботи.

Задача про призначення може бути розв'язана, також, і методом Мака.

Алгоритм методу Мака.

1. Позначаємо мінімальний елемент рядка позначкою *. Якщо мінімальних елементів декілька, позначаємо будь-який з них.

2. Дії п. 1 повторюємо для всіх рядків матриці витрат.

3. Якщо рядок має ще один мінімальний елемент, проглядаємо стовпець, до якого цей елемент належить. Можливі випадки:

i) Стовпець не має позначених елементів;

ii) Стовпець має принаймні один позначений елемент.

4. У випадку i) позначаємо мінімальний елемент рядка позначкою *. Всі інші позначки в цьому рядку знімаються.

У випадку ii) позначаємо мінімальний елемент рядка позначкою ^, якщо елемент цього рядка з позначкою * не є єдиним позначеним елементом у своєму стовпцi.

5. Дії п.п. 3 та 4 повторюємо послідовно для всіх рядків, що мають більше одного мінімального елемента.

6. Якщо кожний стовпець матриці витрат має елемент з позначкою *, тоді задача про оптимальні призначення розв'язана. Iнакше переходимо до наступного пункту.

7. Позначаємо (позначкою &) стовпцi, що мають більше одного позначеного елемента. Вони утворюють множину В, інші стовпцi матриці витрат утворюють множину A.

8. Проглядаємо послідовно рядки матриці витрат, починаючи з першого, i знаходимо рядок, в якому елемент з позначкою * належить множині В.

9. Знаходимо для рядка мінімальну різницю між елементами множини A i елементом з позначкою *.

10. Дії п.п. 8 та 9 повторюємо послідовно для всіх рядків, що мають властивості, які вказані в п. 8.

11. Вибираємо найменшу з мінімальних різниць.

12. Додаємо це число до кожного елемента множини В.

13. Повертаємось до п. 3.

Зауваження до методу Мака аналогічні угорському методу.