- •Розділ 1. Методологічні основи дослідження операцій
- •1.1 Етапи дослідження операцій
- •1.2 Математичне моделювання. Загальна структура
- •1.3 Етапи математичного моделювання. Приклади
- •1.4 Розділи і класи задач дослідження операцій
- •1.5 Основні вимоги до математичних моделей і їх властивості
- •1.6 Формалізація принципів оптимального поводження в моделях прийняття рішення.
- •Розділ 2. Задачі лінійного програмування
- •2.1 Попередні відомості теорії лінійного програмування.
- •2.2 Графічна інтерпретація розв’язання задач лп
- •2.3 Змістовний опис симплекс-методу розв’язання задач лп
- •2.4 Знаходження початкового опорного плану
- •2.5 Знаходження оптимального плану
- •2.6 Застосування симплекс-таблиць
- •2.7 Метод штучної бази
- •2.8 Двоїсті (спряжені) задачі лінійного програмування
- •З другої групи умов доповняльної нежорсткості маємо
- •Розділ 3. Транспортні задачі (т-задачі)
- •3.1 Математична структура т-задач
- •3.2. Визначення початкового опорного плану т-задачі
- •3.3 Властивості опорних планів т-задач
- •3.4 Розв’язання т-задач методом потенціалів
- •3.6 Задача про оптимальні призначення
- •3.7 Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона
- •3.8 Задача про найкоротший шлях на мережi. Метод Мiнтi
- •Розділ 4. Дискретне програмування
- •4.1 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-1)
- •4.2 Задача частково дискретного лп. Метод Гоморi-2
- •4.3 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-3
- •4.4 Задача частково дискретного лп. Метод Дальтона-Ллевелiна
- •4.5 Задача дискретного лп. Метод гілок I границь
- •Розділ 5. Нелінійне програмування. Безумовна однопараметрична оптимізація
- •5.1 Загальні відомості
- •5.2 Методи виключення інтервалів
- •Зауваження
- •5.3 Поліноміальна апроксимація
- •5.4 Методи оптимізації з використанням похідних
- •Розділ 6. Нелінійне програмування. Методи умовної оптимізації
- •6.1 Класична задача математичного програмування
- •6.2 Задача опуклого квадратичного програмування.
- •6.3. Метод Франка – Вулфа розв’язання задач квадратичного програмування (зкп)
- •Розділ 7. Теорія прийняття рішень
- •7.1. Теорія корисності і прийняття рішень
- •7.1.1. Прийняття рішень в умовах ризику
- •7.1.2. Критерій “очікуване значення – дисперсія”
- •7.1.3. Критерій граничного рівня.
- •7.2. Прийняття рішень в умовах невизначеності
- •7.2.1. Класичні критерії прийняття рішень
- •7.2.2. Похідні критерії
- •Розділ 8. Прийняття рішень в ігрових ситуаціях
- •8.1 Класифікація ігор
- •8.2 Розв’язання матричних ігор у чистих стратегіях
- •8.3 Змішане розширення матричної гри
- •8.4 Властивості розв’язку матричних ігор
- •8.5. Алгебраїчний метод розв’язання матричних ігор
- •8.6 Графічний метод розв’язання ігор 2nіm 2.
- •8.7 Матричний метод розв’язання ігор
- •8.8. Ітеративні методи розв’язання ігор
- •8.9. Метод послідовного наближення до ціни гри
- •Розділ 9. Нескінченні антагоністичні ігри
- •9.1. Визначення нескінченної антагоністичної гри
- •9.2 Ігри з опуклими функціями виграшів
- •Розділ 10. Безкоаліційні ігри
- •Розділ 11. Кооперативні ігри
- •11.1 Характеристика кооперативних ігор
- •11.2. Характеристичні функції ігор з малим числом гравців
- •Розділ 12. Вправи для самостійної роботи та для практичних і лабораторних занять
- •12.1. Побудова математичних моделей задач
- •12.2. Розв’язання задач лінійного програмування
- •12.3 Розв’язання транспортних задач
- •12.4 Розв’язання задач цілочислового програмування
- •12.5 Розв’язання задач нелінійного програмування
- •12.6 Розв’язання матричних ігор
- •12.7 Лабораторний практикум
- •Розділ 13. Контрольна робота для студентів заочної форми навчання
- •13.1 Правила вибору задач контрольної роботи
- •13.2 Варіанти завдань контрольної роботи
- •Література
- •1.1 Етапи дослідження операцій 5
8.3 Змішане розширення матричної гри
Дослідження в матричних іграх починається з пошуку її сідлової точки в чистих стратегіях. Якщо матрична гра має сідлову точку в чистих стратегіях, то пошуком цієї сідлової точки і закінчується дослідження гри. Якщо ж у грі немає сідлової точки в чистих стратегіях, то можна знайти нижні і верхню чисті ціни цієї гри, що вказують, що гравець 1 не повинен сподіватися на виграш більший, ніж верхня ціна гри, і може бути упевнений в отримані виграшу не менше нижньої ціни гри. Покращення рішень матричних ігор слід шукати у використанні таємності застосування чистих стратегій і можливості багаторазового повторення ігор у вигляді партії.
Цей результат досягається шляхом застосування чистих стратегій випадково, з визначеною імовірністю.
Означення 8.4. Змішаною стратегією гравця називається повний набір ймовірностей застосування його чистих стратегій, тобто – це вектор, компонентами якого є ймовірності вибору чистих стратегій гравців.
Таким чином, якщо гравець 1 має m чистих стратегій 1,2,...,m, то його змішана стратегія x – це набір чисел x = (x1, ..., xm), що задовольняють співвідношенням
xi 0, (i = 1,m), = 1.
Аналогічно для гравця 2, що має n чистих стратегій, змішана стратегія y – це набір чисел
y = (y1, ..., yn), yj 0, (j = 1,n), = 1.
Оскільки застосування гравцем щораз тільки однієї чистої стратегії виключає застосування іншої, то чисті стратегії є неспільними подіями. Крім того, вони є єдиними можливими подіями.
Чиста стратегія – це окремий випадок змішаної стратегії. Дійсно, якщо в змішаній стратегії яка-небудь i-та чиста стратегія застосовується з ймовірністю 1, то всі інші чисті стратегії не застосовуються. І ця i-та чиста стратегія є частковим випадком змішаної стратегії. Для дотримання таємності кожен гравець застосовує свої стратегії незалежно від вибору іншого гравця.
Означення 8.5. Середній виграш гравця 1 у матричній грі з матрицею А описується у вигляді математичного очікування його виграшів
E (A, x, y) ==x A y
Перший гравець має на меті за рахунок зміни своїх змішаних стратегій х максимально збільшити свій середній виграш Е (А, х, y), а другий – за рахунок своїх змішаних стратегій прагне зробити Е (А, х, y) мінімальним, тобто для розв’язання гри необхідно знайти такі х і y, при яких досягається верхня ціна гри
Е (А, х, y).
Аналогічної повинна бути ситуація і для гравця 2, тобто нижня ціна гри повинна бути
Е (А, х, y).
Подібно іграм, що мають сідлові точки в чистих стратегіях, вводитья таке означення: оптимальними змішаними стратегіями гравців 1 і 2 називаються такі набори хо і уо , відповідно яким задовольняються рівності
Е (А, х, y) =Е (А, х, y) = Е (А, хо, уо).
Величина Е (А, хо ,уо), при цьому, називається ціною гри і позначається через символ .
Є, також й інше означення оптимальних змішаних стратегій: хо, уо називаються оптимальними змішаними стратегіями відповідно гравців 1 і 2, якщо вони утворять седловую точку:
Е (А, х, уо) Е (А, хо, уо) Е (А, хо, у)
Оптимальні змішані стратегії і ціна ігри називаються розв’язком матричної гри.
Основна теорема матричних ігор має вигляд:
Теорема (про мінімакс). Для матричної гри з будь-якою матрицею А існують рівні між собою величини
Е (А, х, y) і Е (А, х, y).
Звідси, для того щоб x* = (x*1,…,x*m) була оптимальною змішаною стратегією першого гравця для матричної гри з нульовою сумою а платіжною матрицею А та ціною гри , необхідно та достатньо виконання нерівностей
Для другого гравця у* = (у*1,…,y*n) буде оптимальною змішаною стратегією, якщо
Компонентами векторів (х*, у*) є ймовірності вибору чистих стратегій гравцями в змішаній стратегії.