8.9. Метод послідовного наближення до ціни гри

Часто під час дослідження операцій виникає ситуація, коли не має по­треби в точному розв’язку гри, або через якісь причини не можна знайти точного значення ціни гри та оптимальних змішаних стратегій гравців.

Суть методу полягає в тому, що гра в уяві розігрується кілька разів, тобто в кожній партії гри кожний партнер вибирає ту свою стра­тегію, яка дає йому найбільший сумарний виграш. Інакше кажучи, кож­ний гравець вибирає таку послідовність своїх чистих стратегій, яка забезпечує першому гравцю максимальний середній виграш, а другому - мінімальний середній програш. Після реалізації кількох партій гри обчислюється середнє значен­ня виграшу першого гравця, програшу другого гравця, а їх середнє ариф­метичне береться за приблизне значення ціни гри. Крім того, цей метод надає можливість визначити наближене значення оптимальних змішаних стратегій обох партнерів.

Розглянемо матричну гру двох гравців з платіжною матри­цею

Результати застосування методу зведемо в табл. 8.1:

_- найбільший сумарний виграш першого гравця за кілька партій гри, поділений на число партій;

_- найменший сумарний програш другого гравця за те саме число партій гри, поділений на число партій

Таблиця 8.1

№	Стратегія	Сумарний виграш			Стратегія	Сумарний виграш
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	4	5	1	2	5	3	5	5/1	3/1	8/2
2	2	9	8	8	1	9	8	8	9/2	8/2	17/4
3	2	14	11	11	1	13	13	11	14/3	11/3	25/6
4	3	17	16	15	1	17	18	14	16/4	14/4	30/8
5	3	20	21	19	2	22	21	19	21/5	19/5	30/10
6	3	23	26	23	2	27	24	24	26/6	24/6	50/12
7	2	28	29	28	2	32	27	29	29/7	27/7	56/14
8	2	33	32	33	1	36	32	32	33/8	32/8	65/8
9	2	38	35	38	1	40	37	35	38/9	35/9	73/18
10	3	41	40	42	3	41	42	39	42/10	39/10	81/20
11	3	44	45	46	3	42	47	43	46/11	42/11	88/22
12	1	48	50	47	2	47	50	48	50/12	47/12	97/14
13	1	52	55	48	2	52	53	53	55/13	51/13	106/26
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
14	1	56	60	49	2	57	56	56	60/14	56/14	116/28
15	2	61	63	54	2	62	59	63	63/15	59/15	122/30

Заповнюємо таблицю таким чином.

Нехай другий гравець вибрав свою першу стратегію, тоді перший виграв:

4, якщо вибере свою першу стратегію;

5, якщо вибере свою другу стратегію;

1, якщо вибере свою третю стратегію.

Ці значення запишемо в 2-5 стовпці табл. 2.1. Максимальний виграш першого гравця буде тоді, якщо він використав свою другу стратегію. При цьому другий гравець програв:

5, якщо вибере свою першу стратегію,

3, якщо вибере свою другу стратегію,

5, якщо вибере свою третю стратегію.

Ці дані запишемо в 6 - 9 стовпці табл. 8.1. Для другої страте­гії першого гравця другий матиме найменших програш, якщо вибере свою другу стратегію. У стовпець 10 запишемо найбільший середній виграш першого гравця, який він має в першій партії гри, тобто 5/1, а у стовпець II занесемо найменший середній програш 3, який мав другий гравець у першій партії, в стовпець 12 запишемо середнє арифметичне, тобто наближене значення ціни гри: 5/1 + 3/1 : 2 = 8/2. Якщо другий гравець використовуватиме свою другу стратегію у другій партії гри, то перший має отримати 5, 3, 5 відповідно при своїх першій, другій, третій стратегіях, а сумарний виграш його за дві партії гри буде:

4 + 5 = 9 - при його першій стратегії;

5 + 3 = 8 - при його другій стратегії;

І + 5 = 6 - при його третій стратегії.

Ці сумарні виграши запишемо в другий рядок табл. 8.1 /стовпці 3 - 5/. З них найбільшим є 9, що відповідає першій стратегії першого гравця, тобто в цій партії йому необхідно вибрати цю свою стратегію. Другий гравець програв при цьому 4, 5, 3 відповідно при першій, дру­гій, третій своїх стратегіях, а його сумарний програш за дві партії гри буде:

5 + 4 = 9 - при його першій стратегії;

3 + 5 = 8 - при його другій стратегії;

5 + 3 = 8 - при його третій стратегії.

Ці сумарні програши запишемо в другий рядок табл. 8.1 /стовпці 7- 9/.

Із цих програшів найменшим є 8, що відповідає другій та третій його стратегіям, тобто в третій партії гри другий гравець мо­же використовувати будь-яку з цих двох стратегій, нехай другу. У стовпці 10 запишемо найбільший сумарний виграш першого гравця за дві партії, поділений на число партій, тобто 9/2, у стовпець 11 - відповідно 8/2 - найменший сумарний програш другого гравця за дві партії, поділений на число партій, а у стовпець 12 - їх середнє арифметичне - 17/4.

Продовжуючи далі цей процес, заповнимо всю табл. 8.1 для 15 партій. Звідси можна обчислити, що наближена змішана стратегія пер­шого гравця має вигляд Х = (5/15, 8/15, 2/15), другого - Y = (4/15, 6/15, 5/I5), а ціна гри -  = 61/18.

Точне значення змішаних стратегій гравців буде:

а ціна гри 4,067.

Таке наближення буде досить добрим.