4.5 Задача дискретного лп. Метод гілок I границь

Постановка задачі дискретного ЛП (ДЗЛП). Необхідно знайти вектор x=(x₁,...,x_n), що мiнiмiзує цільову функцію

L(x) = c₁x₁ + ... + c_nx_n(4.22)

i задовольняє систему обмежень

a₁₁x₁+ . . . + a₁_nx_n R₁ a₁₀,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (4.23)

a_m₁x₁+ . . . + a_m_nx_n R_m a_m₀,

x_j³0, j=1,...,n, (4.24)

x_j – цілі, j=1,...,n. (4.25)

де символ R_i (i=1,...,m) замінює один із знаків: £, =, ³.

Вважається також, що багатокутна множина, яка визначається співвідношеннями (4.23)(4.24), обмежена, а коефіцієнти c_j цільової функції (4.22) – цілі числа.

Наведемо алгоритм методу Ленд-Дойг, яким є реалізація методу гілок та границь для сформульованої вище задачі.

Виклад методу Ленд-Дойг. Розв'язується ЗЛП (4.22)-(4.24), яка отримана з вихідної ДЗЛП (4.22)-(4.25) відкиданням умови дискретності змінних (4.25) (гілка 0;1). Якщо її розв'язок x(0;1) – дискретний, то він є розв'язком – вихідної ДЗЛП. Інакше, величина x(0;1)=L(x(0;1)) дає нижню оцінку (границю) цільової функції ДЗЛП на множині D(0;1)=D, що визначається співвідношеннями (4.23), (4.24).

Нехай деяка координата x_j(0;1) (j=1,...,n) розв'язку x(0;1) не є дискретною. В цьому випадку здійснюється розгалуження множини D(0;1) на дві пiдмножини D(1;1) i D(1;2) додаванням до обмежень, що задають D(0;1), обмежень x_j£[x_j(0;1)] та x_j³[x_j(0;1)]+1 відповідно, де [z] – ціла частина числа z. Далі розв'язуються нові допоміжні ЗЛП з обмеженнями, які визначаються пiдмножинами D(1;1) та D(1;2), знаходяться границі x(1;1) та x(1;2) i т. д.

Для подальшого розгалуження обирається перспективна множина D(k;r) з найменшою границею x(k;r). Процес продовжується до тих пір, поки не буде отримано розв'язок, який задовольняє умову дискретності i для якого виконується ознака оптимальності (див. п. 4 алгоритму). Внаслiдок обмеженості допустимої множини ЗЛП (скінченності допустимої множини ДЗЛП) метод Ленд-Дойг буде скiнченим.

Алгоритм методу Ленд-Дойга.

1. Визначаються множини D(k;r) умовами (4.23), (4.24) i додатковими обмеженнями, які виникають в процесі розгалуження (див. пункт 5). На 0-у кроцi покладаємо D(0;1)=D, де D задається умовами (4.23), (4.24).

2. Розв'язуються допоміжні ЗЛП на множинах D(k;r). Нехай x(k;r) –оптимальні розв'язки вказаних ЗЛП.

3.Обчислюються границі на множинах D(k;r) за формулою x(k;r)= ]L(x(k;r))[, де ]z[ – найменше ціле число, не менше z.

4. Якщо існують k, l такі, що x(k;l) – дискретний розв'язок та для всіх гілок r на k-му кроцi виконуються співвідношення L(x(k;l)) = x(k;l) £ x(k;r), то x* = x(k;l) – оптимальний розв'язок ДЗЛП.

5. Розгалуження здійснюється по недискретній компоненті x_j(k;r) (з мінімальним j) розв'язку x(k;r), що відповідає перспективній вітці k;r (якщо таких гілок декілька, то вибирається гілка з мінімальним r), додаванням до D(k;r) однієї з пiдмножин x_j£[x_j(k;r)] або x_j³[x_j(k;r)]+1.

Іншими словами, як і в методі Гоморі, процес починається з розв’язання вихідної задачі. Якщо план X^* не задовольняє умову цілочисельності, то значення цільової функції =L(X) дає верхню оцінку шуканого розв'язку на множині планів G. Якщо деяка базисна змінна {x_l}- дробова, то в цілочисловому плані її слід зменшити до {x_l} або збільшити до {x_l}+1. Тобто, вихідна множина G₀ розбивається на дві підмножини

Знаходимо розв’язки та оцінки на цих підмножинах. Якщо розв'язки на G⁽¹⁾₁, та G⁽²⁾₁, цілочислові, то оптимальним буде той, в якого оцінка  більша. Якщо ж, припустимо, що на множині G⁽¹⁾₁ маємо цілочислове розв'язування, а на G⁽²⁾₁ - дробове, але (G⁽²⁾₁) (G⁽¹⁾₁), то продовжуємо розбивати підмножину G⁽²⁾₁, оскільки на наступному кроці знайдемо цілочисловий план, оцінка якого буде більша від оцінки G⁽¹⁾₁). Цей процес продовжується поки не знайдемо цілочисловий розв’язок з максимальною оцінкою.

Приклад 4.2. Розв’язати методом гілок і границь задачі ЛП:

x₁ +2x₂  max,

2x₁ +2x₂  7,

4x₁ –5x₂  9,

x₁  0, x₂  0; де - х₁, х₂ - цілі.

Використовуючи геометричну інтерпретацію, на попередньому кроці знаходимо розв’язок вихідної ЗЛП без умов цілочисельності змінних на множині планів задачі G₀ (рис. 4.1,а). Верхня оцінка (G₀)= 7, оптимальний план X^*₀=(0,7/2). Оскільки змінна x₂ - дробова, то у цілочисловому розв'язку її слід зменшити до 7/2 = 3, або збільшити до 7/2+ 1 = 4. На першому кроці множина G₀розбивається на дві підмножини G⁽¹⁾₁ та G⁽²⁾₁ , де:

Розв’язавши дві задачі ЛП на підмножинах G⁽¹⁾₁ та G⁽²⁾₁ (рис. 4.1,б), знайдемо: Х⁽¹⁾₁=(1/2,3); (G⁽¹⁾₁) = 13/2; G⁽²⁾₁=; (G⁽²⁾₁)= – .

Розіб’ємо підмножину G⁽¹⁾₁ на G⁽¹⁾₂ та G⁽²⁾₂ (рис. 4.1, в), де

Розв’язуючи отримані таким чином ЗЛП дістаємо: Х⁽¹⁾₂= (0,3); (G⁽¹⁾₂) = 6; Х⁽²⁾₂= (1,5/2); (G⁽²⁾₂) = 6.

Оскільки на G⁽²⁾₂ змінна х₂ - дробова, то розбиваємо G⁽²⁾₂ на підмножини (рис. 4.1, г):

З рис. 4.1,г дістаємо, що: Х⁽¹⁾₃=(3/2,2); (G⁽¹⁾₃)=11/2 < (G⁽¹⁾₂). G⁽²⁾₃=. На цьому розв’язування цілочислової ЗЛП закінчено й тому робимо висновок, що X^*=(0,3), L(X^*)=6.