4.3 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-3

Постановка задачі дискретного програмування (ДЗЛП). Знайти вектор x=(x₁,...,x_n), що мiнiмiзує цільову функцію

L(x) = c₁x₁ + ... + c_nx_n (4.11)

i задовольняє систему обмежень

a₁₁x₁ + . . . + a_1nx_n = a₁₀,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (4.12)

a_m1x₁ + . . . + a_mnx_n = a_m0,

x_j³0, j=1,...,n, (4.13)

x_j — цілі, j=1,...,n. (4.14)

Виклад методу Гоморi-3. Метод Гоморi-3 полягає у такому.

Нехай обмеження (4.12) ЗЛП (4.11)–(4.13) приведені до майже канонічного вигляду:

x_i +a_i,m+1 x_m+1 +...+a_in x_n =a_i0, i=1,...,m, (4.15)

де a_ij, i=1,...,m, j=0,m+1,...,n, – цілі та симплекс-рiзницi D_j³0, j=1,...,n.

Якщо a_i0³0, i=1,...,m, то обмеження (4.15) визначають оптимальний розв'язок ДЗЛП (4.11)–(4.14), інакше, визначається деякий дискретний майже допустимий базисний розв'язок (МДБР) вихідної ЗЛП. Можна було б вибрати один з індексів i, для якого a_i0<0, та виконати iтерацiю двоїстого симплекс-методу. Проте в цьому випадку дискретність нових параметрів була б, взагалі кажучи, порушена через необхідність ділення на ведучий елемент перетворення. Цього можна уникнути лише тоді, коли ведучий елемент дорівнює –1. Виявляється, що можна побудувати додаткове обмеження, якому задовольняють всі дискретні розв'язки ДЗЛП i яке разом з тим визначає ведучий рядок перетворення, що має ведучий елемент –1. Будується воно за l-м обмеженням системи (4.15), для якого a_i0 мінімальне серед від'ємних a_i0, i має вигляд:

x_n+1 +a_m+1,m+1 x_m+1 +...+a_m+1,n x_n =a_m+1,0,

де x_n+1 ³ 0 – додаткова змінна,

a_m+1,j = [a_lj/a], j=0,m+1,...,n,

a = max { –a_lj }, j=m+1,...,n.

Отже, симплекс-таблиця розширюється за рахунок (m+1)-го рядка з елементами a_m+1,j (a_m+1,j=0, де j=1,...,m) та одиничного стовпця A_n+1, що відповідає додатковій змінній x_n+1. Потім, виконується iтерацiя двоїстого симплекс-методу з (m+1)-им ведучим рядком.

Алгоритм методу Гоморi-3.

1. Зводимо вихідну ЗЛП (4.11)–(4.13) до майже канонічної ЗЛП (МКЗЛП) з цiлочисельними коефіцієнтами, що визначає дискретний МДБР x(0), для якого D_j³0, j=1,...,n.

2. Нехай на s-й iтерацiї отримана повністю дискретна МКЗЛП

x_i +a_i,M+1 x_M+1 +...+a_iN x_N =a_i0, i=1,...,M,

що визначає дискретний N-вимiрний МДБР x(s) = (a₁₀,..,a_M0, 0,..,0).

3. Якщо a_i0³0, i=1,...,M, то кінець: x(s) – оптимальний розв'язок ДЗЛП. Інакше,

4. Якщо для деякого i такого, що a_i0<0, a_ij³0, j=1,...,N, то кінець: вихідна ДЗЛП не має допустимих розв'язкiв. Якщо таких i немає, то

5. Знаходимо l=argmin{a_i0}, де i: a_i0<0. Визначаємо a=max{–a_lj}, j=M+1,...,N, і будуємо додаткове обмеження

x_N+1 +a_M+1,M+1 x_M+1 +...+a_M+1,N x_N =a_M+1,0,

де x_N+1³0 – додаткова змінна, a_M+1,j – ціла частина відношення a_lj/a, j=0,M+1,...,N.

6. Розширюємо таблицю за рахунок (M+1)-го рядка (додаткове обмеження) та (N+1)-го стовпця, що відповідає додатковій змінній x_N+1.

7. Знаходимо k=argmin{D_j}, де j: a_M+1,j<0. Переходимо до нового цiлочисельного МДБР x(s+1), виконуючи симплекс-перетворення з ведучими рядком M+1 та стовпцем k. Якщо k – індекс однієї з додаткових змінних, то переходимо до п. 8, iнакше – до п. 3, заміняючи M на M+1, N на N+1, s на s+1.

8. Виключаємо з подальшого розгляду (викреслюємо) k-й стовпець та (M+1)-й (останній) рядок симплекс-таблицi, перенумеровуємо решту додаткових змінних для збереження неперервної нумерації всіх змінних задачі i переходимо до п. 3, заміняючи s на s+1.