Розділ 7. Теорія прийняття рішень

Залежно від умов зовнішнього середовища і степеня інформативності особи, що приймає рішення (ОПР) прийнята така класифікація задач прийняття рішень:

а) в умовах ризику;

б) в умовах невизначеності;

в) в умовах конфлікту або протидії (активного супротивника).

7.1. Теорія корисності і прийняття рішень

7.1.1. Прийняття рішень в умовах ризику

Критерій очікуваного значення.Використання критерію очікуваного значення обумовлено прагненням максимізувати очікуваний прибуток (або мінімізувати очікувані витрати). Використання очікуваних величин припускає можливість багаторазового розв’язання однієї і тієї ж задачі, поки не будуть отримані досить точні розрахункові формули. Математично це виглядає таким чином.

Нехай Х– випадкова величина з математичним очікуванням MX і дисперсією DX. Якщо x₁, x₂, ..., x_n – значення випадкової величини X, то їх середнє арифметичне (вибіркове середнє) значень має дисперсію. Таким чином, колиn  , то  0 і  MX.

Іншими словами для досить великого обсягу вибірки різниця між середнім арифметичним і математичним очікуванням прагне до нуля (гранична теорема теорії імовірності). Отже, відповідно даному критерію очікуване значення вірним буде тільки у випадку, коли одне і теж рішення приходиться застосовувати досить велике число раз. Вірним буде і зворотне - орієнтація на очікування для рішень, що приходиться приймати невелике число раз, буде призводити до невірних результатів.

Приклад 7.1. Потрібно прийняти рішення про те, коли необхідно проводити профілактичний ремонт ПЕОМ, щоб мінімізувати втрати через несправність. У випадку якщо ремонт буде здійснюватись надто часто, витрати на обслуговування будуть великими при малих втратах через випадкові поломки.

Оскільки неможливо заздалегідь визначити, коли виникне несправність, необхідно знайти імовірність того, що ПЕОМ вийде з ладу в період часу t. У цьому і складається елемент ”ризику”.

Математично це виглядає таким чином: ПЕОМ ремонтується індивідуально, якщо вона зупинилася через поломку. Через T інтервалів часу виконується профілактичний ремонт усіх n ПЕОМ. Необхідно визначити оптимальне значення Т, для якого мінімізуються загальні витрати на ремонт несправних ПЕОМ і проведення профілактичного ремонту в розрахунку на один інтервал часу.

Нехай р_t – імовірність виходу з ладу однієї ПЕОМ у момент t, а n_t – випадкова величина, що дорівнює числу усіх вийшовших з ладу ПЕОМ у той же момент. Нехай далі С₁ – витрати на ремонт несправної ПЕОМ і С₂ – витрати на профілактичний ремонт однієї машини.

Застосування критерію очікуваного значення в даному випадку виправдано, якщо ПЕОМ працюють протягом досить великого періоду часу. При цьому очікувані витрати (ОВ) на один інтервал складуть

ОВ = ,

де M(n_t) – математичне очікування числа вийшовших з ладу ПЕОМ у момент часу t.

Оскільки n_t характеризується біноміальним законом розподілу з параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t .

ОВ = ,

при цьому необхідні умови оптимальності T^* мають вигляд:

ОВ (T^*-1)  ОВ (T^*),

ОВ (T^*+1)  ОВ (T^*).

Отже, починаючи з малих значень T, обчислюють ОВ(T), поки не будуть задоволені необхідні умови оптимальності.

Нехай С₁ = 100; С₂ = 10; n = 50. Значення p_t мають вигляд:

T	рt		ОВ(Т)
1	0.05	0
2	0.07	0.05	375
3	0.10	0.12	366.7
4	0.13	0.22	400
5	0.18	0.35	450

T^* 3 , ОВ(Т^*)  366.7

Отже профілактичний ремонт необхідно робити через T^*= 3 інтервали часу t.