Розділ 5. Нелінійне програмування. Безумовна однопараметрична оптимізація

5.1 Загальні відомості

Незважаючи на те, що безумовна оптимізація функції однієї змінної є найпростішим типом оптимізаційних задач, вона займає центральне місце в теорії оптимізації як з теоретичної, так і з практичної точок зору. Це пов'язано з тим, що задачі однопараметричної оптимізації найчастіше зустрічаються в інженерній практиці і, крім того, знаходять своє застосування під час реалізації більш складних ітеративних процедур багатопараметричної оптимізації.

У загальному випадку під час розв’язування задач оптимізації розглядається два питання. Це аналіз функції у статиці, що полягає у тому, щоб визначити, чи є дане рішення оптимальним. Для цього існують необхідні і достатні умови оптимальності. Друге питання - аналіз функції у динаміці, що пов’язане з тим, щоб знайти оптимальне рішення. З цією метою нижче розглядається ряд одномірних ме­тодів пошуку, орієнтованих на знаходження точки оптимуму всередині деякого зада­ного інтервалу. Методи пошуку, які дозволяють визначити оптимум функції однієї змінної шляхом послідовного виключення інтервалів, тобто шляхом зменшення інтервалу пошуку, носять назву методів вилучення інтервалів. Необхідною умовою для використання методів виключення інтервалів під час розв’язування оптимізаціїних задач є вимога унімодальності функції.

Означення 5.1. Функція єунімодальною на інтервалі тоді і тільки тоді, коли вона монотонна по обидві обидва боки від єдиної оптимальної точки. Інакше кажучи, якщоє єдиною точкою мінімуму функціїна інтервалі, то функціяє унімодальною тільки тоді, коли для деякихтаякщо, то виконується умова, а колито виконується умова.

Унімодальність функцій є виключно важливою властивістю. Фактично усі одномірні методи пошуку, що використовуються на практиці, засновані на тому, що вважають, що досліджувана функція у допустимому інтервалі має властивість унімодальності. Корисність цієї властивості визначається тим фактом, що для унімодальної функції f(x) порівняння значень f(x) у двох різних точках інтервалу пошуку дозволяє визначити, в якому із заданих двома вказаними точками підінтервалів точка оптимуму відсутня.

Теорема 5.1. Нехай функція f(x) унімодальна на замкненому інтервалі , а її мінімум досягається у точці x*. Розглянемо точки x₁ та x₂ , розташовані у інтервалі таким чином, що . Порівнюючи значення функції у точкахта, можна зробити такі висновки.

1. Якщо , то точка мінімумуне лежить у інтервалі, тобто.

2. Якщо , то точка мінімумуне лежить у інтервалі, тобто.

Примітка. Якщо f(x₁) = f(x₂), то можна виключити обидва крайні інтервали (a, x₁) та (x₂, b) ; при цьому точка мінімуму повинна розміщуватись у інтервалі (x₁, x₂).

Згідно з теоремою 5.1, яку ще називають правилом виключення інтервалів, можна реалізувати процедуру пошуку, що дозволяє знайти точку оптимуму шляхом послідовного вилучення частин початкового обмеженого інтервалу. Пошук завершується, коли підінтервал, що залишився, зменшується до достат­ньо малих розмірів. Зауважимо, що правило вилучення інтервалів усуває не­обхідність повного перебору всіх допустимих точок. Безперечною перевагою пошукових методів такого роду є те, що вони основані лише на обчисленні значень функції. При цьому не вимагається, щоб досліджувані функції були диференційовані; більше того, допускаються навіть випадки, коли функцію немає можливості записати у аналітичному вигляді. Єдиною вимогою є можливість визначення значень функції f(x) у заданих точках x за допомогою прямих розрахунків або імітаційних експериментів. У загальному випадку під час пошуку оптимумів можна виділити два етапи:

• етап встановлення границь інтервалу, що реалізує процедуру пошуку границь досить широкого інтервалу, що містить точку оптимуму;

• етап зменшення інтервалу, на якому реалізується скінченна послідовність пе­ретворень початкового інтервалу із тим, щоб зменшити його довжину до заздалегідь встановленої величини.

Своєрідним індикатором важливості методів оптимізації функції однієї змінної є складність алгоритмів, які можна згрупувати таким чином:

• методи виключення інтервалів;

• методи поліноміальної апроксимації;

• методи оптимізації з використанням похідних.