Розділ 12. Вправи для самостійної роботи та для практичних і лабораторних занять

12.1. Побудова математичних моделей задач

12.1.1. Потрібно щонайкраще вкласти b доларів в акції трьох акціонерних підприємств (АП), не більш ніж по b_i дол. у кожне. Ціни акцій відомі: c₁, c₂, c₃; дивіденди складають: a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ = 0. Відомо також, що з імовірністю p ціна акції третього АП може вирости до кінця розрахункового періоду до величини c₃* > c₃. Який капітал слід вкласти в кожне АП, щоб отримати максимальний сумарний прибуток?

12.1.2. У морському порту є предмети (вантажі) n видів. Предмет j-го виду має масу a_j і цінність c_j. Потрібно завантажити корабель вантажопідйомністю b так, щоб цінність вантажу була найбільшою.

12.1.3. Під посів n культур відведено m земельних ділянок площею a₁,...,a_n га. Середня врожайність j-ої культури на i-ділянці складає а_ij центнерів з га. Виторг за один центнер j-ої культури p_j у.о. Яку площу на кожній ділянці слід віднести під кожну з культур, щоб отримати максимальний виторг, якщо за планом треба зібрати не менше b_j центнерів j-ої культури?

12.1.4. Нафтопереробний завод має два сорти нафти: А - 10 од., В - 15 од. Під час переробці з нафти виходить бензин (Б) і мазут (М). Є три варіанти технологічного процесу переробки: I: 1 од. А + 2 од. В дає З од. Б + 2 од. М; II: 2 од. А + 1 од. В дає 1 од. Б + 5 од. М; III: 2 од. А + 2 од. В дає 1 од. Б + 2 од. М. Ціна мазуту - 1 дол. за одиницю, ціна бензину-10 дол. за одиницю. Знайти найвигідніший технологічний процес переробки нафти.

12.1.5. Для опалення будинку узимку час літом закуповується вугілля. Для нормальної зими потрібно 15 тонн вугілля, для м'якої зими досить 10, а для суворої – 20. Для м'якої, нормальної і суворої зими різні - відповідно 10, 15, 20 од. вартості за тонну. Влітку вугілля можна купити по 10 од. вартості за тонну. Або слід купувати улітку усе вугілля на зиму або тільки його частину, докупивши узимку відсутню частину, з огляду на те, що надлишок вугілля після зими зберегтися не може?

Відповіді:

12.1.1. a₁x₁ + a₂x₂ + p*x₃ → max,

за обмежень:c₁x₁ ≤ b₁,

c₂x₂ ≤ b₂,

c₁x₁ ≤ b₁,

c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ = b,

x_j ≥ 0, j = 1,…,3...

де x_j - кількість акцій i-го АП; р*=р (c₃* - c₃) - очікуваний доход від акцій 3-го АП.

12.1.2.

де x_j - кількість предметів j-го виду, що завантажуються на корабель.

12.1.3.

x_ij ≥ 0 для всіх i, j,

де x_ij площа під j-ту культуру на i-ій ділянці.

12.1.4.

32х₁ + 15х₂ + 12х₃ → max,

x₁ + 2x₂ + 2x₃ ≤ 10,

2x₁ + x₂ + 2x₄ ≤ 15,

x_j ≥ 0, j=1,2,3 (цілі),

де x_i.- кількість використання i-го варіанта технологічного процесу.

12.1.5.

- матрична гра (з природою). Оскільки сідлова точка є (3,3), те варто купити 20 тонн вугілля.

12.2. Розв’язання задач лінійного програмування

12.2.1. Графічним методом знайти розв’язок таких задач:

а) x₁ + x₂ → max б) 2x₁ + x₂ → max

3x₁ – 2x₂ ≤ 6, -x₁ + x₂ ≤ 2,

-x₁ + 2x₂ ≤ 4, x₁ + 2x₂ ≤ 7,

3x₁ + 2x₂ ≤ 12; 4x₁ – 3x₂ ≤ 6;

x₁ ≥ 0; x₁, x₂ ≥ 0;

Відповіді:а) x* = (2,3); б) х* = (3,2); в) x* = (1,2); г) x* = (1,-2).

12.2.2. Звести наведені нижче задачі до канонічної форми з діагональною матрицею обмежень.

а) 8x₁ – 2x₂ – x₃ → max, б) x₁ + x₃ – 7x₄ + x₅ → max

x₁ + 3x₂ + x₃ ≤ 4, x₁ – x₂ + 6x₄ – 2x₅ = -7,

7x₁ - x₃ ≤ 16, x₂ – x₃ – 4x₄ + 6x₅ = 24,

2x₁ – x₂ – x₃ = 2, x₁ + x₂ – x₃ – 4x₄ + 7x₅ =32,

x_j ≥ 0, j = 1,2,3 x_j ≥ 0, j = 1,…,5

12.2.3. Розв’язати симплексом-методом наведені нижче задачі. В усіх задачах змінні невід'ємні.

1)	x1 + x2 + x3 ® min,	2)	2 x1 + x2 – x3 – x4 ® min,
	x1 – x4 – 2 x6 = 5,		x1 + x2 + 2 x3 – x4 = 2,
	X2 + 2 x4 – 3 x5 + x6 = 3,		2 x1 + x2 – 3 x3 + x4 = 6,
	X3 + 2 x4 – 5 x5 + 6 x6 = 5;		x1 + x2 + x3 + x4 = 7;

3)	x1 – 2x2 + 3x3 ® min,		4)		2x1 – 3x2 ® max,	5)	6 x1 + 4 x2 ® min,
	2x1 + 3x2 + 4x3 = 1,				5x1 + 2x2 ³ 10,		2 x1 + x2 ³ 3,
	–2x1 + x2 + 3x3 = 2;				x1 + 3x2 £ 12;		x1 – x2 £ 1;
6)	2 x1 – 4 x2 ® min,	7)		7 x1 + 5 x2 ® max,		8)	3 x1 + 2 x2 ® max,
	8 x1 – 5 x2 £ 16,			7 x1 + 5 x2 ³ 7,			4 x1 + 2 x2 ³ 12,
	x1 + 3 x2 ³ 2,			7 x1 – 5 x2 ³ 35,			x1 + 2 x2 £ 10,
	2 x1 + 7 x2 £ 9;			x1 – x2 £ 0;			2 x1 + 2 x2 = 6;

9)	4 x1 + 5 x2 + 9 x3 + 11 x4 ® max,	10)	2 x1 + x2 – x3 – x4 ® min,
	x1 + x2 + x3 + x4 £ 15,		x1 + x2 + 2 x3 – x4 = 2,
	7 x1 + 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 £ 80,		2 x1 + x2 – 3 x3 + x4 = 6,
	3 x1 + 5 x2 + 10 x3 + 15 x4 £ 60;		x1 + x2 + x3 + x4 = 7;

11)	4x1 + x2 – 2x3 – x4 – x5 ® min,	12)	x1 + 2 x2 + 3 x3 – x4 ® max,
	x3 – x4 + x5 = 1,		x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15,
	x2 + 2x4 – x5 = 1,		2 x1 + x2 – 3 x3 = 20,
	x1 + 2x2 + 2x5 = 4;		x1 + 2 x2 + x4 = 10.

Відповіді:

1) x* = (7.1; 0; 0; 1.3; 0; 0.4), L(x*) = 7.1.

2) x* = (0; 4.13; 0.25; 2.63), L(x*) = 1.25.

3) Розв’язку немає ( D =  ).

4) x* = (12; 0), L(x*) = 24.

5) x* = (1.33; 0.33), L(x*) = 9.33.

6) x* = (0; 1.29), L(x*) = 5.14.

7) Розв’язку немає (цільова функція необмежена зверху).

8) x* = (3; 0), L(x*) = 9.

9) x* = (4.56; 0; 2.95; 0), L(x*) = 67.21.

10) x* = (0; 4.13; 0.25; 2.63), L(x*) = 1.25.

11) x* = (0; 0; 0.5; 1.5; 2), L(x*) = 4.5.

12) Розв’язку немає ( D =  ).

12.2.4. Розв'язати двоїстим симплекс-методом задачі лінійного програмування, умови яких задаються нижче. В усіх задачах змінні невід'ємні.

1)	6 x1 + 4 x2 ® min,	2)	2 x1 + 3 x2 ® min,	3)	–6 x1 – 4 x2 ® max,
	2 x1 + x2 ³ 3,		x1 + 5 x2 ³ 16,		2 x1 + x2 ³ 3,
	x1 – x2 £ 1,		3 x1 + 2 x2 ³ 12,		x1 – 2 x2 £ 2,
	– x1 + 2 x2 ³ 1;		2 x1 + 4 x2 ³ 16;		3 x1 + 2 x2 ³ 1;

4)	6 x1 + 4 x2 ® min,	5)	7 x1 + x2 ® min,	6)	7 x1 + 10 x2 ® min,
	2 x1 + x2 ³ 3,		x1 + x2 ³ 3,		2 x1 + 28 x2 ³ 17,
	3 x1 + 2 x2 ³ 1,		5 x1 + x2 ³ 5,		x1 + 2 x2 ³ 3;
	– x1 – x2 ³ 6;		x1 + 5 x2 ³ 5;		x1 + 17 x2 ³ 19;

7)	x1 + x2 + 2 x3 ® min,	8)	–15x1 – 33 x2 ® max,
	2 x1 – x2 – 3 x3 + x4 = – 3,		3 x1 + 2 x2 ³ 6,
	x1 – 3 x2 – 4 x3 + x5 = – 1;		6 x1 + x2 ³ 6;

9)	x1 + 2 x2 ® min,	10)	78 x1 + 52 x2 ® min,	11)	5 x1 + 4 x2 ® min,
	2 x1 + x2 £ 18,		6 x1 + 2 x2  9,		x1 + x2 £ 6,
	x1 + 2 x2 ³ 14,		10 x1 + 14 x2 13,		2 x1 + x2 ³ 9,
	x1 – 2 x2 £ 10;		11 x1  x2 ³ 6;		3 x1 + x2 ³ 11.

Відповіді:

1) x* = (1; 1), L(x*) = 10.

2) x* = (2; 3), L(x*) = 13.

3) x* = (1.5; 0), L(x*) = 9.

4) Розв’язку немає ( D =  ).

5) x* = (0; 5), L(x*) = 5.

6) x* = (0; 1.5), L(x*) = 15.

7) x* = (0; 0; 1; 0; 3), L(x*) = 2.

8) x* = (2; 0), L(x*) = 30.

9) x* = (7.33; 3.33), L(x*) = 14.

10) x* = (0.96; 1.62), L(x*) = 159.12.

11) x* = (4.5; 0), L(x*) = 22.5.