
- •Розділ 1. Методологічні основи дослідження операцій
- •1.1 Етапи дослідження операцій
- •1.2 Математичне моделювання. Загальна структура
- •1.3 Етапи математичного моделювання. Приклади
- •1.4 Розділи і класи задач дослідження операцій
- •1.5 Основні вимоги до математичних моделей і їх властивості
- •1.6 Формалізація принципів оптимального поводження в моделях прийняття рішення.
- •Розділ 2. Задачі лінійного програмування
- •2.1 Попередні відомості теорії лінійного програмування.
- •2.2 Графічна інтерпретація розв’язання задач лп
- •2.3 Змістовний опис симплекс-методу розв’язання задач лп
- •2.4 Знаходження початкового опорного плану
- •2.5 Знаходження оптимального плану
- •2.6 Застосування симплекс-таблиць
- •2.7 Метод штучної бази
- •2.8 Двоїсті (спряжені) задачі лінійного програмування
- •З другої групи умов доповняльної нежорсткості маємо
- •Розділ 3. Транспортні задачі (т-задачі)
- •3.1 Математична структура т-задач
- •3.2. Визначення початкового опорного плану т-задачі
- •3.3 Властивості опорних планів т-задач
- •3.4 Розв’язання т-задач методом потенціалів
- •3.6 Задача про оптимальні призначення
- •3.7 Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона
- •3.8 Задача про найкоротший шлях на мережi. Метод Мiнтi
- •Розділ 4. Дискретне програмування
- •4.1 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-1)
- •4.2 Задача частково дискретного лп. Метод Гоморi-2
- •4.3 Задача дискретного лп. Метод Гоморi-3
- •4.4 Задача частково дискретного лп. Метод Дальтона-Ллевелiна
- •4.5 Задача дискретного лп. Метод гілок I границь
- •Розділ 5. Нелінійне програмування. Безумовна однопараметрична оптимізація
- •5.1 Загальні відомості
- •5.2 Методи виключення інтервалів
- •Зауваження
- •5.3 Поліноміальна апроксимація
- •5.4 Методи оптимізації з використанням похідних
- •Розділ 6. Нелінійне програмування. Методи умовної оптимізації
- •6.1 Класична задача математичного програмування
- •6.2 Задача опуклого квадратичного програмування.
- •6.3. Метод Франка – Вулфа розв’язання задач квадратичного програмування (зкп)
- •Розділ 7. Теорія прийняття рішень
- •7.1. Теорія корисності і прийняття рішень
- •7.1.1. Прийняття рішень в умовах ризику
- •7.1.2. Критерій “очікуване значення – дисперсія”
- •7.1.3. Критерій граничного рівня.
- •7.2. Прийняття рішень в умовах невизначеності
- •7.2.1. Класичні критерії прийняття рішень
- •7.2.2. Похідні критерії
- •Розділ 8. Прийняття рішень в ігрових ситуаціях
- •8.1 Класифікація ігор
- •8.2 Розв’язання матричних ігор у чистих стратегіях
- •8.3 Змішане розширення матричної гри
- •8.4 Властивості розв’язку матричних ігор
- •8.5. Алгебраїчний метод розв’язання матричних ігор
- •8.6 Графічний метод розв’язання ігор 2nіm 2.
- •8.7 Матричний метод розв’язання ігор
- •8.8. Ітеративні методи розв’язання ігор
- •8.9. Метод послідовного наближення до ціни гри
- •Розділ 9. Нескінченні антагоністичні ігри
- •9.1. Визначення нескінченної антагоністичної гри
- •9.2 Ігри з опуклими функціями виграшів
- •Розділ 10. Безкоаліційні ігри
- •Розділ 11. Кооперативні ігри
- •11.1 Характеристика кооперативних ігор
- •11.2. Характеристичні функції ігор з малим числом гравців
- •Розділ 12. Вправи для самостійної роботи та для практичних і лабораторних занять
- •12.1. Побудова математичних моделей задач
- •12.2. Розв’язання задач лінійного програмування
- •12.3 Розв’язання транспортних задач
- •12.4 Розв’язання задач цілочислового програмування
- •12.5 Розв’язання задач нелінійного програмування
- •12.6 Розв’язання матричних ігор
- •12.7 Лабораторний практикум
- •Розділ 13. Контрольна робота для студентів заочної форми навчання
- •13.1 Правила вибору задач контрольної роботи
- •13.2 Варіанти завдань контрольної роботи
- •Література
- •1.1 Етапи дослідження операцій 5
11.2. Характеристичні функції ігор з малим числом гравців
Як було сказано раніше, для кожної множини гравців N існує єдиний клас стратегічно еквівалентних несуттєвих ігор з множиною гравців N. Таким чином, залишається розглянути класи істотних кооперативних ігор.
Розглянемо спочатку класи ігри у (0,1)-редуційній формі для випадку ігор з нульовою сумою.
1. Ігри 2-х гравців. Будь-яка кооперативна гра двох гравців з нульовою сумою є несуттєвою.
Доведення. Припустимо, що мається істотна кооперативна гра двох гравців з характеристичною функцією , Тоді вона повинна бути стратегічно еквівалентна деякій грі в (0,1)-редуційній формі з характеристичною функцією 1, що означає таке:
1(1) = 0, 1(2) = 0, 1(1,2) = 1 (11.6)
З властивості додатковості повинно бути 1(2) = 1(1,2) – 1(1) = 1 – 0 =1, що суперечить (11.6). А це значить, що припущення про істотність кооперативної гри двох гравців з нульовою сумою невірно.
Отже, клас кооперативних ігор двох гравців з нульовою сумою обмежується несуттєвими іграми.
2. Ігри 3-х гравців. Нехай – характеристична функція істотної гри в (0,1)-редуційній формі, тоді
(1) = (2) = (3) = 0, (1,2,3) = 1.
З властивості додатковості маємо :
(1,2) = (1,2,3) – (3) = 1– 0 =1,
(1,3) = (1,2,3) – (2) = 1– 0 =1,
(2,3) = (1,2,3) – (1) = 1– 0 =1,
і, таким чином, характеристична функція цілком визначена. Отже, є два класи кооперативних ігор трьох гравців з нульовою сумою: клас істотних і клас несуттєвих ігор.
3. Ігри 4-х гравців. Розглянемо всі класи стратегічної еквівалентності таких ігор.
Насамперед є клас несуттєвих ігор у (0,1)-редуційній формі. Визначимо характеристичну функцію такої гри:
(1) = (2) = (3) = (4) = 0, (1,2,3,4) = 1.
Виходячи з властивості додатковості, отримуємо
(1,2,3) = (1,2,3,4) – (4) = 1– 0 =1;
(1,2,4) = (1,2,3,4) – (3) = 1– 0 =1;
(1,3,4) = (1,2,3,4) – (2) = 1– 0 =1;
(2,3,4) = (1,2,3,4) – (1) = 1– 0 =1.
Тепер необхідно визначити значення характеристичної функції на коаліціях двох гравців. Усього таких коаліцій шість:
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4).
Характеристична функція на цих коаліціях відповідно властивості додатковості задовольняє тільки наступним співвідношенням:
(1,4) = 1– (2,3),
(1,3) = 1– (2,4),
(1,2) = 1– (3,4).
Оскільки значень невідомих шість, а співвідношень тільки три, то їх значення із шести можуть бути обрані довільно. Позначимо ці довільні значення через x1, x2, x3, тобто
(1,4) = x1 , (2,4) = x2 , (3,4) = x3 .
Тоді
(2,3) = 1– x1 , (1,3) = 1– x2 , (1,2) = 1– x3 .
Крім того повинно бути 0 x1, x2, x3 1 , оскільки значення характеристичної функції на коаліції з двох гравців не може бути менше, ніж значення характеристичної функції для одного з цих гравців (рівне нулю для одного гравця), і не може бути більше, ніж значення характеристичної функції для коаліції з трьох гравців (рівне одиниці для трьох гравців). Геометрично (x1, x2, x3) можна зобразити як точку одиничного куба, тобто кожному класу стратегічної еквівалентності ігор чотирьох гравців буде відповідати точка одиничного куба. Отже, множина класів стратегічної еквівалентності істотних ігор чотирьох гравців нескінченно і залежить від трьох довільних параметрів.
4.
Ігри, що складаються з більше ніж 4
гравці,
мають більшу розмаїтість класів
стратегічної еквівалентності істотних
ігор. Так, розмірність множини класів
ігор n
гравців дорівнює
,
тобто є
довільних параметрів.
Розглянемо тепер кооперативні ігри без умови постійності суми.
Для ігор 2-х гравців (множина N ={1,2}), умови редуційності дають
((() = ((1) = ((2) = ((1,2) = 1.
Таким чином, істотні кооперативні ігри двох гравців з ненульовою сумою складають один клас стратегічної еквівалентності.
Для ігор 3-х гравців (множина N ={1,2,3}), умови редуційності дають
() = (1) = (2) = (3) = 0; (1,2,3) = 1.
Значення характеристичної функції на множинах коаліцій двох гравців довільні (тут немає умови додатковості)
(1,2) = C3, (1,3) = C2, (2,3) = C1,
але задовольняють умові
0 C1, C2, C3 1.
Таким чином, класи стратегічної еквівалентності загальних кооперативних ігор трьох гравців можуть бути поставлені у відповідність точкам тривимірного одиничного куба.
Для ігор більш 3-х гравців з ненульовою сумою розгляд аналогічний.
Для дослідження ігор велике значення має можливість врахування переваги розподілу, що здійснюється за допомогою поняття домінування.
Означення11.2. Нехай є два розподіли x = (x1, ..., xn) і y = (y1, ..., yn) у кооперативній грі G = {N,}, і K N – деяка коаліція. Тоді розподіл x домінує y по коаліції K, якщо
1)
(K)
(властивість ефективності
домінуючого платежу);
2) xi > yi для всіх iK (властивість переваги).
Властивість ефективності означає, що порівнюваний коаліцією розподіл x повинен бути, реалізованим цією коаліцією: сума виграшів кожного з членів коаліції не повинна перевищувати впевнено отримувану нею кількість. Інакше коаліція, зустрівшись із розподілом, що дає їй стільки, скільки вона самостійно не в змозі дістати, повинна погодитися на нього і не займатися його порівнянням з будь-якими або іншими розподілами.
Умова переваги відображає необхідність “єдності” у перевазі з боку коаліції: якщо хоча б одна з нерівностей xi > yi буде порушена, тобто якщо хоча б для одного з членів коаліції K виграш в умовах розподілу y буде не меншим, ніж в умовах розподілу x, то можна буде говорити про перевагу розподілу x щодо розподілу y не всією коаліцією K, а тільки тими її членами, для яких відповідна нерівність xi > yi дотримується.
Співвідношення
домінування x
над y
по коаліції K
позначається через
.
Означення 11.3. Розподіл x домінує y, якщо існує така коаліція K, для якої розподіл x домінує y. Це домінування позначається таким чином:
x > y.
Наявність домінування x > y означає, що на множині гравців N знайдеться коаліція, для якої x переважає y. Відношення домінування не характеризується цілком властивостями рефлексивності, симетрії, транзитивності, можливі тільки часткова симетрія і транзитивність. Співвідношення домінування можливе не по всякій коаліції. Так, неможливе домінування по коаліції, що складається з одного гравця або з усіх гравців.
Справедлива така теорема.
Теорема
11.3. Якщо
і 1
–
дві стратегічно еквівалентні
характеристичні функції, причому
розподілам x
і y
відповідають розподіли
і
,
то зx > y
випливає
>
.
Очевидно, що усі явища, що описуються в термінах домінування розподілів, відносяться до класів стратегічної еквівалентності, тому достатньо вивчати ці класи (а не самі ігри) для істотних ігор по їх (0,1)-редуційній формі, а для несуттєвих ігор - по нульових іграх. У будь-якій несуттєвій грі є тільки один розподіл, тому ніяких домінувань у ній немає.
Розглянемо домінування розподілів в істотній грі на такому прикладі.
Приклад 11.1. Нехай є (0,1)-редуційна форма істотної гри трьох гравців з постійною сумою (рівної 1). Оскільки домінування неможливе ні по одній з одноелементних коаліцій 1, 2, 3, а також по коаліції, що складається з усіх трьох гравців, то домінування можливе тільки по одній із двохелементних коаліцій {1,2}, {1,3}, {2,3}.
Для наочності домінування розподілів введемо поняття бароцентричних координат. Осями координат служать три осі x1, x2, x3, що складають між собою однакові кути 60о, вісь x3 знаходиться на відстані одиниці від точки перетинання осей x1 і x2 (рис. 11.1), координати точки x = (x1, x2, x3) – відповідно відстані від цієї точки до осей x1, x2, x3, узяті з такими знаками, як зазначено на рис 11.1. (Наприклад, для точки x на рис. 11.1 x1 < 0, x2 > 0, x3 > 0).
У
Рис.11.1
Рис.11.22
x1 + x2 + x3 = 1. (11.6)
На площині завжди є точка з координатами x1, x2, x3, що задовольняють рівності (11.6). По цьому бароцентрична система координат автоматично задовольняє одній з умов, що визначають результат гри трьох гравців. З іншого боку, оскільки гра в (0, 1)-редуційній формі, то точка x повинна знаходитися в заштрихованому трикутнику (див. рис. 11.2). Розподіли x1, x2, x3 повинні задовольняти нерівностям
x1 + x2 (1, 2), x1 + x3 (1, 3), x2 + x3 (2, 3).
З умови додатковості очевидно, що
x1 + x2 = 1 x3 1 = (1, 2), x1 + x3 1, x2 + x3 1.
Розподіл x = (x1, x2, x3) домінує розподіл y = (y1, y2, y3)
по коаліції {1, 2}, якщо x1 > y1, x2 > y2;
по коаліції {1, 3}, якщо x1 > y1, x3 > y3;
по коаліції {2, 3}, якщо x2 > y2, x3 > y3,
тобто якщо розподіл y знаходиться в одному із показаних на рис. 11.3 паралелограмів, за винятком трьох граничних прямих, що проходять через точку x, то розподіл x домінує розподіл y, а будь-яка точка, що знаходиться в не заштрихованих трикутниках переважає x.
Таким чином, якщо x і y два результати і жоден з них не переважає інший, то відповідні точки лежать на прямій, паралельній однієї з координатних осей.
x3 = 1 x2 = 1
x
= (x1,
x2,
x3)
x3 = 1 C3
x1 = 0
x1 = 1 C1 x2 = 1 C2
Рис. 11.3 Рис. 11.4
Приклад 11.2. Нехай є (0, 1)-редуційна гра трьох гравців з ненульовою сумою.
Розглянемо спочатку умови домінування розподілу x = (x1, x2, x3) над розподілом y = (y1, y2, y3) по коаліції {1, 2}. У цьому випадку маємо :
(11.7)
Оскільки може бути так, що C3 < 1 , то першу з умов (11.7) не можна відкинути, як це робиться в іграх з постійною сумою. Це значить що, x повинно бути не нижче прямої
x1 + x2 = C3.
Або, з урахуванням (11.6), наведене вище рівняння прийме вигляд
x3 = 1 + C3 .
Таким чином, якщо розподіл x такий, що
x1 1 C1, x2 1 C2, x3 1 C3, (11.8)
то є три паралелограми, заштрихованих на рис. 11.4, знаходячись у яких, точки x домінують y.
Якщо в (11.8) одна з нерівностей, наприклад, третя не має місця, тобто тільки 2 паралелограми, заштрихованих на рис. 11.5, знаходячись у деяких точках x домінує y.
З розглянутого прикладу видно, що можливо багато варіантів, що виникають під час вивчення питань, зв'язаних з домінуванням розподілів у кооперативних іграх. З ростом числа гравців надзвичайно швидко росте кількість таких варіантів. У зв'язку з цим виникає необхідність виділення цілком стійких розподілів, тобто таких розподілів, що не домінуються ніякими іншими розподілами. Множина цілком стійких розподілів у кооперативній грі називається с-ядром цієї гри.
x1
= 1
C1
x2
= 1
C x2
= 1
C2
x1
= 1
C1
x3 = 1 C3
x
Рис. 11.5 Рис. 11.6
Теорема 11.4. Для того щоб розподіл x належав з-ядру кооперативної гри з характеристичною функцією , необхідно і досить, щоб для будь-якої коаліції K виконувалася нерівність
(11.9)
Оскільки нерівності (11.9) лінійні щодо x, то з останньої теореми випливає, що с-ядро в будь-якій кооперативній грі є опуклим багатокутником. До особливостей кооперативних ігор щодо існування с-ядра відносяться:
- у несуттєвій грі с-ядро існує і складається з єдиного розподілу цієї гри;
- у будь-якій істотній грі з постійною сумою с-ядро порожнє.
Для загальної гри трьох гравців у (0; 1)-редуційній формі маємо наступне (рис. 11.7).
Її характеристична функція має вигляд :
() = (1) = (2) = (3) = 0, (1, 2, 3) = 1,
(1, 2) = З3; (1, 3) = З2; (2, 3) = З1,
де 0 З1, З2, З3 1.
На підставі останньої теореми для належності розподілу x с-ядра необхідно і достатньо виконання нерівностей
x1 + x2 C3, x1 + x3 C2, x2 + x3 C1,
або, використовуючи рівність x1 + x2 + x3 = 1, одержимо
x3 1 C3, x2 1 C2, x3 1 C1. (11.10)
3
1 2
Рис. 11.7
Це означає, що точка x повинна лежати ближче до i-ої вершини основного трикутника (див. рис. 11.7), ніж пряма
i = 1 Сi, (i = 1,2,3). (11.11)
З нерівності (11.10) шляхом підсумовування одержимо
x1 + x2 + x3 3 (С1 + С2 + С3)
або, з огляду на те, що x1 + x2 + x3 = 1, одержимо
С1 + С2 + С3 2. (11.12)
Нерівність (11.12) є необхідною умовою існування непорожнього с-ядра. З іншого боку, якщо (11.12) виконується, то можна взяти такі невід’ємні 1, 2, 3, щоб
,
і покласти
xi
= 1
Ci
i
(i =
)
Такі значення xi і задовольняють нерівностям (11.10), тобто такий розподіл x = (x1, x2, x3) належить с-ядру.
Геометрично непорожнє с-ядро є заштрихованим трикутником (рис. 11.7), зі сторонами, що описуються рівняннями (11.11) за умови, що виконується співвідношення
1 + 2 + 3 = 1,
і розв’зок будь-якої пари рівнянь (11) є невід’ємними. Так, наприклад, розглянемо систему
1 = 1 С1, 2 = 1 З2.
Оскільки 0 С1 1, 0 С2 1, то 1, 2 0. Звідси одержуємо
3 = 1 1 2 = 1 (1 С1) (1 С2) = С1 + С2 1.
Для того, щоб 3 0, необхідно щоб С1 + С2 1 0 або С1 + С2 1.
3 3
1 2 1 2
Рис. 11.8 Рис. 11.9
У цьому випадку с-ядро, що наведено на рис. 11.7 усередині основного трикутника. Аналогічно розглядаються інші можливі варіанти сполучення нерівностей. Наприклад, якщо С1+ С2 < 1, то с-ядро має вигляд заштрихованого чотирикутника усередині основного трикутника (рис.11.8). Взагалі багатокутник, що представляє с‑ ядро, утвориться як опуклий багатокутник перетинанням прямих (11.11) і рядків основного трикутника. Якщо, наприклад, виконуються нерівності
С1 + С2 < 1; С2 + С3 < 1; С1 + С3 < 1,
то с-ядро буде у вигляді шестигранника (рис. 11.9).
Очевидно, у розв’язання кооперативної гри повинні входити розподіли, кращі з визначеної точки зору. Так, розподіли, що входять у с-ядро, є стійкими в трохи пасивному змісті, тобто за цих обставинах немає основ відхилятися від такого розподілу. Однак, знайти розподіл такий, що не тільки не домінувався б будь-якими іншими розподілами, але сам домінував би будь-який інший розподіл, не вдається. Тому розв’язок шукають на шляху розширення класу розподілів . І це розширення полягає у тому, що розв’язком гри повинен бути не один розподіл, а деяка їх множина.
Дж. фон Нейман і О. Моргенштерн запропонували вимагати від множини розподілів, що приймається як розв’язок кооперативної гри такі дві властивості: внутрішню стійкість, що полягає у в тому, щоб розподіли з розв’язку не можна було протипоставити один одному, і зовнішню стійкість, що полягає в можливості кожному відхиленню від розв’язку протиставляти деякий розподіл, що належить розв’язку. Таким чином ми приходимо до такого о означення.
Означення 11.4. Розв’язком по Нейману-Моргенштерну (Н-М- розв’язком) кооперативної гри називається множина R розподілів у ньому, що характеризується такими властивостями :
внутрішня стійкість: ніякі два розподіли з R не домінують один одного;
зовнішня стійкість: який би не був розподіл S, що не належить R, знайдеться розподіл r, що належить R, і який би домінував S.
Змістовна інтерпретація Н-М- розв’язку полягає у тому, що будь-які дві норми поведінки, що відповідають Н-М- розв’язку, не можуть бути протипоставлені один одному; яке б ні було відхилення від допустимих поведінок, знайдеться така коаліція, що буде прагнути до відновлення норми.
Теорема 11.5. Якщо в кооперативній грі існує с-ядро C і Н-М- розв’язок R, то C R.
Властивості Н-М- розв’язків.
Н-М- розв’язок кооперативної гри не може складатися тільки з одного розподілу, оскільки в цьому випадку характеристична функція гри несуттєва.
Недоліки Н-М- розв’язків.
1. Відомі приклади кооперативних ігор, що не мають Н-м-розв’язків. Більш того, у даний час не відомо критеріїв, що дозволяють судити про наявність у кооперативних ігор Н-м-розв’язків. Тим самим закладений у Н-м-розв’язках принцип оптимальності не є універсально реалізованим, і область його реалізації поки залишається невизначеною.
2. Кооперативні ігри, якщо не мають Н-м-розв’язку, то, як правило, більш одного розподілу. Тому принцип оптимальності, що приводить до Н-м-розв’язку, є не повним: узагалі говорячи, він не в змозі вказати гравцям єдиної системи норм розподілу виграшу.
3. Розв’язок істотних кооперативних ігор складається більш, ніж з одного розподілу. Таким чином, навіть вибір будь-якого конкретного Н-м-розв’язку ще не визначає виграшу кожного з гравців.
11. Поняття Н-м-розв’язку відображає тільки в дуже малій степені риси справедливості.
Перераховані недоліки відображають положення справ у дійсності: більшість економічних і соціальних проблем допускає множину рішень, і ці рішення не завжди піддаються безпосередньому порівнянню за їх перевагами.
Перераховані недоліки Н-М- розв’язків коаліційних ігор сприяють пошукам нових підходів. Одним з таких підходів є підхід Шепли, суть якого в тому, що він будується на підставі аксіом справедливості розподілів.
Означення 11.5. Носієм гри з характеристичною функцією називається така коаліція T, що
(S) = (S T)
для будь-якої коаліції S.
Зміст носія T полягає у тому, що будь-який гравець, що не належить T, є нейтральним, він не може нічого внести в коаліцію і йому нічого не слід виділяти із загального виграшу.
Означення 11.6. Нехай – характеристична функція кооперативної гри n гравців, – будь-яка перестановка множини N гравців. Через позначимо характеристичну функцію такої гри, що для коаліції S = {i1, i2, ..., i} буде
u ({( i1), ( i2), ..., ( i)}) = (S).
Змістовний сенс функції полягає у тому, що якщо в грі з характеристичною функцією поміняти місцями гравців щодо перестановки , то отримаємо гру з характеристичною функцією .
Аксіоми Шепли.
1о. Аксіома ефективності. Якщо S – будь-який носій гри з характеристичною функцією , то
=
(S).
Іншими словами, “справедливість вимагає”, щоб під час розподілу загального виграшу носія гри нічого не виділяти стороннім, що не належать носієві, так само як і нічого не стягувати з них.
2о. Аксіома симетрії. Для будь-якої перестановки і iN повинне виконуватися
()
= i
(),
тобто гравці, що однаково входять у гру, повинні “по справедливості” отримувати однакові виграші.
3о. Аксіома агрегації. Якщо є дві гри з характеристичними функціями і , то
i ( + ) = i () + i (),
тобто заради “справедливості” необхідно вважати, що при участі гравців у двох іграх їх виграші в окремих іграх повинні складатися.
Означення11.7. Вектором цін (вектором Шепли) гри з характеристичною функцією називається n-мірний вектор
() = (1(), 2(), ..., n()),
що задовольняє аксіомам Шепли.
Існування вектора Шепли випливає з наступної теореми
Теорема 11.7. Існує єдина функція , що визначена для всіх ігор і задовольняє аксіоми Шепли.
Означення11.8. Характеристична функція S(T), що визначена для будь-якої коаліції S, називається найпростішої, якщо
S(T)
=
Змістовно найпростіша характеристична функція описує таке положення справ, при якому множина гравців S виграє одиницю тоді і тільки тоді, коли воно містить деяку основну мінімальну коаліцію S, що виграє.
Можна довести, що компоненти вектора Шепли в явному вигляді запишуться як
де t – число елементів у T.
Вектор Шепли змістовно можна інтерпретувати таким чином: гранична величина, що вносить i-й гравець у коаліцію T, описується як
(T) (T \{i}),
і вважається виграшем i-го гравця; i (T) – це ймовірність того, що i-й гравець вступить у коаліцію T \{i}; i () – середній виграш i-го гравця в такій схемі інтерпретації. У тому випадку, коли – найпростіша,
Отже
,
де підсумовування по T поширюється на всі такі коаліції, що виграють, і що коаліція T \{i} не є коаліцією, що виграє.
Приклад 11.3. Розглянемо корпорацію з чотирьох акціонерів, що мають акції відповідно в таких обсягах:
a1 = 10; a2 = 20; a3 = 30; a4 = 40.
Будь-яке рішення затверджується акціонерами, що мають у сумі більшість акцій. Це рішення вважається виграшем, що дорівнює 1. Тому дана ситуація може розглядатися як проста гра чотирьох гравців, де коаліціями, що виграють, є такі:
{2; 4}, {3; 4},
{1; 2; 3}, {1; 2; 4}, {2; 3; 4}, {1; 3; 4},
{1; 2; 3; 4}.
Знайдемо вектор Шепли для цієї гри.
Під час пошуку 1 необхідно враховувати, що є тільки одна коаліція T = {1; 2; 3}, що виграє, а коаліція T \{1} = {2; 3} не виграє. У коаліції T є t=3 гравця, тому
.
Далі, визначаємо всі коаліції, що виграють, але не виграють без 2-го гравця: {2; 4}, {1; 2; 3}, {2; 3; 4}. Тому
.
Аналогічно отримуємо значення:
і
.
У результаті вектор Шепли визначиться як
.
При цьому, якщо вважати, що вага голосу акціонера пропорційна кількості наявних у нього акцій, то отримаємо вектор голосування
,
який відрізняється від вектора Шепли.
Аналіз гри показує, що компоненти 2-го і 3-го гравців рівні, хоча третій гравець має більше акцій. Це виходить внаслідок того, що можливості утворення коаліцій у 2-го і 3-го гравця однакові. Для 1-го і 4-го гравця ситуація природна, що відповідає силі їх капіталу.