Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
§22.УРАВНЕНИЕ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ.
( , ) 0(1)F x y
В элементарной геометрии детально исследуется лишь
немногие линии: прямая, окружность, ломанные и
поверхности: плоскость, сфера, круговой цилиндр,
круговой конус. Между тем потребности техники ставят
перед математикой общую задачу исследования
многочисленных линий и поверхностей, разнообразных по
своей форме и по характеру своих свойств.
Для решения, этой общей задачи требуются методы
более совершенные, чем те, которыми располагает
элементарная геометрия. Такие методы дают алгебра и
математический анализ. В основном же применения
методов алгебры и анализа лежит некоторый
единообразный способ задания линий и поверхностей, а
именно, способ задания их при помощи уравнений.
Уравнение линий поверхности.
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат
на плоскости задана некоторая линий L.
Рассмотрим некоторое уравнение
151
Опр. Уравнение (1) называется уравнением линии L в
( , ) 0F x y
( ) (2)y f x
22
0xy
22
10xy
22
1xy
0
( , )M a b
0
M
22
( ) ( )R x a y b
заданной системе координат, если этому уравнению
удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на
линии L, и не удовлетворяют координатам точек, не
лежащих на линии L.
Будем говорить также, что уравнение (1) определяет
линию L.
Если уравнение
определяет некоторую
линию L на плоскости, то говорят, что оно её определяет в
неявном виде.
Если же уравнение(1) разрешимо относительно,
например y, то можно получить уравнение этой же линии
L в виде
Тогда говорят, что линия L задана уравнением (2)
явно.
Замечание. Уравнение (1) не всегда определяет
геометрический образ, который мы понимаем под
термином “линия”. Например, геометрически уравнение с
двумя переменными
определяет на плоскости
Oxy одну лишь точку O(0;0).Возможны случаи, когда
уравнение с двумя переменными вообще не определяет
никакого геометрического образа, например, уравнению
не удовлетворяют координаты ни одной
точки плоскости (так как
).
Пример. Пусть дана окружность с центром в точке
и радиусом R>0. Точка M(x,y) плоскости
принадлежит данной окружности тогда и только тогда,
когда расстояние её от центра
равно R, т. е.
,
отсюда
152
2 2 2
( ) ( ) (3)x a y b R
22
( ) ( )x a y b
0, 0ab
2 2 2
x y R
22
y R x
22
y R x
( ), ( )x t y t
Иначе, этому уравнению удовлетворяют координаты
любой точки M окружности, а координаты x и y любой
точки, не лежащей на окружности, не будут ему
удовлетворять, т. к. для них
будет
больше или меньше R. Уравнение (3) есть уравнение
данной окружности.
Уравнение окружности радиуса R>0 с центром в
начале координат (
) имеет более простой вид, а
именно
.(4)
Оно определяет окружность в неявном виде.
Решив относительно y уравнение окружности(4),
получим
полуокружности и
явное задание верхней
- нижней.
Понятие “уравнение линии” дает возможность
решать геометрические задачи алгебраическими методами.
Очень часто бывает удобно выражать переменные
координаты x и y точек некоторой линии через третью
вспомогательную переменную t, называемую параметром:
(5),
где функции и предполагаются непрерывными
по параметру t (в некоторой области изменения этого
параметра). Уравнение (5) называется параметрическими
уравнениями линии на плоскости.
Например, рассмотрим окружность с центром в начале
координат и радиусом, равным R.
153
cos , sinx R t y R t
( , ) 0f x y
()y f x
2 2 2 2 2 2
cos sinx y R t R t
2 2 2
x y R
Если в качестве параметра t взять угол между радиусвектором точки M(x,y) окружности и осью Ox, то
координаты x и y точек окружности будут выражены через
параметры t следующим образом:
(6).
Уравнение (6) – это параметрические уравнения
окружности.
Исключение параметра t из уравнения (5)(если это
возможно) приводит к уравнению, связывающему
координаты x и y, т.е. к обычному уравнению линейного
вида
или
Так, в последнем примере достаточно уравнения (6)
возвести в квадрат и сложить. Тогда получим уравнение
окружности с центром в точке O(0,0) радиуса R в виде
или
т.е. в виде (4).
Вид уравнения зависит не только от самой линии, но и
от выбора системы координат. Чтобы получить уравнение
154
линии L относительно любой другой системы координат,
cos , sinx r y r
(rcos ,rsin ) 0f
1
(r, ) 0f
2 2 2 2 2
cos sinR t R t R
22
rR
rR
(x,y,z) 0f
достаточно подставить в уравнение(1) вместо x и y их
выражения через новые координаты.
Например, при переходе к полярной системе
координат, который осуществляется по формулам
,
получим из (1) уравнения линии в виде:
т.е.
Полярная система координат вводится потому, что в
ней значительно проще решаются некоторые задачи, в чем
при дальнейшем изучении высшей математики мы сможем
убедиться. Уравнения некоторых линий в этой системе
координат значительно проще, например, уравнение
окружности с центром в начале координат и радиусом,
равным R, будет в полярной системе координат иметь вид:
т.е.
или
.
Уравнение поверхности в пространстве.
Пусть в декартовой прямоугольной системе координат
в пространстве задана некоторая поверхность S и
уравнение
(7)
Опр. Уравнение (7) называется уравнением
поверхностиS в заданной системе координат, если этому
уравнению удовлетворяют координаты x,y,z любой точки,
лежащей на поверхности S, и не удовлетворяют
координаты ни одной точки, не лежащей на поверхности S.
Будем говорить в таком случае, что уравнение (7)
определяет поверхностьS.
155
Например, в прямоугольной декартовой системе
2 2 2 2
0x y z R
2 2 2 2
x y z R
2 2 2 2
( 0) ( 0) ( 0)x y z R
2 2 2 2
x y z R
1
(x,y,z) 0f
2
(x,y,z) 0f
1
(x,y,z) 0f
2
(x,y,z) 0f
координат уравнение
или
определяет поверхность, которая является сферой с
центром в точке O(0,0,0) и радиусом, равным R, т.к. только
для точек M(x,y,z), лежащих на сфере, расстояние от M до
точки O равно R,
т.е.
иначе, выполняется равенство
(8).
А для точек, не лежащих на сфере, расстояние от этих
точек до точки O не равно R, т.е. равенство (8) не
выполняется.
С уравнением некоторых поверхностей мы
познакомимся ниже.
Уравнение линий в пространстве.
Линию в пространстве можно рассматривать как
пересечение двух поверхностей, т.е. как геометрическое
место точек, находящихся одновременно на двух
поверхностях.
Таким образом, два уравнения
,
совместно определяет линию L, как линию
пересечения поверхности
и поверхности
.
Если переменные координаты x,y,z точек некоторой
линии выразить через четвертую вспомогательную
156
переменную t,называемую параметром:
( ), ( ),z (t)x t y t
( ), ( ), (t)tt
,
то получим так называемые параметрические
уравнения линии в пространстве.
Предполагается, что функции
непрерывны по параметру t.
При изменении t(в некотором интервале) точка
M(x,y,z) движется по кривой L (если t рассматривать как
время, то параметрическое задание линии приобретает
четко выраженный механический смысл).
Итак, в этом параграфе мы рассмотрели уравнения
линии на плоскости в декартовой прямоугольной системе
координат в явном и неявном видах, параметрические, а
также в полярной системе координат. Затем
познакомились с уравнениями, которые определяют линию
и поверхность в пространстве.
157
§23. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.
Уравнение прямой на плоскости, проходящей через
заданную точку и перпендикулярной заданному вектору
Опр. Уравнением с двумя неизвестными называется
выражение вида
Например
.
Определим понятие решения уравнения
рассмотренного вида.
Опр. Решением уравнения называется
упорядоченная пара чисел (a;b) такая, что при подстановке
первого элемента пары (числа a) вместо x и второго (числа
b) вместо y, получаем верное числовое равенство
.
Например, пара чисел
уравнения
так как
является решением
158
01
2
1
2
1
22
0),( yxF
),(
111
yxM
0),( yxF
0),(
11
yxF
),(22yx
0),( yxF
0),(
22
yxF
),(
222
yxM
},{ BAN
0)()(
oo
yyBxxA
есть верное числовое равенство.
Далее будем считать, что на плоскости задана
Декартова система координат.
Введем понятие уравнения кривой на плоскости.
Опр. Пусть на плоскости имеется кривая (при этом
прямая тоже называется кривой). Уравнение
называется уравнением данной кривой если:
1) Координаты любой точки, лежащей на кривой,
являются решением уравнения , т.е.
есть верное числовое равенство;
2) Если пара чисел есть решение уравнения
, т.е. есть верное числовое
равенство, то точка лежит на кривой.
Ниже рассматривается уравнение прямой на
плоскости, проходящей через заданную точку и
перпендикулярную заданному вектору.
Теорема 1.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку
и перпендикулярной заданному вектору
(нормаль к прямой) имеет вид
159
),(
ooo
yxM
},{ BAN
0)()(
oo
yyBxxA
0)()(
oo
yyBxxA
),(11yx
01 MMN
o
Док-во. Из элементарной геометрии известно, что на
плоскости через заданную точку можно
провести единственную прямую, перпендикулярную
заданному вектору .
Докажем, что уравнение этой прямой имеет вид
Пусть
точки
- произвольная точка прямой, отличная от
. Покажем, что ее координаты
удовлетворяют уравнению
,
то есть, что пара чисел есть решение этого
уравнения. Из рисунка 34 видно, что и значит
.
160
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]