Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
и
,
из которых следует, что в сечениях получаются
параболы с вершиной в начале координат, симметричные
относительно
оси Oz, направленные вверх в первом случае и вниз во
втором случае.
Рассмотрим сечения данного параболоида
плоскостями, параллельными плоскостям Oxz (y = h) и
Oyz(x = h). В сечении получаются также параболы,
направленные вверх в первом случае и вниз во втором
случае
и
,
Рассмотрим, наконец, сечения параболоида
плоскостями (z = h), параллельными плоскости Oxy.
Получим уравнения
или
,
из которых, следует, что при h> 0 в сечении
получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxz; при
h< 0 – гиперболы, пересекающие плоскость Oxz; при h = 0
гипербола выражается в пару пересекающихся прямых.
и
.
Рассмотренные сечения позволяют изобразить
гиперболический параболоид в виде седлообразной
поверхности.
281
Точка (0,0,0) называется вершиной гиперболического
параболоида, числа p и q – его параметрами.
Цилиндры второго порядка.
Вспомним, что на плоскости Oxy уравнение
(10)
(в нём отсутствует переменная z) определяет эллипс,
т.е. координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению
(10). Этому уравнению удовлетворяют также координаты
всех тех и только тех точек пространства, у которых две
парные координаты совпадают с координатами любой
точки эллипса (10), т.е. тех точек пространства, которые
проектируются на плоскости Oxy в точки этого эллипса.
Совокупность таких точек, есть поверхность, описанная
прямой, параллельной оси Oz и пересекающей эллипс (10).
Такая поверхность была в § 29 определена как
цилиндрическая. А т.к. в рассмотренном случае
направляющей линей является эллипс, то поверхность,
определяемая уравнением
, (11)носит название эллиптического
цилиндра. Изобразим эту поверхность на рисунке.
282
Если a = b, то цилиндр оказывается круговым.
Аналогичные рассуждения приведут нас к выводу, что
уравнение
, (12)
определяет в пространстве гиперболический цилиндр с
образующей, параллельной оси Oz, и направляющей гиперболой, а уравнения
(13)
определяет в пространстве параболический цилиндр с
образующей, параллельной оси Oz, и направляющей –
параболой.
Изобразим эти поверхности на рисунках.
283
Замечание. Нетрудно записать уравнение любого из
трех цилиндров для случая, когда образующая параллельна
оси Ox или оси Oy.
Итак, в этом параграфе мы познакомились с понятием
и основными типами поверхностей второго порядка.
Рассмотренные типы поверхностей второго порядка
изобразим на следующих схемах.
284
Схема «Поверхности второго порядка, канонические
Эллипсоид
Двуполосный
гиперболоид
Конус
Эллиптический
Гиперболический
p> 0, q> 0
p> 0, q> 0
уравнения» (1)
Схема «Поверхности второго порядка, канонические
уравнения» (2)
Параболоиды.
285
Схема «Поверхности второго порядка, канонические
Эллиптиче
ский
Гиперболически
й
Параболически
й
p> 0
уравнения» (3)
Цилиндры
Поверхности второго порядка часто встречаются в
природе, находят широкое применение в науке и технике.
Если эллипс вращать вокруг его малой оси, то
получится эллипсоид вращения, представляющий собой
сплюснутую сферу. Примерно такую форму имеет Земля,
поскольку расстояние между ее полюсами меньше, чем
расстояние между диаметрально противоположными
точками экватора.
Зона слышимости звука пролетающего самолета, если
самолет движется со сверхзвуковой скоростью, образует
конус.
Форму параболоида вращения имеет поверхность
ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом
сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это
обстоятельство используют в технике для получения
параболических зеркал.
286
Зеркала телескопов-рефлекторов, прожекторов,
автомобильных фар выполнены также в виде
параболоидов вращения.
Очевидно, что конус и цилиндры, о чем говорилось
выше, состоят из прямолинейных образующих. Но
интересен тот факт (отмечаем это без доказательства), что
из прямолинейных образующих состоит также
однополостный гиперболоид и гиперболический
параболоид. (Все такие поверхности называются
линейчатыми поверхностями.)
Наличие прямолинейных образующих у
однополосного гиперболоида используется в строительной
технике. Идея такого использования и практическое
осуществление ее принадлежат известному русскому
инженеру, почетному члену академии наук Шухову В.Г.
(1853-1939).
В.Г. Шухов разработал конструкции мачт, башен и
опор, составленных из металлических балок,
располагающихся по прямолинейным образующим
однополосного гиперболоида вращения. Первая такая
конструкция была осуществлена В.Г. Шуховым при
сооружении опоры высотою в 26 м для водонапорного
резервуара (1896). Высокая прочность таких конструкций в
соединении с легкостью определила их большое
распространение в нашей стране и за рубежом.
Форму однополосного гиперболоида имеют секции
Шаболовской радио-башни в Москве.
287
Учебно-методическое издание
Пугина Лидия Вячеславовна
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Учебно-методическое пособие
Тираж 100 экз. Изд.№ 64-18
Москва, Издательский центр Onebook
288
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]