Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА
(МИИТ)»
Кафедра
«Высшая и вычислительная математика»
Л. В. Пугина
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие
для студентов технических специальностей ИТТСУ
Москва - 2018
УДК-514
П-88
Пугина Л.В. Векторная алгебра и аналитическая
геометрия. Учебно-методическое пособие. – М.: РУТ
(МИИТ), 2018. – 288 с.
Учебно-методическое пособие включает в себя три темы,
изучаемые в курсе высшей математики: “Определители,
матрицы, системы линейных уравнений”, “Векторная
алгебра”, “Элементы аналитической геометрии”.
При составлении учебно-методического пособия автор
опирался на материалы лекций, написанных на основе
опыта преподавания в РУТе .Учебно-методическое
пособие предназначено для студентов первого курса, а
также для преподавателей высшей математики.
В составлении учебно-методического пособия принимали
участие студенты группы ТКИ-211: Абрамова И.С.,
Ищенко Л.А., Петржиковский В.Д., Рахими А.Г.,
Тимохина А.А.
Рецензенты:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
«Прикладная математика-1» Зверкина Г.А.
© РУТ (МИИТ), 2018
СОДЕРЖАНИЕ
ЛИТЕРАТУРА ............................................................................... 5
§1.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКОВ .................................................................................... 6
§2. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ n-ГО ПОРЯДКА ................................. 14
§3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРАВИЛО
КРАМЕРА ..................................................................................... 20
§4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ....................... 26
§5. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МАТРИЧНЫМ
МЕТОДОМ ................................................................................... 33
§6. РАНГ МАТРИЦЫ ................................................................ 36
§7. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ ............................. 47
§8. МЕТОД ГАУССА ................................................................. 53
§9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ... 67
§10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ ......... 71
§11. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ ................................... 81
§12. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ
ВЕКТОРОВ .................................................................................. 91
§13. БАЗИС. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ ..... 93
§14. ДЕКАРТОВАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ ....................................................................... 96
3
§15. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В
КООРДИНАТАХ ..................................................................... 103
§16. ДЛИНА И НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ
ВЕКТОРА. ДРУГИЕ ЗАДАЧИ ............................................. 106
§17. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ................................ 114
§18. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ................................. 118
§19. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ............................. 128
§20. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ....................................... 143
§21. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ ........................................................................... 147
§22. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ .......... 151
§23. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ......................................... 158
§24. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ............................ 198
§25. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ .................................... 212
§26. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ..................................... 237
§27. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ................................. 242
§28. ПОНЯТИЕ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ КРИВОЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА ............................................................ 263
§29. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
КАНОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ
ВРАЩЕНИЯ ............................................................................. 268
§30. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА .................. 271
4
ТЕМА: ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, МАТРИЦЫ, СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В данной работе изучаются некоторые вопросы
линейной алгебры.
Исторически первым разделом линейной алгебры была
теория линейных уравнений. В связи с решением систем
линейных уравнений возникло понятие определителя.
Впервые определитель использовался Лейбницем в 1693
году, затем Крамером - в 1750 году. В 1869 году был
предложен метод Гаусса для практического вычисления
решения систем линейных уравнений. В связи с изучением
линейных систем и определителей появилось понятие
матрицы.
Мы рассмотрим в этой теме определители, матрицы и
действия над ними, системы линейных уравнений и
решение их различными способами.
ЛИТЕРАТУРА К ТЕМЕ
1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс
высшей математики. Глава ХУ11,§1-7
2. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей
математики. §1.6,1.7,1.9.
3. Гурский Е.И. и др. Руководство к решению
задач по высшей математике. Часть 1,1.1-1.3.
4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Часть 1, глава 4,§4-5.
5. Болгов В.А. и др. Сборник задач по математике
для Вузов. Часть 1. Линейная алгебра и основы
математического анализа. Глава 3,§1,3.
6. Лавров Ю.К., Улановский М.А. Краткий курс
высшей математики. §2.5,9.1-9.6.
5
§1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА.
В этом параграфе мы рассмотрим понятие
определителя матрицы, свойства определителя.
Понятие матрицы
Опр. Матрицей называется прямоугольная таблица
чисел, расположенных в виде нескольких строк и
столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются
элементами матрицы.
Примеры матриц:
Опр. Если число строк в матрице равно числу её
столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк
называется порядком матрицы.
Обычно матрицы обозначаются большими буквами: А,
В,… .
Элементами матрицы А обозначаются малыми
буквами
, где первый индекс i –обозначает номер
строки элемента, а второй индекс j- номер столбца.
Например, матрица А второго порядка записывается в
виде:
6
Определитель второго порядка
Опр. Определителем матрицы второго порядка
называется число:
Здесь
диагонали матрицы
– произведение элементов главной
– произведение элементов
побочной диагонали.
Пример.
Определитель третьего порядка
Рассмотрим матрицу третьего порядка:
Опр. Определителем матрицы третьего порядка
называется число:
=
7
Для запоминания этой формулы использует «правило
треугольников»: три произведения элементов матрицы на
левой схеме ниже входят в формулу со своим знаком, а три
произведения элементов на правой схеме – с
противоположным знаком.
«+» «-»
Пример:
Свойства определителя
Будем формулировать и доказывать свойства для
определителя третьего порядка, так как для определителя
второго порядка аналогичны. Заметим, что определителем
матрицы первого порядка, состоящего из одного элемента,
называется сам этот элемент.
Определитель матрицы обозначается ǀAǀ или detA.
8
Свойство 1. Определитель не изменится, если каждую
строку определителя заменить на столбец с тем же
номером, т.е.
Док-во: Применим «правило треугольников» для
первого определителя получим:
Сравним это с выражением для левого определителя
согласно определению. Видим, что определители равны.
Замечание. Свойство 1 означает равноправность строк
и столбцов. Поэтому остальные свойства можно
формулировать и доказывать только для строк или только
для столбцов.
Свойство 2. Если в определителе поменять местами
две строки, то определитель изменит знак, не изменившись
по абсолютной величине.
Например, при перестановке первой и второй строк
будет равенство:
Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми
строками равен нулю.
9
Свойство 4. Если все элементы какой-то строки
определителя имеют общий множитель, то этот множитель
можно вынести за знак определителя.
Например:
=k
Свойства 2,3,4 доказываются с помощью «правила
треугольников».
Пример:
=2*
=2*5
=
=10*0=0
Свойство 5. Если все элементы какой-то строки
определителя равны нулю, то этот определитель равен
нулю.
Это свойство есть частный случай свойства 4 при K=0
Свойство 6. Если в определителе соответствующие
элементы двух строк пропорциональны, то определитель
равен нулю.
Например:
=0
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]