Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
А это означает, что ни при каком не является
yo
xo
syy
sxx
2
2
),,(
222
tyx
yo
xo
syy
sxx
yo
xo
styy
stxx
22
22
tsyy
tsxx
yo
xo
верной система числовых равенств
.
Но это утверждение противоречит тому, что тройка
чисел является решением системы уравнений
и, следовательно, является верной система числовых
равенств
.
Так как для любой прямой на плоскости можно указать
точку, через которую она проходит, и коллинеарный ей
вектор, то уравнение любой прямой на плоскости можно
записать в виде
.
Справедливо и обратное утверждение о том, что
система уравнений
171
,
tsyy
tsxx
yo
xo
x
s
y
s
),(
ooo
yxM
),(
ooo
yxM
0
x
s
0
y
s
y
o
x
o
s
yy
s
xx
где хотя бы одно из чисел и отлично от нуля,
является системой уравнений для некоторой прямой на
плоскости. Действительно, как показано выше, такой
прямой будет прямая, проходящая через точку
и коллинеарная вектору .
Теперь рассмотрим так называемое
каноническое уравнение прямой на плоскости.
Утверждение о каноническом уравнении прямой
сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если прямая на плоскости проходит через
точку и коллинеарна вектору ., то
уравнение этой прямо можно записать в виде (при
условии, что и )
называется каноническим уравнением прямой на
плоскости.
.
Уравнение прямой, записанное в таком виде,
172
Док-во. Пусть - произвольная точка на
),(
111
yxM
1
MM
o
1
t
yo
xo
styy
stxx
11
11
0,0 yxss
прямой.(Тогда вектор коллинеарен вектору
значит
существует такое число , что справедливо векторное
равенство
Из верного векторного равенства следует система
верных равенств для координат векторов
.
и
.
Или, так как
173
y
o
x
o
s
yy
t
s
xx
t
1
1
1
1
y
o
x
o
s
yy
s
xx
11
),(11yx
y
o
x
o
s
yy
s
xx
),(22yx
),(
222
yxM
2
M
2
MM
o
есть верные числовые равенства. Но тогда
является верным числовым равенством и значит пара
чисел есть решение уравнения
.
Докажем теперь, что если пара чисел есть
решение этого уравнения, то точка лежит на
этой прямой. Доказательство проведем от противного.
Допустим, что точка не лежит на этой прямой (Рис.
37). Тогда вектор не коллинеарен вектору и
значит не при каком числе не является верным
векторное равенство
числовых равенств
Или, переходя к координатам, получаем, что система
174
.
yo
xo
syy
sxx
2
2
y
o
x
o
s
yy
s
xx
2
2
y
o
x
o
s
yy
s
xx
22
),(22yx
y
o
x
o
s
yy
s
xx
),(
222
yxM
y
o
x
o
s
yy
s
xx
не является верной ни при каком . Но тогда не при
каком не является верной система равенств
.
Отсюда следует, что не является верным равенство
.
Но это противоречит тому, что пара чисел
является решением уравнения
.
Следовательно, точка лежит на прямой.
Итак доказано, что уравнение
175
является уравнением прямо, проходящей через точку
),(
ooo
yxM
)3,2(
o
M
ty
tx
53
42
5
3
4
2
yx
},{ AB
},{ AB
и коллинеарной вектору .
Рассмотрим пример.
Пример. Записать параметрические и каноническое
уравнения прямой на плоскости, проходящей через точку
и коллинеарной вектору ..
Решение.
Параметрические уравнения прямой имеют вид
,
каноническое уравнение прямой запишется в виде
Теперь рассмотрим способ перехода от уравнения
прямой одного вида к уравнению прямой другого вида.
Прежде всего, заметим, что если есть вектор
нормали к прямой, то в качестве направляющего вектора
прямой
вектор
будет коллинеарен прямой. Переход от одного вида
уравнения прямой к другому рассмотрим на примерах.
можно взять либо вектор , либо вектор
. В самом деле, в этом случае и значит
, будучи перпендикулярным вектору нормали,
Пример.
176
Дано уравнение прямой
0932 yx
)3,0(
)3,0(
o
M
2
2
3
yx
tytx233
.
Записать каноническое и параметрические уравнения
прямой.
Решение. Нормаль к прямой равна
.
Поэтому в качестве направляющего вектора можно
взять
.
Одним из решений уравнения является пара .
Поэтому точка лежит на прямой. Следовательно,
каноническое уравнение прямой имеет вид
.
Параметрическими уравнениями прямой будут
.
Пример. Дано каноническое уравнение прямой
177
.
3
1
2
4
yx
)6(
22123 yx
01023 yx
1
L
2
L
Записать общее уравнение прямой.
Решение. Избавляясь от знаменателей путем
умножения обеих частей уравнения на , получим
.
Или
.
Взаимное расположение прямых на плоскости
Из элементарной геометрии известно, что две
прямые могут совпадать, быть параллельными или
пересекаться в одной точке. Допустим, что уравнения
прямых и имеют вид
где
прямые совпадают или параллельны, то их нормали
коллинеарны и значит существует число такое, что
выполняется равенство
и
- векторы нормалей прямых. Тогда, если
178
01473 yx
042219 yx
)2,0(
082 yx
.
При этом, из элементарной геометрии известно, что
если хотя бы одна точка, лежащая на одной из прямых,
лежит и на другой прямой, то прямые совпадают. Если же
ни одна точка, лежащая на одной из прямых, не лежит на
другой прямой, то прямые параллельны. Рассмотрим
примеры.
Пример. Показать, что прямые, имеющие уравнения
и
совпадают.
Решение. Векторы нормалей прямых равны
,
. Отсюда получаем
Следовательно, нормали колиинеарны, а прямые либо
параллельны, либо совпадают. Непосредственной
подстановкой в уравнение легко убедиться, что пара чисел
является решением обоих уравнений. Значит
прямые совпадают так как имеют общую точку.
Пример. Показать, что прямые, имеющие уравнения
и
179
.
01163 yx
}2,1{1N
}6,3{2N
12
3NN
)4,0(
0
0
222
111
CyBxA
CyBxA
),(
oo
yx
),(
ooo
yxM
01843 yx
012 yx
параллельны.
Решение. Векторы нормалей прямых равны
и . Отсюда следует, что
и значит нормали коллинеарны. Следовательно,
прямые либо совпадают, либо параллельны. Так как пара
чисел является решением первого уравнения и не
является решением второго, то прямые параллельны.
Если нормали прямых не коллинеарны, то
прямые пересекаются в одной точке. Точку пересечения
прямых в этом случае можно найти решив систему
уравнений
.
Если пара чисел есть решение системы, то
точка есть точка пересечения прямых.
Пример. Найти точку пересечения прямых, заданных
уравнениями
и
.
180
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]