Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
§12.ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И
23
, ,...
n
с с с
1
e
ur
12
, ,...,
n
12
, ,...,
n
НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
В этом параграфе мы познакомимся с понятиями линейной
зависимости и независимости векторов, с некоторыми
теориями, где эти понятия используются. Укажем условие
представимости векторов в виде линейной комбинации
других векторов.
Опр. Если вектор
где
представлен в виде:
некоторые числа, то говорят, что
вектор
или что вектор
векторов
, линейно выражается через вектора
является линейной комбинацией
.
Замечание. Это название обусловлено тем, что вектор
получен в результате линейных операций над
векторами
Опр. Векторы
.
называются линейно
зависимыми, если существуют такие действительные
числа
которых имеет место равенство:
одновременно все не равные нулю, при
Опр. Векторы
называются линейно
независимыми, если равенство (2) для этих векторов имеет
место только, когда все числа
Теорема 1.Векторы
равны нулю.
линейно зависимы
тогда и только тогда, когда по крайней мере один из них
является линейной комбинацией остальных.
Теорема 2.Два вектора линейно зависимы тогда и
только тогда, когда они коллинеарны.
91
Теорема 3.Три вектора линейно зависимы тогда и
3
R
только тогда, когда они компланарны.
Теорема 4.Любые четыре вектора в
линейно
зависимы.
Замечание. Из теорем 2-4 видно, что в пространстве
максимально возможное число линейно независимых
векторов – три, на плоскости – два. Этим и объясняется
определение базиса в пространстве и на плоскости,
приведённое в следующем параграфе.
Итак, здесь мы рассмотрели понятия линейной
комбинации векторов, линейной зависимости и линейной
независимости векторов, указали свою связь между
коллинеарностью двух векторов и их линейной
зависимостью, между компланарностью трёх векторов и
их линейной зависимостью.
92
§13.БАЗИС. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ.
1
e
ur
В этом параграфе мы познакомимся с понятием базиса
на плоскости и в пространстве и представлением вектора в
виде линейной комбинации векторов, составляющих базис.
Опр. Базисом в пространстве называют три
некомпланарных вектора, взятых в определённом порядке.
Слова «взятых в определённом порядке» означают,
какой из векторов
считается первым, какой вторым,
какой третьим. Векторы базиса должны перечисляться
именно в этом порядке, например: или или
Опр. Базисом на плоскости называют два
неколлинеарных вектора, взятых в определённом порядке.
Замечание. Векторы базиса – ненулевые, а базис
пространства не содержит двух коллинеарных векторов.
Действительно,
считается коллинеарным любому
вектору, поэтому базис на плоскости не может
содержать,
.Рассмотрим теперь базис в пространстве и
приведём векторы базиса к общему началу. Предположим,
что базис содержит,
через два других вектора и считать, что ,
,тогда можно провести плоскость
лежит в этой
плоскости (см. рис. ниже).
93
Следовательно, три вектора лежат в одной плоскости и
a
r
a
r
не могут составлять базис.
Предположим, что два базисных вектора пространства
коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой. Можно
провести плоскость через эту прямую и третий вектор.(см.
рис. ниже)
Так как три вектора компланарны, то они не могут
составлять базис. Итак, замечание полностью
аргументировано.
В дальнейшем для определённости будем
рассматривать в основном пространственный случай и
базис в пространстве.
Теорема. Если в пространстве выбран базис
,то
любой вектор пространства может быть представлен, и
притом единственным образом, как линейная комбинация
векторов базиса:
, (1)
Приведём эту теорему без доказательства.
Опр. Если вектор
что вектор
разложен по базису ,а числа
представлен в виде (1),то говорят,
называются координатами вектора относительно базиса
(или в базисе
94
)
В силу теоремы координаты
вектора в
данном базисе определяются однозначно.
Итак, в данном параграфе произвольный вектор был
представлен в виде линейной комбинации базисных
векторов, т. е. разложен по базису, указана единственность
этого разложения, определено понятие координат вектора
относительно некоторого базиса.
95
§14.ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ.
В этом параграфе мы введём декартову
прямоугольную систему координат в пространстве,
определим координаты точки, докажем теорему о
разложении вектора по стандартному базису.
Декартова прямоугольная система координат в
пространстве определяется заданием трёх взаимно
перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке, и
занумерованных в определённом порядке.
Точка пересечения осей называется началом
координат, обозначается буквой O. Первая из
координатных осей называется осью абсцисс (ось
Ox),вторая – осью ординат (ось Oy),третья – осью
аппликат (ось Oz).Изобразим координатные оси:
Опр.Радиус – вектором точки М называется вектор
96
Опр. Координатами точкиM называется проекция её
радиус – вектора на оси координат. Точка M с
координатами x,y,z записывается как M(x,y,z)
Замечание. Если задана декартова прямоугольная
система координат, то любая точка пространства
определяет тройку чисел (её координаты), и обратно,
любая тройка чисел определяет некоторую точку
пространства. При этом между тройками чисел и точками
пространства имеется взаимно однозначное соответствие.
Пусть ,, - единичные векторы, направление
которых таково: вектор одинаково направлен с осью Ox,
- с осью Oy,
- с осью Oz.Очевидно, что эти векторы
взаимно перпендикулярны. Для наглядности изобразим их
выходящими из точки O.
97
Векторы ,, не компланарны, поэтому они образуют
x
a
y
a
z
a
1
M
2
M
3
M
базис в пространстве. Этот базис является частным
случаем произвольного базиса и называется стандартным.
Рассмотрим произвольный вектор в пространстве.
Будем обозначать проекции вектора на оси координат
через
,
,
:
Теорема:
Любой вектор может быть разложен, и притом
единственным образом, по базису ,, , коэффициенты
этого разложения равны проекциям вектора на оси
координат, т.е.
Док-во. Так как мы рассматриваем свободные векторы,
то будем считать, что вектор приложен к точке O, а его
конец обозначим буквой M,т.е.
Проведём через точку M три плоскости
перпендикулярные координатным осям.
В результате построим точки
точки M на оси координат. Построим прямоугольный
98
,
,
- проекции
параллелепипед, диагональю которого является вектор
a
r
x y z
a a a
:
Тогда, складывая вектор по «правилу
параллелограмма», получим:
.
По определению проекции вектора на ось Ox,
коллинеарны. Аналогично
.
Следовательно,
, так как вектор
,
и
Поэтому
.
.
Так как вектор
может быть разложен по любому
базису единственным образом, то теорема полностью
доказана.В дальнейшем, как правило, когда базис не
указан, подразумевается базис ,,
.
Согласно теореме, координатами вектора в базисе
,,
являются его проекции на оси координат, т.е.
99
.Вектор с координатами
x y z
a a a
3
x
a
2
y
a
1
z
a
может быть записан в виде
.
Замечание. Если M – любая точка пространства, то
декартовы прямоугольные координаты этой точки
совпадают с координатами вектора
, согласно
определению координат точки и данной теоремы.
Пример. Если
,
то его координаты равны соответственно
,
,
Поэтому можно записать иначе:
.
Векторы на плоскости.
При рассмотрении векторов на плоскости можно
использовать соответствующие определения и формулы
для векторов в пространстве. Отметим некоторые отличия.
Декартова прямоугольная система координат на
плоскости определяется заданием двух взаимно
перпендикулярных осей, занумерованных в определенном
порядке. Точка пересечения осей называется началом
координат(обозначается обычно буквой O). Первая из
координатных осей называется осью абцисс(обозначается
Ox),а вторая – осью ординат (обозначается Oy).
Обычно обозначают такую декартову прямоугольную
систему координат на плоскости, для которой кратчайший
поворот от оси Ox к оси Oy происходит против часовой
стрелки:
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]