Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
§11. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ.
s
ось
s
Опр. Будем говорить, что вектор (ненулевой)
коллинеарен прямой, если он параллелен прямой или
лежит на этой прямой.
Дадим определение оси.
Опр. Осью называется пара геометрических объектов –
прямая и коллинеарный ей вектор. Такой вектор
называется направляющим вектором оси или
направляющим вектором прямой.
Направляющий вектор оси обычно располагают на
самой прямой. Так как длина направляющего вектора
несущественна, то на прямой указывают только конец
направляющего вектора в виде стрелки, а начало
направляющего вектора не указывает.
Таким образом, на прямой можно выбрать два
противоположных направления. Поэтому иногда говорят,
что ось – это прямая с выбранным направлением или
направленная прямая.
81
Если направляющий вектор оси обозначен,
a
a
a
ось
s
s
например буквой
плюс прямая) будем обозначать символом «ось
, то саму ось (то есть пару – вектор
»
Дадим определение орта оси.
Опр.Если длина направляющего вектора оси равна
единице, то такой направляющий вектор оси называется
ортом оси. Если ось обозначена как «ось
будем обозначать символом
.
», то орт оси
Опр. Пусть вектор коллинеарен оси (т.е. либо
параллелен оси, либо лежит на ней). Будем говорить, что
вектор сонаправлен с осью, если он сонаправлен с
напраляющим вектором оси и противонаправлен с осью,
если он противонаправлен направляющему вектору оси.
Определим угол между вектором и осью.
Опр. Пусть даны ось и вектор . Угол между
вектором
и направляющим вектором оси
называется
углом между вектором и осью.
Заметим, что вектор всегда можно отложить от точки,
лежащей на оси. Тогда этот вектор и ось образуют
геометрический угол . Величина угла (мера угла) между
82
вектором и осью может находиться в пределах от 0 до
ось
s
A
B
'A
'B
радиан или от 0о до 180о.
Введем важное понятие вектор-проекции вектора на
ось.
Опр. Пусть имеется ось и какая- то точка . Если
точка не лежит на оси, то проекцией точки на ось
называется точка пересечения с осью перпендикуляра,
опущенного из точки на эту ось. Если точка лежит на
этой оси, то проекцией точки на ось называется сама эта
точка.
Опр. Пусть даны вектор и ось
Обозначим через проекцию точки на ось
через проекцию точки на ось . Вектор
называется вектором-проекцией вектора на ось
.
, а
(см.
Рис. 13).
Таким образом, вектор
следовательно, коллинеарен оси. Поэтому, если
лежит на оси и,
не
нулевой вектор, то он либо сонаправлен с осью, либо
противонаправлен с ней. Если вектор
перпендикулярен
оси, то его вектор-проекция является нулевым вектором.
83
Введем важное понятие проекции вектора на ось.
Опр. Пусть вектор есть вектор-проекция вектора
на ось . Проекцией вектора на ось
модуль которого равен длине вектора
«+», если вектор
и ось сонаправлены и выбирается знак
называется число,
, а знак выбирается
«-», если вектор’ и ось противонаправлены. Проекция
вектора на ось обозначается символом
образом,
сонаправлены и
, если вектор и ось
, если вектор и ось
. Таким
противонаправлены.
Если
.
, то полагаем по определению, что
Определим также проекцию вектора на вектор.
Опр. Пусть даны векторы и , причем
вектор. Если через вектор
провести прямую, то получим
ненулевой
ось с направляющим вектором . Проекция вектора на
эту ось называется проекцией вектора на вектор
обозначается
.
и
Проекцию вектора на ось можно выразить через
длину вектора и косинус угла между вектором и осью.
Имеет место следующая теорема.
Теорема.
Пусть даны вектор и ось
между вектором и осью. Тогда
84
. Пусть α - угол
a
. (3)
Док-во. Обозначим через вектор-проекцию вектора
на ось. 1)Пусть α <
вектор-проекция и ось
. Тогда, как видно из рисунка 14,
сонаправлены.
Следовательно, как видно из рисунка,
2) Пусть α >
. В этом случае, вектор-проекция и
ось противонаправлены.
85
.
Следовательно
Но,
cos)cos(cos
Здесь учтено, что . Тогда
3)Если α =
, то
.
Следовательно, и в этом случае верна формула (3).
Рассмотрим теорему, устанавливающую связь вектора-
проекции вектора на ось с его проекцией на эту же ось.
Предварительно введем понятие орта вектора.
Опр. Пусть - ненулевой вектор. Ортом вектора
будем называть вектор единичной длины, коллинеарный и
сонаправленный с вектором . Орт вектора будем
обозначать как
.
Из самого определения орта вектора следует, что для
любого ненулевого вектора имеет место равенство
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Вектор-проекция любого вектора на ось
равна произведению проекции вектора на эту ось на орт
оси, то есть
86
где - вектор-проекция вектора на ось
оси
,
- орт
Док-во.
Как видно из рисунка 16, если сонаправлен с осью
, то из определения проекции и вектора-проекции вектора
на ось следует, что
Здесь учтено, что
оси
, то
. Если противонаправлен
В последних равенствах учтено, что
|
87
.
и
Рассмотрим связь проекции суммы векторов с
c
r
ba
проекциями слагаемых.
Теорема. Пусть . Тогда для любых и
имеет
место следующее равенство:
Док-во. Пусть . Вектор отложим от точки и
обозначим его , т.е. . Проведем через вектор
прямую. Получим ось, которую обозначим ось . Пусть
и - вектора-проекции векторов и
. Тогда
на ось
. При этом возможны следующие варианты:
есть вектор-проекция вектора
на ось
1) и сонаправлены с осью .
2) сонаправлен, а противонаправлен оси .
88
3) противонаправлен , а
.
сонаправлен с осью
4) противонаправлен оси и
противонаправлен оси .
Первый из возможных вариантов изображен на
рисунке выше. Из рисунка видно, что
Следовательно
.
Оставшиеся варианты рассматриваются аналогично.
Рассмотрим, например 2-й вариант.
89
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]