Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Такая декартова прямоугольная система координат на
плоскости называется правой.
Изобразим также левую систему координат:
Пусть ,- единичные векторы, направление которых
таково: вектор одинаково направлен с осью Ox, вектор с
осью Oy.Очевидно, что эти векторы взаимно
перпендикулярны.
101
xy
aa
Тогда разложение любого вектора по базису на
плоскости имеет вид:
где
- проекции вектора на оси Ox и Oy
соответственно. Таким образом, вектор на плоскости имеет
две координаты и может быть записан в виде: .
Аналогично. Каждая точка плоскости имеет две
координаты. Точка М с координатами x,y записывается как
M(x,y).
Итак, в этом параграфе мы рассмотрели разложение
вектора по стандартному базису ,,
, доказав, что
координаты в этом базисе равны соответствующим
проекциям вектора на координатные оси.
102
§15.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В
+
+
КООРДИНАТАХ.
Основное значение базиса состоит в том, что линейные
операции над векторами при задании базиса становится
обычными линейными операциями над числами.
Утверждение. Пусть
,
тогда:
т.е. при сложении векторов их координаты
складываются; при умножении вектора на скаляр его
координаты умножаются на скаляр.
Док-во. Вычислим сумму векторов и
, пользуясь
свойствами сложения векторов и умножения векторов на
скаляр:
+
+
Следовательно,
+
Итак, вектор разложен по базису ,,
координата вектора
координат векторов и
равна сумме соответствующих
.
, а каждая
Аналогично доказываются формулы для разности двух
векторов и для .
103
Утверждение доказано.
}
а
r
Замечание. Используя другую форму записи
векторов это утверждение можно сформулировать так:
Пусть
,
тогда:
Пример. Пусть, .
Найти 3-2
Решение. Так как
3,2 ,
то
3-2
={6-0,-3-2,6-2}={6,-2,4}
Замечание. Аналогично производятся линейные
операции над векторами в случае разложения вектора
произвольному базису
то
Пример. Даны векторы
и
т.е.
,
104
по
,
,
Найти: ,3 , 2 3
Решение.
3
2 3=2(2
12)
+(2-6)
=7
-14
-
+3
-4
)-3(-
+4
+2
)=(4+3)
+(-2-
Итак, здесь мы рассмотрели, как производятся линейные
операции над векторами, если эти векторы заданы в
координатах.
105
1 1 1
( , , )A x y z
2 2 2
B( , , )x y z
§16.ДЛИНА И НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ
ВЕКТОРА.ДРУГИЕ ЗАДАЧИ
В этом параграфе мы сможем перевести многие
понятия векторной алгебры на язык координат. С
помощью координат точек и вектора мы решили здесь
некоторые задачи геометрии.
Нахождение координат вектора по координатам его
конца и начала.
Утверждение. Чтобы найти координаты вектора,
нужно из координат конца вектора вычесть координаты
начала. Иначе говоря, если имеем точки
и
, то
.
Док-во. Сделаем чертеж:
Ясно, что . Но
- радиус-вектор
точки A, поэтому он имеет те же координаты, что и сама
точка A.Значит . Аналогично,
. Следовательно, выполняя вычитание координат
векторов и , получим требуемую формулу для
106
.
Пример. Вектор . Известны координаты
5 3, 3, 4
x y z
a a a
точки A: x=0,y=1,z=-3. Найти координаты точки B.
Решение. Координаты точки B совпадают с
координатами вектора
что
.
на чертеже, откуда ясно,
Поэтому . Найдены
координаты точки B:{1,0,-1}.
Вычисление длины вектора.
Утверждение. Длина вектора равна корню
квадратному из суммы квадратов его координат:
Док-во. Пусть для простоты вектор выходит из
начала координат,
. Рассмотрим чертёж в
доказательстве теоремы о разложении вектора по базису.
Из элементарной геометрии известно, что квадрат
диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трёх его смежных сторон. Следовательно,
Но
Поэтому
.
Отсюда и следует утверждение.
Пример. Найти длину вектора
Решение. Так как
, то длина
вектора будет равна:
107
,,
, , [0, ]
cos ,cos ,cos
a
r
cos ,cos ,cos
a
r
2 2 2
cos cos cos 1
45
o
120
o
60
o
Направляющие косинусы вектора.
Обозначим через
углы между векторами и
осями координат Ox, Oy, Oz соответственно(
).
Опр. Направляющими косинусами вектора
называются косинусы углов, которые вектор образует с
осями координат (т.е.
).
По теореме о проекции вектора на ось
Отсюда получим формулы для направляющих
косинусов вектора
cos
По этим формулам можно найти
зная координаты вектора
Утверждение. Направляющие косинусы вектора
связаны соотношением:
Пример. Найти координаты вектора , зная его длину
и углы, образованные векторами с осями координат:
,
Решение.
:
(1)
,
.
,
,
108
.
с
r
Следовательно,
.
Опр. Ортом вектора называется вектор единичной
длины, одинаково направленный с данным вектором. Орт
вектора обозначается
Утверждение. Чтобы найти орт ненулевого вектора,
нужно вектор разделить на его длину:
Орт вектора равен
.
,
По формулам (1) получим, что координаты орта
вектора состоят из направленных косинусов вектора .
.
Пример. Пусть
,.
Найти орт вектора
Решение. Так как ,то .
Следовательно,
.
Орт вектора
находим так:
109
Расстояние между двумя точками.
1 1 1
,,x y z
2 2 2
,,x y z
xx
ab
yy
ab
zz
ab
Утверждение. Если даны точки A(
) и B(
), то расстояние между ними находится так:
.(1)
Док-во. Вычисляем координаты вектора
:
Длина вектора находится как корень
квадратный из суммы квадратов его координат. Это и
доказывает утверждение.
Пример. Даны точки A(1,-1,2) и B(0,2,3).Найти
расстояние между ними.
Решение. Используем формулу для расстояния
Условие коллинеарности векторов.
Утверждение. Два вектора коллинеарны тогда и только
тогда, когда их координаты пропорциональны.
Иначе говоря,
Док-во. Пусть . Тогда из утверждения следует:
или . Будем считать, что
Это означает:
,
,
т.е. координаты векторов и
Пропорциональность можно записать и так, как в
формулировке утверждения. Заметим, что в знаменателях
равенств(2) могут стоять нули. Чтобы обойти эту
110
,
(2)
.
пропорциональны.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]