Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра. Учебное пособие
.pdf
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Рязанский государственный радиотехнический университет
им. В.Ф. Уткина
А.Н. Конюхов, С.Н. Машнина, К.А. Ципоркова
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Учебное пособие
Рязань 2023
УДК 514.742
Векторная алгебра: учебное пособие / А.Н. Конюхов, С.Н.
Машнина, К.А. Ципоркова; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. – Рязань, 2023.
– 50 с.
Приведены основные теоретические сведения по теме «Векторная
алгебра». Содержат задачи для практических занятий и
самостоятельной работы по теме «Векторная алгебра», изучаемой в
дисциплине «Математика».
Предназначены для студентов всех форм, обучающихся по
направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом»,
38.03.04 «Государственное и муниципальное управление»,
38.03.05 «Бизнес-информатика».
Табл. 28. Ил. 5. Библиогр.: 12 назв.
Векторы, линейная зависимость, базис, прямоугольная
декартова система координат, скалярное произведение, векторное
произведение, смешанное произведение
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра ЭМОП Рязанского государственного
радиотехнического университета им. В.Ф. Уткина (зав. кафедрой
д-р экон. наук, доцент Е.Н. Евдокимова)
ВВЕДЕНИЕ
На протяжении веков взаимодействие математики и экономики
представляет собой одно из важнейших междисциплинарных
направлений. Экономика с древних времён использует различные
математические методы. Одно из важных мест занимает понятие
вектора.
§ 1. Векторы и линейные операции над ними
Величины, для определения которых достаточно задать одно
число, называются скалярными (температура, масса, плотность). Но
есть величины (перемещение, скорость, сила, напряженность
электрического поля и т.д.), которые характеризуются направлением,
помимо численного значения. Такие величины называются
векторными.
Определение 1. Вектором называется направленный отрезок
прямой, характеризующийся длиной и направлением.
На чертеже вектор обозначается стрелкой; над буквенным
обозначением вектора также ставится стрелка , . Точка – начало
, точка – конец (рис. 1).
Рис. 1.
Определение 2. Длиной (модулем) вектора
называется
расстояние между началом и концом вектора. Обозначение длины
вектора или
.
Если (начало вектора совпадает с концом), то он
называется нулевым и обозначается
. По Определение 2 получим
.
Вектор , у которого , назовем единичным.
Определение 3. Коллинеарными называют векторы,
расположенные на параллельных (в частности, на одной) прямых, а
компланарными – векторы, расположенные в параллельных (в
частности, в одной) плоскостях.
a
2
– обозначение коллинеарных векторов. Нулевой вектор
коллинеарен любому вектору: .
Определение 4. Равными считаются векторы, которые:
1) коллинеарны;
2) одинаково направлены (сонаправлены – );
3) имеют одинаковую длину.
Отсюда следует, что вектор можно переносить параллельно
самому себе, перемещая начало в любую другую точку на плоскости
или в пространстве. Такие векторы называются свободными.
В дальнейшем будем рассматривать только свободные векторы.
Линейные операции над векторами представлены в табл. 1, а
свойства этих операций в табл. 2.
Таблица 1. Линейные операции над векторами
Линейные операции
Геометрическая
интерпретация
Сумма
Правило треугольника
Правило параллелограмма
Умножение на число :
1.
(растягивание) (сжатие)
3
Линейные операции
Геометрическая
интерпретация
2.
Разность
Таблица 2. Свойства линейных операций
Свойства операции сложения
векторов
Свойства операции умножения
вектора на число
(коммутативность)
(ассоциативность)
Для любого вектора существует
вектор (противоположный)
такой, что
.
Для любого вектора
выполняется
(
(дистрибутивность числового
сомножителя относительно
суммы векторов)
(дистрибутивность векторного
сомножителя относительно
суммы чисел)
(ассоциативность числовых
сомножителей)
4
§ 2. Линейная зависимость векторов. Базис
С учетом операций сложения векторов и умножения вектора на
число вводится понятие линейной комбинации векторов
:
,
где
– произвольные действительные числа.
Рассмотрим понятие линейной зависимости векторов на
плоскости и в пространстве.
Определение 1. Система векторов
: называется
линейно зависимой, если существуют действительные числа
такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и
выполняется равенство векторов:
. (1)
Если равенство (1) выполняется только, когда
,
то система векторов
называется линейно независимой.
Для ненулевых векторов и справедливы следующие
утверждения.
Теорема 1. тогда и только тог, когда и
линейно
зависимы.
Следствие. Два неколлинеарных вектора линейно независимые.
Теорема 2.
компланарны тогда и только тогда, когда
линейно зависимы векторы .
Следствие. Три некомпланарных вектора линейно независимые.
Определение 2. Базисом на плоскости (пространство
) назовем
любые два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в
определенном порядке.
Определение 3. Базисом в пространстве (пространство
)
назовем любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном
порядке.
Теорема 3. Каждый вектор может быть разложен по базису на
плоскости или в пространстве. Это разложение единственно.
Определение 4. Коэффициенты разложения вектора по базису
называются координатами вектора в данном базисе.
При сложении двух векторов, заданных в одном базисе, их
соответственные координаты складываются.
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на
это число.
5
§ 3. Проекция вектора на ось и её свойства
Осью назовём направленную прямую.
Определение 1. Проекцией точки на ось называется
основание перпендикуляра , опущенного из точки на .
Обозначение .
Определение 2. Составляющей вектора по оси называется
вектор
, где
=, = (рис. 2).
Рис. 2.
Определение 3. Проекцией вектора на ось называется число
.
Знак (+) берётся, если вектор и ось сонаправлены, знак (–), если
они противоположно направлены.
Свойства проекций:
1)
;
2) проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций
векторов на :
;
3)
.
§ 4. Декартова прямоугольная система координат (ДПСК)
Определение 1. Углом между ненулевыми векторами и
(обозначается ) называется наименьший угол, на который
надо повернуть вектор до совмещения с вектором
(направления
должны совпасть).
Очевидно, что ( ) (рис.3).
6
Рис. 3.
Если угол между векторами прямой, то они называются
ортогональными (перпендикулярными) и обозначаются
.
Пусть в качестве базиса в пространстве выбраны три взаимно
перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
Обозначение:
.
Такой базис называется ортонормированным.
Векторы
называются базисными ортами.
Зафиксируем точку – начало координат и отложим от нее
векторы
. Полученная система координат называется ПДСК.
Координаты любого вектора в этом базисе называются
декартовыми координатами вектора:
+y +z ,
,
– абсцисса, – ордината, – аппликата (рис. 4).
Рис. 4.
7
Обычно рассматривается правая система координат (правая
тройка векторов ), то есть такая, что из конца вектора
(последний в тройке) кратчайший поворот от к виден
совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае
система векторов левая.
Декартовы прямоугольные координаты вектора равны
проекциям этого вектора на оси соответственно:
, где – углы, которые составляет вектор
с координатными осями соответственно, при этом
называются направляющими косинусами вектора .
Рис. 5.
Вектор
представляет собой вектор единичной длины или орт данного
направления.
Для направляющих косинусов справедливо соотношение
.
Если началом вектора является точка
, а концом
– точка
, то вектор имеет координаты
) и
.
8
Координаты точки , делящей вектор
в соотношении
, то есть
, находятся по формулам:
в частности, при , – середина
Если , , то:
1) ;
2) ;
3)
;
4) тогда и только тогда, когда
,
;
5) тогда и только тогда, когда
,
то есть координаты векторов и
пропорциональны.
§ 5. Скалярное, векторное и смешанное
произведение векторов
Над векторами вводятся операции скалярного, векторного и
смешанного произведения. Обобщенные данные по этим операциям
представлены в табл. 3.
Таблица 3. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
Скалярное
произведение
Векторное
произведение
Смешанное
произведение
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
(результатом
является скаляр-
число!)
Это вектор такой, что:
1)
;
2)
;
3) векторы ,
,
образуют
правую тройку векторов
Это скалярное
произведение
векторного
произведения
векторов и
и
вектора (результат
–число!)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]