Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторный анализ. Учебно-методическое пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
П. К. Маценко, Н. В. Савинов
ВЕКТОРНЫЙ
АНАЛИЗ
Учебно-методическое пособие
Ульяновск
УлГТУ
2020
УДК 514.742.4 (076)
ББК 22.151.5я7
М 36
Рецензент – доцент кафедры высшей математики Ульяновского
государственного педагогического университета им. И. Н. Ульянова
канд. физ.-мат. наук А. Р. Сибирева
Рекомендовано научно-методической комиссией
инженерно-экономического факультета
в качестве учебно-методического пособия
Маценко Петр Константинович
М 36 Векторный анализ : учебно-методическое пособие / П. К. Маценко,
Н. В. Савинов. – Ульяновск: УлГТУ, 2020. – 63 с.
Изложены базовые понятия векторного анализа и методы решения
основных типов задач. Пособие составлено в соответствии с учебной
программой курса «Высшая математика» для технических специальностей
вузов и может быть использована студентами при изучении раздела
«Векторный анализ» в качестве руководства при подготовке к семинарским
занятиям, выполнении типового расчета, подготовке к экзамену.
Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» УлГТУ.
УДК 514.742.4 (076)
ББК 22.151.5я7
© Маценко П. К., Савинов Н. В., 2020.
© Оформление. УлГТУ, 2020.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................................................... 4
1. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня ........................... 4
2. Производная по направлению ............................................. 7
3. Градиент скалярного поля ................................................. 9
4. Криволинейный интеграл первого рода ................................. 12
5. Криволинейный интеграл второго рода ................................. 17
6. Поверхностный интеграл первого рода .................................. 26
7. Поверхностный интеграл второго рода .................................. 32
8. Векторное поле. Векторные линии....................................... 38
9. Поток векторного поля ................................................... 42
10. Дивергенция векторного поля ............................................ 45
11. Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля ..................... 49
12. Ротор векторного поля ................................................... 52
13. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго
порядка ................................................................... 56
14. Специальные виды векторных полей .................................... 59
15. Ответы .................................................................... 62
Библиографический список .............................................. 63
3
,FG
FG
gradu
()F
()ЦF
divF
rotF
G
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для решения многих инженерных задач необходимо изучать
структуру физической среды, заполняющей все пространство или его
часть, где происходят изучаемые процессы. Математическими моделями
такой среды являются скалярное и векторное поля; они изучаются в
разделе математики, называемом «Векторный анализ». Скалярное поле
описывается одной функцией нескольких переменных, векторное поле –
несколькими такими функциями. Если физическая среда не меняется со
временем, поле называется стационарным; описывающие его функции
зависят только от координат точки. Если же физическая среда меняется со
временем, поле называется нестационарным, и в описывающие его
функции в качестве аргумента дополнительно входит время.
В предлагаемом пособии рассматриваются только стационарные поля.
Пособие написано в соответствии с программой курса «Высшая
математика» и предназначено студентам инженерных специальностей вуза.
В работе изложены базовые понятия векторного анализа и методы решения
основных типов задач. Цель пособия – сформировать у читателя общее
представление о способах использования идей векторного анализа для
решения конкретных прикладных задач. Дополнительный теоретический
материал можно почерпнуть из учебников [1-5] или из конспекта лекций.
Пособие может быть полезно при выполнении типового расчета из
сборника [6].
В пособии использованы следующие обозначения:
П
скалярное произведение векторов F и G;
векторное произведение векторов F и G;
градиент скалярного поля u;
поток векторного поля F через поверхность ;
циркуляция векторного поля F вдоль контура ;
дивергенция векторного поля F;
ротор векторного поля F;
– оператор Гамильтона,
оператор Лапласа.
1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ УРОВНЯ
Определение 1.1. Пусть
– некоторая область трехмерного
пространства. Говорят, что в области G задано скалярное поле, если
4
MG
()u u M
()u u M
( , , )u u x y z
( , , )u u x y z
( , )u u x y
( , , )u u x y z
( , , )u x y z C
C
( , )u x y C
0
(1,2, 2)M
( , , )M x y z
2 2 2
q
u
x y z
2 2 2
q
C
x y z
2
2 2 2
q
x y z
C
0
(1,2, 2)M
2
2
22
1 2 2
q
C
2
9
q
C
2 2 2
9x y z
каждой точке
В этом случае пишут
поставлено в соответствие действительное число u.
.
Примерами скалярных полей могут служить поле температур вокруг
нагретого или охлажденного тела, поле атмосферного давления, поле
электрического потенциала. Введя в рассмотрение декартову систему
координат, скалярное поле
трех переменных
. В дальнейшем будем считать, что функция
можно представить в виде функции
непрерывно дифференцируема.
Замечание. При решении некоторых задач требуется рассматривать
скалярное поле на плоскости, то есть считать область G двумерной. Такое
поле называется плоским, оно описывается функцией двух аргументов
.
Определение 1.2. Поверхностью уровня скалярного поля
называется множество точек пространства, в которых поле принимает
одно и то же значение.
Таким образом, поверхность уровня имеет уравнение
где
произвольная константа. Ясно, что поверхности уровня,
,
соответствующие различным C, не пересекаются между собой. Для
плоского поля вместо поверхности уровня рассматривается линия уровня;
очевидно, линия уровня имеет уравнение
.
Пример 1.1. Найдите уравнения поверхностей уровня потенциала
точечного электрического заряда q. Какая поверхность уровня проходит
через точку
?
Решение. Точечный электрический заряд поместим в начало
координат. Из курса физики известно, что потенциал в точке
находится по формуле
имеет уравнение
, которое преобразуется к виду
. Значит, поверхность уровня
. Таким образом, поверхностями уровня являются
концентрические сферы с центром в начале координат. Поскольку точка
лежит на поверхности уровня, ее координаты удовлетворяют
уравнению поверхности. Значит,
и уравнение сферы принимает вид
. Отсюда
,
.
5
1,2A
y
ux
2
lnv y y x
y
ux
2
lnv y y x
1
y
xC
2
2
lny y x C
12
,CC
( , ) 0xy
()
x
A
()
y
A
,xy
1
, ln
yy
yx x x
1
2,0n
,xy
,2 ln
y
yx
x
2
2,4n
1
n
2
n
12
2 2 2 2
12
2 2 0 4 1
cos
5
2 0 2 4
nn
nn
1
arccos
5
1
arccos
5
2 2 2
z
u
x y z
1,4,8A
2
y
ux
8,2
2 2 2
2u x x y z
0
1,2,0M
22
2u x y z
2,1A
22
u x y
2
v xy
Пример 1.2. Под каким углом пересекаются в точке
уровня плоских полей
Решение. Линии уровня полей
уравнения
и
и
?
и
, где
Известно, что нормаль к поверхности
координаты:
поля в точке
и
:
. Находим нормаль к линии уровня первого
. Значит,
некоторые константы.
в точке A имеет
– нормаль к линии
линии
имеют
уровня первого поля в точке A. Находим нормаль к линии уровня второго
поля в точке
уровня второго поля в точке A. Находим угол между нормалями
Ответ:
:
.
. Значит,
,
– нормаль к линии
и
.
.
Решите самостоятельно
1.1. Найдите уравнение поверхности уровня
проходящей через точку
.
1.2. Найдите уравнение линии уровня плоского поля
через точку
1.3. Для скалярного поля
.
определите радиус
поверхности уровня, проходящей через точку
1.4. Найдите поверхности уровня скалярного поля
Изобразите на рисунке сечения этих поверхностей координатными
плоскостями.
1.5. Под каким углом пересекаются в точке
полей
и
?
линии уровня плоских
,
, проходящей
.
.
6
ul
()u u M
MG
1
M
()u u M
1
1
1
( ) ( )
( ) lim
MM
u u M u M
M
l
MM
()u u M
( , , )u u x y z
( , , )u u x y z
( , , )M x y z
()u u M
( , , ) ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos
x y z
u
x y z u x y z u x y z u x y z
l
cos ,cos ,cos
,,
x y z
u u u
( , , )u x y z
,,Ox Oy Oz
( , )u u x y
( , ) ( , )cos ( , )cos
xy
u
x y u x y u x y
l
cos ,cos
()
u
M
l
()u u M
0
ul
0
ul
M
1
M
l
Рис. 2.1
2. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Для характеристики скорости изменения скалярного поля в заданном
направлении l вводится понятие производной по направлению
– скалярное поле, определенное в области G. Через точку
проведем вектор l (см. рис. 2.1). На оси вектора l отложим точку
Определение 2.1. Производной скалярного поля
в точке Mв
направлении вектора l назовем предел
.
Если ввести декартову систему координат, то поле
порождает функцию трех аргументов
Теорема 2.1. Если функция
, то скалярное поле
имеет производную по любому
.
дифференцируема в точке
направлению l. Эта производная находится по формуле
где
– направляющие косинусы вектора l.
. Пусть
.
, (2.1)
Замечание 1. Частные производные
являются производными поля
в
направлении координатных осей
соответственно.
Замечание 2. Для плоского поля
производная по направлению находится по формуле
где
– направляющие косинусы вектора l.
Ясно, что производная по направлению
изменения поля
если
, то поле возрастает в направлении вектора l; если
в точке M в направлении вектора l. Причем,
поле убывает.
Отметим три свойства производной по направлению.
, (2.2)
определяет скорость
, то
7
()
u
M
l
()u u M
1
l
2
l
12
uu
ll
3 2 2
35u x y yz zx
AB
(1,3,4), (3,4,2)AB
l AB
2,1, 2AB
2
22
2 1 2
2 1 2 3, cos , cos , cos
3 3 3
AB
2 3 2 2
9 2 , 3 5 , 10
x y z
u x y zx u x z u yz x
2 3 2 2
2 1 2
9 2 3 5 10
3 3 3
u
x y zx x z yz x
l
2 3 2 2
2 1 2
9 2 3 5 10
3 3 3
x y zx x z yz x
22
2
49
xy
uz
2,3,1A
22
5xz
22
5xz
22
5xz
2 , 0, 2
x y z
xz
4,0,2n
25n
2
cos , cos 0
5
1
cos
5
2
, , 2
29
x y z
xy
u u u z
2
( ) 1, ( ) , ( ) 2
3
x y z
u A u A u A
2 2 1 4
( ) 1 0 2
3
5 5 5
u
A
l
45
1. Величина
определяет скорость изменения скалярного поля
в точке M в направлении вектора l.
2. Если векторы
и
противоположно направлены, то
.
3. Производная по любому направлению, касательному к поверхности
(линии) уровня, равна 0.
Пример 2.1. Найдите производную скалярного поля
в направлении вектора
Решение. Находим направляющие косинусы вектора
,
, если
.
. Имеем
Находим частные производные поля.
.
Далее воспользуемся формулой (2.1), получим.
.
Ответ:
Пример 2.2. Для поля
найдите производную в точке
.
в направлении внешней нормали к поверхности
Решение. Найдем координаты нормали к поверхности
Обозначим
, тогда
внешняя нормаль к поверхности в точке A имеет вид:
Поскольку
, то направляющие косинусы нормали равны:
,
.
Найдем частные производные поля в точке A:
,
.
.
.
. Следовательно,
.
.
Воспользуемся формулой (2.1), получим
Ответ:
.
.
8
x
u arctg
y
2,1A
43a i j
22
3u x y y zx
AB
1,3,2 , 9,4,6AB
2 2 2
u x y z
2, 1, 2A
4 2 4a i j k
ln
xy
u e e
0,0O
xy
uz
(8,4,1)A
22
2u x z xyz yz
0
(2,6,3)M
2 2 2
ln( )u x y z
0
(2,3,1)M
2 2 2
1
12 27 3
x y z
2
2u xz yz
1,0,2A
cos 1, sin 1, 2, 0 2x t y t z t
( , , )u u x y z
gradu
( , )u x y
,,
uuu
gradu
x y z
Решите самостоятельно
2.1. Найдите производную плоского поля
направлении вектора
.
2.2. Найдите производную поля
, если
.
2.3. Найдите производную поля
направлении вектора
.
2.4. Вычислите производную плоского поля
в направлении биссектрисы второй координатной четверти.
2.5. Найдите производную поля
в точке
радиуса-вектора этой точки.
2.6. Найдите производную поля
направлении вектора, образующего равные острые углы с
координатными осями.
в точке
в
в направлении вектора
в точке
в
в точке
в направлении
в точке
в
2.7. Найдите производную поля
направлении внешней нормали к поверхности
2.8. Найдите производную поля
окружности
в точке
в точке
в
.
вдоль
в направлении
возрастания параметра t.
3. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Определим, в каком направлении скалярное поле растет быстрее
всего. Для этого введем в рассмотрение понятие градиента скалярного
поля.
Определение 3.1. Пусть скалярное поле
дифференцируемо в области G. Градиентом
координатами которого являются частные производные поля
есть
.
называется вектор,
, то
9
( , )u u x y
,
uu
grad u
xy
()u u M
l
0
( ) , ( )
u
M l gradu M
l
()gradu M
( ) ( ) cos
u
M grad u M
l
()gradu M
()uM
()gradu M
M
()u M const
( ) 0gradu M
grad u v grad u grad v
c const
grad c u c grad u
grad u v v grad u u grad v
2
v grad u u grad v
u
grad
vv
()grad f u f u grad u
1,5
22
u x y
22
3
x
u x x y
22
3
y
u y x y
22
2 2 2 2 2 2
3 3 3gradu x x y y x y x y
22
3 12xy
22
4xy
22
4xy
Очевидно, градиент плоского поля
. Перечислим свойства градиента.
1. Производная поля
произведению градиента поля и орта вектора
2. Вектор
возрастания поля в точке M.
3.
.
4. Наибольшая скорость возрастания скалярного поля
равна
5. Градиент в точке
уровня поля, проходящей через точку M.
6. Если
направлен по направлению наискорейшего
.
направлен по нормали к поверхности (линии)
, то
в направлении вектора l равна скалярному
.
, где
угол между векторами l и
.
имеет вид
, то есть
в точке M
7.
8. Если
9.
10.
11.
Пример 3.1. Найдите множество точек, в которых модуль градиента
плоского поля
Решение. Найдем частные производные поля:
и искомое множество точек имеет уравнение
.
, то
равен 12.
. Значит,
.
.
.
.
.
,
,
, то есть
Ответ:
.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]