Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Векторный анализ. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

cxy 

2y

2x

01c

xy 

zdx2



2 cxz 

4z

2x

82c

8222 xz

28zz

0z 

2x 

, 2 8y x z x  

   

F y z i z x j    

 

x y k

 

2,1,10M











     

dtyxdzdtxzdydtzydx  ,,

     

dtyxdtxzdtzydzdydx 

 

0 zyxd

czyx 



     

dtyxzdtxzydtzyxzdzydyxdx 

222





 





 





zyx

222

czyx 







 





222

czyx

откуда проходит через точку частное решение первого уравнения:

преобразуем второе уравнение к виду

. Найдем константу

, то

при

. Поскольку векторная линия

; значит,

. Получили

. Учитывая это решение,

. Решая это уравнение как

уравнение с разделяющимися переменными, получим как точка

лежит на векторной линии, то

при

; значит,

Получили частное решение второго уравнения

, поскольку

при

. Итак, векторная линия в

пространстве описывается системой уравнений: Ответ:

Пример 8.3. Найдите векторную линию поля

, проходящую через точку

Решение. Согласно формуле (8.1) векторные линии поля описываются

. Так

. Отсюда

дифференциальной системой

. Каждую дробь

приравняем к dt, получаем систему уравнений

. (8.3)

Сложим отдельно левые и правые части уравнений системы (8.3),

получим уравнение

которое преобразуем к виду

. Известно, что дифференциал

функции равен 0 тогда и только тогда, когда функция является константой. Значит,

, где

произвольная константа.

Затем первое решение системы (8.3) умножим на x, второе уравнение

умножим на y, третье уравнение умножим на z и сложим отдельно левые и правые части полученных уравнений. В итоге получим уравнение

которое преобразуется к виду

. Отсюда следует, что

, где

Итак, общий интеграл (т.е. общее решение в неявном виде)

описывается системой уравнений

новая произвольная константа.

. Так как точка

 

2,1,10M

6,2

 cc





 





222

zyx

6,2

222

 zyxzyx

   

jyxixyF

11 

 

1,0

x y x





kzjyixF

222



 

F i x y j k   

 

1,0,0



)(MFF 







( ) ,F F n d









n 





,Fn 

()F F M

)(F









лежит на векторной линии, то ее координаты удовлетворяют

полученной системе уравнений. Отсюда следует, что искомая векторная линия описывается системой уравнений

Ответ:

Решите самостоятельно

8.1. Найдите векторную линию плоского векторного поля

, проходящую через точку

8.2. Найдите векторные линии плоского векторного поля

8.3. Найдите векторные линии векторного поля

8.4. Найдите векторную линию векторного поля

проходящую через точку

9. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

В трехмерном пространстве выберем гладкую поверхность

. Значит,

ориентированную в каждой ее точке нормалью n.

Определение 9.1. Потоком векторного поля

поверхность поверхностный интеграл

где

нормали знак потока изменится на противоположный.

времени через поверхность замкнутая поверхность, а поток поля через поверхность  в направлении

внешней нормали положителен, то количество жидкости, вытекшей изнутри, больше, чем попавшей внутрь; значит, внутри поверхности 

орт нормали n,

Замечание. Из определения потока видим, что при смене направления

Отметим, что если

определяет количество жидкости, протекающей в единицу

в направлении нормали n называется следующий

, (9.1)

скалярное произведение векторов F и

поле скоростей текущей жидкости, то

в направлении нормали n. Если

через

0)( F

kzyxRjzyxQizyxPMF ),,(),,(),,()( 

( ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy



   



 

E M r



r

r 

n

k 









0 0 0

kq kq

E n r n







0 0 0

,1r n r

 





E E n d d







  

 

Rr 

R

 

qkR









4kq



kzixF 

4 xy 

0z, 3z

yOz

Рис. 9.1

имеется источник поля. Если же вытекшей изнутри, меньше, чем попавшей внутрь; значит, внутри

поверхности  имеется сток поля.

Если известны декартовы координаты векторного поля

то поток можно вычислить по формуле

Пример 9.1. В точку O трехмерного пространства помещен точечный

положительный электрический заряд напряженности заряда через сферу с центром в точке O.

Решение. Из курса физики известно, что напряженность точечного

электрического заряда q в точке M находится по формуле

где

радиус-вектор точки

относительно точки

, то количество жидкости,

. (9.2)

. Найдите поток поля

сфере в точке нальности (см. рис. 9.1). Находим

так как

Так как в точках сферы

Ответ:

его длина,

Пример 9.2. Найдите поток векторного поля

орт вектора r,

коэффициент пропорцио-

. Поэтому согласно определению потока

, где

нормаль к

радиус сферы, то

через

поверхность направлении координатной оси Oy.

Решение. Строим поверхность  (см. рис. 9.2) и ее проекцию D на

координатную плоскость

, ограниченную плоскостями

(см. рис. 9.3).

, в







 zdxdyxdydzzdxdyxdydzF)(



xOy

0





zdxdy





xdydz











)( xdydzxdydzF

4 xy 

4 yx 



dydzyxdydz







xdydz y dydz



    

 

4Dy dydz



2 3 2

2 2 2

0 0 0

( ) 2 4 2 4 6 4 6

F y dydz dy y dz y dy





       

   



Рис. 9.2

Рис. 9.3

Согласно формуле (9.2)

Образующие цилиндрической поверхности координатной плоскости

, поэтому

поверхность  разобьем на переднюю

(см. рис. 9.2). Тогда

перпендикулярны

. Для вычисления

и заднюю

Сведем поверхностные интегралы к двойным. Из уравнения цилиндра

выражаем x через y, получаем

«+» соответствует поверхности

. Нормаль к поверхности

согласно формуле (7.3)

образует тупой угол с осью

, знак «–» соответствует поверхности

образует острый угол с осью

. Нормаль к поверхности

, поэтому

, причем знак

. Таким образом,

части

, поэтому

Ответ:

 

kzjyixF 143 

0443  zyx

 

kyjzizxF 2

     

0,2,0,0,0,2,0,0,0 BAO

 

2,0,0C

kzixF 

1 xy 

2,0  zz

kzjyixF 

922 yx

2,0  zz

ixzF 

1 yxz 

0z

kzjyixF



yxz 

1z



()F







M

)(MFdiv









MFdiv

)(

lim)(

Решите самостоятельно

9.1. Найдите поток векторного поля

плоскости

, лежащую в первом октанте, в

направлении нормали, образующей острый угол с осью Oz.

9.2. Найдите поток векторного поля

наклонную грань пирамиды с вершинами в точках

нормали.

9.3. Найдите поток векторного поля

поверхность цилиндра

, в направлении внешней нормали.

9.4. Найдите поток векторного поля

цилиндра

, ограниченного плоскостями

в направлении внешней нормали.

9.5. Найдите поток векторного поля

, ограниченную плоскостью

через часть

через

в направлении внешней

через боковую

, ограниченного плоскостями

через поверхность

, в направлении

нормали, образующей острый угол с осью Oz.

9.6. Найдите поток векторного поля

, ограниченную плоскостью

через поверхность

, в направлении

нормали, образующей тупой угол с осью Oz.

10. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Основной характеристикой интенсивности векторного поля является

его дивергенция. Выберем произвольную точку окружим ее замкнутой поверхностью

. Найдем поток поля через эту

пространства и

поверхность в направлении внешней нормали и разделим его на объем

области, ограниченной поверхностью ; получим

среднюю

интенсивность векторного поля внутри поверхности . Будем стягивать поверхность  в точку M и найдем предел средней интенсивности поля при условии

. Если этот предел существует, то он называется

дивергенцией поля в точке M и обозначается

. Итак,

0)( MFdiv

0)( MFdiv

0)( MFdiv

kzyxRjzyxQizyxPF ),,(),,(),,( 

),,(),,(),,()( zyx

zyx

MFdiv









0)( constdiv

2121

)( FdivFdivFFdiv 

FdivFdiv 



)(

),,( zyxf

 

FfgradFdivfFfdiv ,)( 



kzyxRjzyxQizyxPF ),,(),,(),,( 









 





 















 G

dxdydz

dxdyzyxRdxdzzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(









dxdydzFdivF)(

kxyzjzxyiyzxF

222



)5,3,2(

     

2 2 2

x y z

divF x yz xy z j xyz

  

   

2 2 2 6xyz xyz xyz xyz   

 

1805326

MFdiv

Если векторного поля; если же Если

, то в точке Mнет ни источника, ни стока поля.

, то считается, что в точке M находится источник

, то в точке M находится сток поля.

Доказывается, что если декартовы координаты векторного поля

имеют непрерывные частные

производные в точке M, то дивергенция поля находится по формуле

. (10.1)

Перечислим основные свойства дивергенции.

, то есть дивергенция постоянного вектора равна нулю.

, то есть дивергенция суммы полей равна

сумме их дивергенций.

, то есть числовой постоянный множитель можно

выносить за знак дивергенции.

4. Если

скалярное поле, то

Следующая теорема устанавливает интегральную связь между потоком и дивергенцией векторного поля.

Теорема 10.1. Если

гладкая или кусочно-гладкая замкнутая

поверхность, а декартовы координаты векторного поля

имеют непрерывные частные

производные в области

, ограниченной поверхностью

, то

справедлива следующая формула Остроградского-Гаусса:

В терминах векторного анализа формула Остроградского-Гаусса читается так: поток векторного поля через замкнутую поверхность в

направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, заключенному внутри поверхности

Пример 10.1. Найдите дивергенцию поля точке

. (10.2)

Решение. По формуле (10.1)

. Тогда

Ответ: 180.



kzjyixr 

222

zyxr 

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x y z

r i j k

x y z x y z x y z

  

     

kRjQiPE 

     

3 2 3 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

,,P kqx x y z Q kqy x y z R kqz x y z

  

        

   

222

2xzyzyxkq







   

222

2yzxzyxkq







   

222

2zyxzyxkq







 

2 2 2

divF kq x y z



   

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 0y z x x z y x y z         

     

kxyzjzxyiyzxF 

yzyxG 2:



yxz 

yz 2





 





,2,2

yyx

 





 







.11

xOy

 

 yx

xOy

Пример 10.2. В точку

трехмерного пространства помещен

точечный положительный электрический заряд q. Найдите дивергенцию поля в точках, отличных от O.

Решение. Напряженность поля в произвольной точке

от

, находится по формуле

, то

, и орт

(см. пример 9.1). Так как

имеет вид

Поэтому

, где

, отличной

Находим частные производные координат поля.

Тогда согласно формуле (10.1)

Ответ: 0.

Пример 10.3. Используя формулу Остроградского-Гаусса, найдите поток векторного поля

области

в направлении внешней нормали.

через границу

Решение. Преобразуем уравнение линии пересечения поверхностей

, получим

Видим, что проекцией линии пересечения поверхностей на координатную плоскость

является окружность

. Строим область G

(см. рис. 10.1) и ее проекцию

на координатную плоскость

(см. рис. 10.2). Чтобы использовать формулу Остроградского-Гаусса, найдем дивергенцию поля.

     

3













zyx

xyzzxyyzxFdiv

 

dxdyyxydzdxdydxdydzF

DG D

  







2333



sin,cos ryrx 

,sin20,









 rrdrddxdy

 

2sin 2sin

0 0 0 0

3 2 sin 3 sin 2F d r r rdr d r dr





   





    

 

   

2sin

r dr







 



 

4 sin 1 cos2dd



   

  



 

1 2cos2 1 cos4



  



    

 



3 / 2



kxyzjzxyiyzxF

222



 

4,3,2

crF 

kzjyixr 

kjic 22 

 

1,4,8

rrF 

kzjyixr 

kzfjyizxF )(2 

)(zf

0Fdiv

2zy

z x y

Рис. 10.1

2sinr





Рис. 10.2

Тогда по формуле Остроградского-Гаусса

В двойном интеграле перейдем к полярным координатам:

. Тогда

поток равен

Ответ:

Решите самостоятельно

10.1. Найдите дивергенцию векторного поля

в точке

10.2. Найдите дивергенцию векторного поля

, где

, и

, в точке

10.3. Найдите дивергенцию векторного поля

10.4. Для векторного поля

такую, чтобы

, где

найдите функцию

kxzjzyixF )2()3(2 

222

 zyx

kzxjyzixyF 

222

 zyx

kxyzjxyiyxF 

0,0,0,9:

222

 zyxzyxG

)(MFF 

1 2 1

, ,...,

B B B



0 1 1 2 1

, ,...,

l B B l B B l B B



     

, ,...,

M M M

()F F M

( ) ,..., ( )

F F M F F M

 

,Fl

   

, ,..., ,

F l F l

 







lF1,

0max kl

 



ldF,

 

max 0

lim ,

Fdl F l











     

kzyxRjzyxQizyxPF ,,,,,, 

     

, , , , , ,

Fdl P x y z dx Q x y z dy R x y z dz  



10.5. Используя формулу Остроградского-Гаусса, найдите поток

векторного поля

через эллипсоид

в направлении внешней нормали.

10.6. Используя формулу Остроградского-Гаусса, найдите поток

векторного поля

через сферу

направлении внешней нормали.

10.7. Используя формулу Остроградского-Гаусса, найдите поток

векторного поля ограничивающую тело

через поверхность,

направлении внешней нормали.

11. ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть L – гладкая или кусочно-гладкая линия, на которой выбрано направление. Предположим, что на линии L задано векторное поле

дуг. Через

. Точками

обозначим начальную и конечную точки линии L.

разобьем линиюL на n элементарных

Обозначим:

. На каждой

элементарной дуге выберем по точке, обозначим их через Вычислим значения поля в этих точках:

, найдем скалярные произведения:

и составим интегральную сумму

Увеличиваем число частей, на которые разбивается

. Если при этом предел интегральных сумм существует, то он

называется линейным интегралом и обозначается символом

согласно определению

Легко видеть, что если известны координаты векторного поля

. ,

так, что

. Итак,

то линейный интеграл сводится к криволинейному интегралу второго рода

. (11.1)

 

 MFF

A Fdl





 

FЦ



 

Ц F F dl









222

,: zzRyx 

rv 



 rk,



kzjyixr



jxiy

zyx

kji





 





















000

sin

cos

RdtR

tRy

tRx

xdyydxvЦ

2 R



kyixF 

       

4,0,0,0,4,0,0,0,2,0,0,0 CBAO

 





CABCAB

ABCA

ydzxdxydzxdxydzxdxFЦ

Поэтому линейный интеграл обладает всеми свойствами криволинейного интеграла второго рода.

Доказывается, что если поле, порожденное вектором силы), то линейный интеграл определяет

работу поля вдоль кривой:

Определение 11.1. Если по такой кривой называется циркуляцией поля вдоль контура  и обозначается символом

Итак, согласно определению

Пример 11.1. Жидкость вращается вокруг оси скоростью

Решение. Из курса физики известно, что линейная скорость в точке

находится через векторное произведение по формуле

. Найдите циркуляцию поля скоростей вдоль окружности

в положительном направлении относительно оси

радиус-вектор точки M. Так как

замкнутая кривая, то линейный интеграл

силовое векторное поле (то есть,

с угловой

, где

, то

Поэтому согласно формуле (11.1)

Ответ:

Пример 11.2. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура наклонной грани треугольной пирамиды с вершинами в

точках положительном направлении относительно внешней нормали к наклонной

грани. Решение. Согласно определению циркуляции и свойствам линейного интеграла (см. рис. 11.1)

. Интегрирование вести в

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.2026405 Кб0Векторная алгебра. Краткий курс лекций. Учебное пособие-1.pdf
#
09.08.2026405 Кб0Векторная алгебра. Краткий курс лекций. Учебное пособие.pdf
#
06.09.2026547 Кб0Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»-1.pdf
#
11.08.2026547 Кб0Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика».pdf
#
06.09.20261 Мб0Векторная алгебра. Учебное пособие.pdf
#
07.09.20262 Мб0Векторный анализ. Учебно-методическое пособие.pdf
#
06.09.20261 Мб0Великая легкость. Очерки культурного движения.pdf
#
07.09.20262 Мб0Великая русская революция глазами интеллектуалов. Хрестоматия.pdf
#
06.09.20261 Мб0Великие книги великих людей. Том 1. Афоризмы житейской мудрости.pdf
#
07.09.20262 Мб0Великие ученые и изобретатели = Great Scientists and Inventors. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Великий розенкрейцер.pdf