Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторный анализ. Учебно-методическое пособие
.pdf
2 2 2
lnu x y z
1,1,0A
0,1,1B
,,x y z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
,,
x y z
gradu
x y z x y z x y z
1
1,1,0g gradu A
2
0,1,1g gradu B
1
g
2
g
12
12
1
cos
2
gg
gg
0
60
0
60
3 4 1
6
u
xy
z
32
z
v
xy
0
1
1,2,
6
M
0
M
0
1
22
2
3 4 1
, , , 3, 1, 6
6
gradu g grad u M
xy
z
0
M
0
2
4 2 3 3 3 2
3 2 1 6 6 1
, , , , ,
8 24 4
zz
grad v g grad v M
x y x y x y
12
6 6 1 6
( , ) 3 1 6
8 24 4 6
gg
2
22
1
3 1 6 4g
22
2
2
6 6 1 6
8 24 4 6
g
12
12
6
6
cos 0,25
6
4
6
gg
gg
arccos 0,25
arccos 0,25
Пример 3.2. Найдите угол между градиентами поля
в точках
и
.
Решение. Найдем градиент поля в произвольной точке
Значит,
Найдем угол между векторами
Ответ:
.
,
и
.
Пример 3.3. Найдите угол между градиентами полей
и
в точке
.
Решение. Найдем градиент поля u в точке
.
.
.
,
.
.
.
Найдем градиент поля v в точке
.
Найдем скалярное произведение векторов.
Найдем длины векторов.
,
Найдем угол между векторами.
,
.
.
.
.
Ответ:
.
11
2
1u y x x
63ij
2ln
z
u
xy
1,1,1A
1,1,2B
3 3 3
6 6 6 6 2u x y z
2
xz
vy
0
11
, ,1
66
M
2 2 2
lnu x y z
u xyz
0
(1,2, 2)M
2 2 2
u x y y z z x
0
(1,2, 2)M
22
u x y
v xy
0
(1,1, 1)M
3
42u xy yz z
22
xy
u
xy
G
()u u M
1 2 1
, , ...,
n
B B B
L
n
0
B
n
B
12
, ,...,
n
s s s
Mn
B
n–1 Bn
B2
M2
B1
M1
B0
Рис. 4.1
Решите самостоятельно
3.1. В каких точках градиент плоского поля
равен
?
3.2. Найдите угол между градиентами поля
и
.
3.3. Найдите угол между градиентами полей
в точке
.
в точках
и
3.4. Найдите множество точек пространства, в которых модуль градиента
поля
равен 1.
3.5. Найдите скорость и направление наибольшего возрастания поля
в точке
3.6. Найдите наибольшую скорость возрастания поля
точке
.
.
в
3.7. Найдите угол между линиями уровня полей
и
.
3.8. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно линиям уровня поля
.
3.9. Найдите множество точек, в которых модуль градиента плоского
поля
равен 1.
4. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Пусть L – гладкая или кусочно-гладкая линия в трехмерной области
. Предположим, что на линии L задано непрерывное поле
Точками
разобьем
на
элементарных дуг; через
обозначим начальную и
конечную точки L. Длины
этих элементарных дуг
обозначим через
. На каждой
.
и
элементарной дуге выберем
12
12
, ,...,
n
M M M
12
( ), ( ),..., ( )
n
u M u M u M
1
()
n
kk
k
u M s
max 0
k
s
( , , )
L
u x y z ds
max 0
1
( , , ) lim ( )
k
n
kk
s
k
L
u x y z ds u M s
( , , ) ( , , )
AB BA
u x y z ds u x y z ds
( , , ) ( , , )
LL
c u x y z ds c u x y z ds
[ ( , , ) ( , , )] ( , , ) ( , , )
L L L
u x y z v x y z ds u x y z ds v x y z ds
AB
AC
CB
( , , ) ( , , ) ( , , )
AB AC CB
u x y z ds u x y z ds u x y z ds
( ), ( ), ( )x x t y y t z z t
t
( , , )u u x y z
2 2 2
( , , ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( )
L
u x y z ds u x t y t z t x t y t z t dt
( ), ( ),x x t y y t t
( , )u u x y
по точке, обозначим их через
значения функции в этих точках:
интегральную сумму
.
(см. рис. 4.1). Вычислим
и составим
Будем увеличивать число частей, на которые разбивается L так,
чтобы
. Если при этом предел интегральных сумм существует,
то он называется криволинейным интегралом первого рода (или
криволинейным интегралом по дуге) и обозначается символом
. Итак, согласно определению
.
Аналогично строится криволинейный интеграл первого рода и в случае
плоского поля.
Перечислим свойства криволинейного интеграла первого рода.
1. Величина интеграла не зависит от направления интегрирования
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
.
3. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых
4. Если линия
точкой C делится на две части
.
и
, то
.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к
вычислению определенного интеграла. Справедливы следующие теоремы.
Теорема 4.1. Если гладкая или кусочно-гладкая линия L задана в
пространстве параметрическими уравнениями
, а поле
непрерывно на кривой L, то интеграл
существует и находится по формуле
.
,
Следствие. Если гладкая или кусочно-гладкая линия L на плоскости
задана уравнениями
непрерывно на кривой L, то
13
, а поле
22
( , ) ( ), ( ) ( ) ( )
L
u x y ds u x t y t x t y t dt
( ),y y x a x b
( , )u u x y
2
( , ) , ( ) 1 ( )
L
u x y ds u x y x y x dx
L
l ds
( , , )x y z
( , , )
L
m x y z ds
L
( , , ) , ( , , ) , ( , , )
xy yz zx
L L L
M z x y z ds M x x y z ds M y x y z ds
( , , )x y z
0 0 0
,,
yz xy
zx
MM
M
x y z
m m m
m
,,
yz zx xy
M M M
2 2 2
0
( , , )
L
I x y z x y z ds
22
( , , )
x
L
I y z x y z ds
Oxy
2
( , , )
xy
L
I z x y z ds
.
Теорема 4.2. Если гладкая или кусочно-гладкая линия L на плоскости
задана уравнением
, а поле
непрерывно на
кривой L, то
.
С помощью криволинейного интеграла по дуге можно решать
некоторые прикладные задачи. В частности:
длина кривой L находится по формуле
масса кривой L с линейной плотностью
; (4.1)
находится по
формуле
статические моменты кривой
; (4.2)
относительно координатных
плоскостей находится по формулам
координаты центра масс кривой L с линейной плотностью
находятся по формулам
;
в которых
масса кривой,
статические моменты;
, (4.3)
момент инерции кривой относительно начала координат находится по
формуле
; (4.4)
момент инерции кривой относительно оси Ox находится по формуле
момент инерции кривой относительно плоскости
; (4.5)
находится по
формуле
. (4.6)
14
Oy
Oz
Oxz
Oyz
2 2 2
L
ds
x y z
cos , sin , 2, 0
tt
x e t y e t z t
cos sin
t
x e t t
sin cos , 0
t
y e t t z
2 2 2
2
t
ds x y z dt e dt
2 2 2
x y z
24t
e
2 2 2 2
0
0
2 2 2 1
|.
4 2 2 2 2 2
tt
t
L
ds e dt e e
arctg arctg arctg
x y z e
21
2 2 2
e
arctg arctg
AB
ds
xy
AB
(2,1)A
(3,4)B
: 3 5, 2 3AB y x x
2
1 10 , 4 5ds y dx dx x y x
33
3
2
22
45
10 10 10 10 7
ln 4 5 | ln
4 5 4 4 5 4 4 3
AB
dx
ds dx
x
x y x x
10 7
ln
43
: 4cosL x t
4sin ,yt
3 , 0 2z t t
2z
2
L
m zds
4sin , 4cosx t y t
3z
2 2 2
5ds x y z dt dt
2
2
0
6 5 60m t dt
2
60
Моменты инерции кривой относительно осей
и
находятся по
формулам аналогичным (4.5), а моменты инерции относительно
плоскостей
Пример 4.1. Вычислите
и
находятся по формулам аналогичным (4.6).
, где линия L имеет уравнения
.
Решение. Воспользуемся теоремой 4.1. Находим:
. Следовательно,
,
,
Ответ:
.
,
Пример 4.2. Вычислите
соединяющий точки
и
.
, где
отрезок прямой,
Решение. Воспользуемся теоремой 4.2. Составим уравнение отрезка
. Находим:
Тогда
.
Ответ:
.
Пример 4.3. Найдите массу дуги винтовой линии
, если ее линейная плотность
.
Решение. Массу кривой находим по формуле (4.2):
Полученный интеграл вычисляем с помощью теоремы 4.1. Находим:
,
,
.
.
,
.
Значит,
Ответ:
.
.
15
22
4
L
ds
xy
L
0,0O
1,2A
L
yds
L
sinx t t
1 cos , 0 2y t t
L
yds
L
cos sinx t t t
sin cos , 0 2y t t t t
22
2Ly z ds
L
2 2 2
1,x y z y x
, 1 1y chx x
33
cos , sin , 0 2x t y t t
cos , sin ,
t t t
x e t y e t z e
0,0,0O
1,0,1A
1,2A
3,6B
0,5
22
5xy
, 0 1y chx x
6 sinx t t
6 1 cosyt
0 t
3cosxt, 3sin ,yt
4 , 0 2z t t
0,0,0O
2,4,4A
12A
Oy
ln , 1 2y x x
0
2cos , 2sin , 3 , 0 2x t y t z t t
0
Решите самостоятельно
4.1. Найдите
и
4.2. Найдите
4.3. Найдите
4.4. Найдите
4.5. Найдите длину цепной линии
4.6. Найдите длину астроиды
4.7. Найдите длину линии
до точки
4.8. Найдите массу стержня, концы которого находятся в точках
.
, где
, где
.
, где
.
, где
отрезок прямой, соединяющий точки
арка циклоиды
линия с уравнением
.
окружность
.
.
от точки
,
,
.
и
, а его линейная плотность задается формулой
.
4.9. Найдите координаты центра масс однородной цепной линии
.
4.10. Найдите координаты центра масс полуарки однородной циклоиды
,
4.11. Найдите координаты центра масс витка однородной винтовой линии
4.12. Найдите координаты центра масс стержня, концы которого находятся
в точках
пропорциональна расстоянию от конца O, причем
4.13. Найдите момент инерции относительно оси
4.14. Найдите момент инерции относительно начала координат витка
однородной винтовой линии
линейной плотностью
и
с линейной плотностью
,
.
.
.
, а его линейная плотность
.
однородной кривой
.
с
16
( , , ), ( , , ), ( , , )P x y z Q x y z R x y z
1 2 1
, , . . .,
n
B B B
L
12
, , . ..,
n
l l l
0
B
n
B
01
, , ...,
n
B B B
x
01
, , ...,
n
x x x
110
x x x
2 2 1
, . ..x x x
1n n n
x x x
12
, ,...,
n
M M M
( , , )P x y z
1
()PM
2
( ), ..., ( )
n
P M P M
1
()
n
kk
k
P M x
( 1,2, ..., )
k
l k n
( , , )P x y z
( , , )
L
P x y z dx
max 0
1
( , , ) lim ( )
k
n
kk
l
k
L
P x y z dx P M l
( , , )
L
Q x y z dy
( , , )
L
R x y z dz
1
x
n
x
2
x
0
x
x
0
B
2
M
1
M
n
M
1nB
n
B
2
B
1
B
Рис. 5.1
5. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
5.1. Определение, свойства и вычисление криволинейного
интеграла второго рода. Предположим, что в трехмерной области G
задана гладкая или кусочно-гладкая линия L. Пусть на линии L заданы
три непрерывных функции
На линии L выберем
направление
интегрирования. Точками
разобьем линию
на n элементарных дуг:
. Через
и
обозначим начальную
и конечную точки линии L.
Точки
спроек-
.
тируем на ось
; их
проекции обозначим через
(см. рис. 5.1).
Обозначим:
,
точке, обозначим их через
в этих точках:
интегральную сумму
,
. На каждой элементарной дуге выберем по
. Вычислим значения функции
,
и составим
.
Будем увеличивать число частей, на которые разбивается линия L
так, чтобы длины всех элементарных дуг
стремились бы
к 0. Если при этом предел интегральных сумм существует, то он
называется криволинейным интегралом от функции
координате x и обозначается
. Итак, согласно определению
по
.
Аналогично строятся криволинейные интегралы
. Сумму всех этих интегралов называют криволинейным
и
17
L
Pdx Qdy Rdz
( , , ) ( , , ) ( , , )
L L L L
Pdx Qdy Rdz P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
( , )P x y
( , )Q x y
L
Pdx Qdy
AB BA
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
AB
AC
CB
AB AC CB
Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz
cos , cos , cos ,
LL
Pdx Qdy Rdz P x Q y R z ds
cos( , ), cos( , ), cos( , )x y z
L
( ), ( )x x t y y t
()z z t
( , , ), ( , , )P x y z Q x y z
( , , )R x y z
( ( ), ( ), ( )) ( )
( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) .
L
Pdx Qdy Rdz P x t y t z t x t
Q x t y t z t y t P x t y t z t z t dt
L
интегралом второго рода (или криволинейным интегралом по
координатам) и обозначают
. Таким образом,
.
Замечание. Если вместо пространственной рассмотрим плоскую
кривую L и зададим на ней две функции двух аргументов
, то, как частный случай, получим интеграл
.
и
Перечислим свойства криволинейного интеграла второго рода.
1. При изменении направления интегрирования на кривой криволинейный
интеграл второго рода меняет знак на противоположный:
.
2. Если кривая
разбита точкой C на части
и
, то интеграл по
всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, то есть
.
3. Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны формулой
,
где
направляющие косинусы вектора
касательной к линии L.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к
вычислению определенного интеграла. Справедливы следующие теоремы.
Теорема 5.1. Если гладкая или кусочно-гладкая линия
в
пространстве задана параметрическими уравнениями:
, причем направление интегрирования на линии соответствует
изменению параметра t от до , а функции
непрерывны на линии L, то криволинейный интеграл второго
рода существует и вычисляется по формуле
Замечание. Возможно, что выбранное направление интегрирования
на линии
соответствует уменьшению параметра t. Тогда в
определенном интеграле верхний предел должен быть меньше нижнего
,
,
предела .
18
()y y x
b
( , ), ( , )P x y Q x y
( , ( ) ( , ( )) ( )
b
La
Pdx Qdy P x y x Q x y x y x dx
)(yxx
d
dyyyxQyxyyxPQdyPdx
d
cL
)),(()()),((
L
dyxdxy 12
22
L
)0,2(A
)4,0(B
AB
xy 24
B
0
2
2 2 2
2
2 1 4 2 2 2 1
L
y dx x dy x x dx
0
2
14 16 4x dx
Ldyxydx
2
L
2
2 xy
)0,2(A
)4,0(B
)4,3(C
BCABL
dyxydxdyxydxdyxydx
222
AB
2
2 xy
0
2
4 O
y
x
A
B
Рис. 5.2
Теорема 5.2. Если гладкая или кусочно-гладкая линия L на
плоскости задана уравнением
, причем направление
интегрирования на линии соответствует изменению аргумента x от a до
, а функции
непрерывны на линии L, то криволинейный
интеграл второго рода существует и вычисляется по формуле
Замечание. Если линия L имеет уравнение
аргумент y меняется от c до
Пример 5.1. Вычислите
где
отрезок прямой от точки
, то аналогично теореме 5.2
,
до точки
.
Решение. Прямая
имеет уравнение
. Направление интегрирования от A до
соответствует изменению переменной x от 2
до 0 (см. рис. 5.2). Поэтому согласно теореме 5.2
.
, причем
.
.
Ответ: 4.
Пример 5.2. Вычислите
дуги параболы
прямой от точки B до точки
от точки
.
, где
до точки
линия, состоящая из
и отрезка
Решение. Согласно свойству 2 криволинейного интеграла второго
рода
На линии
имеем
, причем переменная x меняется от 2 до
. (5.1)
(см. рис. 5.3). Поэтому согласно теореме 5.2
19
0
2
2
2
2
2
22 dxxxxdyxydx
AB
0
2
23
0
2
22
44324244 dxxxxdxxxxx
0|42
2
0
2
23
4
xxx
x
BC
4y
0dy
x
3
0
2
124dxdyxydx
BC
12
2
L
dyxydx
zdzxdyydx
L
L
ttztytx 0,2,sin3,cos3
2,cos3,sin3
ztytx
0
22cos3cos3sin3sin3 dttttttzdzxdyydx
L
0
2
2429 dtttcoas
2
2
AA
AA
RdzQdyPdx
O
y
B
A
2
4
3
C
x
Рис. 5.3
.
На линии
переменная
согласно теореме 5.2 имеем
Подставив результаты интегрирования в формулу (5.1), получим
.
Ответ: 12.
Пример 5.3. Вычислите
линии:
возрастания параметра t.
Решение. Найдем
теоремой 5.1.
переменная
меняется от 0 до 3. Поэтому
, где
, пробегаемая в направлении
, значит,
дуга винтовой
и воспользуемся
, а
.
Ответ:
5.2. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру.
Предположим, что линия интегрирования замкнута, не имеет
самопересечений, и на ней выбрано направление обхода (см. рис. 5.4).
Такая линия называется замкнутым контуром. На замкнутом контуре
выберем произвольную точку A, которая, разрывая контур, превращает
его в разомкнутую линию с началом и концом в точке A. На линии
построим криволинейный интеграл
что величина этого интеграла не зависит от выбора точки A на контуре.
Такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и
.
.
. Можно доказать,
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]