Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Векторный анализ. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

0dz

0z

 



xdxydzxdx

BC: 0x

yz  4

 



ydyydzxdx

xzy 24,0 

 



xdxydzxdx

 

8282 FЦ

ABCA

Fdl



   

kyzjzxiyF  2

L



20,,cos1,sin  ttztyttx

Fdl



   

kxyzjzxyiyyxF 

3232

L

)0,0,0(

)1,2,1(2M

 



ldF,

kyjzi

F 

1

L

tzarctgtytx  ,,

 

0,0,0

 

1,4,1



   

kxyjyxzixyzF 

1,4:

 zyx

   

F y z i x z j    

xyk

22222

,18: yxzzyx 

   

kyjxizF 231 

 

0,1,1

 

1,3,4

Рис. 11.1

На линии меняется от 2 до

Поэтому

2. Поэтому

Ответ: 8.

11.1. Вычислите

; переменная y меняется от 4 до 0.

, так как

; переменная x меняется от 0 до

; переменная x

. Поэтому имеем

. На линии

. Таким образом,

Решите самостоятельно

, если

кривая:

11.2. Вычислите

отрезок прямой от точки

11.3. Вычислите

11.4. Найдите циркуляцию поля

контура относительно орта k.

11.5. Найдите циркуляцию векторного поля

вдоль контура

тельном относительно орта k направлении.

11.6. Найдите работу силового векторного поля

, если

от точки

до точки

в положительном направлении

кривая:

вдоль

в положи-

вдоль отрезка прямой от точки

до точки

kyjzixF 

3694,3:

 zyxL

 

0,3,3

 

2,0,3

( , , ) ( , , )F P x y z i Q x y z j  

( , , )R x y z k



 





 











 



 













 





 











iFrot

RQP

zyx

kji

Frot





x 











n 



()rotF M

Рис. 12.1



11.7. Найдите работу силового векторного поля

линии

от точки

до точки

по кратчайшему пути.

12. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Пусть компоненты векторного поля

имеют непрерывные частные производные.

Определение 12.1. Ротором (вихрем) векторного поля F называется вектор

. (12.1)

Ротор векторного поля удобно записывать с помощью определителя

. (12.2)

вдоль

Во второй строке определителя стоят операторы взятия частных производных. Умножение оператора второй строки определителя на функцию третьей строки понимается как взятие частной производной от

этой функции. Например,

, и так далее… Легко

видеть, что путем разложения определителя (12.2) по первой строке получим формулу (12.1).

Замечание 1. Определение ротора дано с помощью компонент векторного поля. Однако его можно дать независимо от системы координат. Выберем произвольную точку

пространства и построим

плоскость T, проходящую через точку

. Пусть

вектор нормали к этой

плоскости. На плоскости T выберем контур , окружающий точку

через

обозначим площадь области,

, и

ограниченной контуром  (см. рис.

12.1). На контуре

выберем

положительное относительно нормали

направление интегрирования и

 

FЦ



M



 



FЦ

M

lim

)(MFF 

)(MFrotn 

)(MFrot

 



FЦ

MFrot

M

 lim)(

0)( constrot

2121

)( FrotFrotFFrot 





FrotFrot 



)(

),,( zyxf

FfgradFrotfFfrot  )(

 

MFF 

0Frot



kzyxRjzyxQizyxPF ),,(),,(),,( 

R Q P R Q P

dydz dzdx dxdy

y z z x x y



   

     



     



   

     



   



.Pdx Qdy Rdz



  



Frot

найдем циркуляцию поля

контур

плотностью циркуляции векторного поля изменении направления нормали n (и, следовательно, повороте около

точки Mплоскости T) будет меняться величина плотности циркуляции в точке

к плоскости, в которой плотность циркуляции векторного поля в точке

будет максимальной. При этом длина ротора равна

Очевидны следующие свойства ротора:

в точку

. Эта величина достигает своего максимума, когда вектор

. Таким образом,

, то есть ротор постоянного вектора равен нулю.

: (

вдоль контура . Будем стягивать

). Величину

в точке

указывает направление нормали

, то есть ротор суммы полей равен сумме

назовем

. При

их роторов.

3. Если

4. Если

Определение 12.2. Векторное поле безвихревым, если в каждой его точке

Использование ротора позволяет связать поток векторного поля через поверхность и циркуляцию поля по границе этой поверхности.

Теорема 12.1. Пусть поверхность, натянутая на гладкий или кусочно-гладкий контур ,

положительно ориентированный относительно нормали к поверхности . Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в окрестности

точек поверхности . Тогда справедлива следующая формула Стокса

числовой множитель, то

скалярное поле, то

двухсторонняя гладкая или кусочно-гладкая

называется

(12.3)

Учитывая формулу (12.1), замечаем, что левая часть формулы (12.3) есть поток поля циркуляция поля F. Поэтому в терминах векторного анализа формула

Стокса читается так: поток ротора векторного поля через поверхность

, а правая часть согласно формуле (11.1) –

4 4

O C

Рис. 12.2

 

FЦFrot



 )(

0),,(),,(  RyxQQyxPP

 



ldF,



jxiyv





   





   





























zxzy

yjxi

zyx

kji

vrot



   





kyxk

000















kyixF 

       

4,0,0,0,4,0,0,0,2,0,0,0 CBAO

   



















zyx

kji

Frot 0

   





   





ixkxyj

yxzx

















равен циркуляции самого поля вдоль границы поверхности в положительном направлении относительно нормали к поверхности

Следует заметить, что если векторное поле плоское, то

, следовательно, первая и вторая скобки в

формуле (12.3) равны 0, и формула Стокса превращается в формулу Грина.

Замечание 2. Если ротор векторного поля равен 0, то согласно формуле (12.4) циркуляция поля по любому замкнутому контуру равна 0, и

следовательно, линейный интеграл

конечной точек линии L, но не зависит от формы самой линии.

Пример 12.1. Жидкость вращается вокруг оси скоростью

Решение. Поле скоростей описывается формулой (см. пример 11.1). Тогда

. Найдите ротор поля скоростей.

. (12.4)

зависит только от начальной и

с угловой

Ответ:

Пример 12.2. Используя формулу Стокса, найдите циркуляцию векторного поля пирамиды с вершинами в точках Интегрирование вести в положительном направлении относительно

внешней нормали к наклонной грани.

вдоль контура наклонной грани треугольной

Решение. Эта задача уже была решена в

предыдущем параграфе, но ее можно решить короче с помощью формулы Стокса. Для этого найдем ротор поля.

 

( ) 1 0 0

ABCA ABC

ABC

Ц F rotF dydz dxdz dxdy



      



OBC

dydz S



  



 





4,3,2

0,1,1

22 yzdzdyzxydxy

 

kyzjzxyiyF 22



 

   















 



 

















zxzy

yyzjzxyyzi

yzzxyy

zyx

kji

Frot 2222

   

0220222



 



 









 yykjzziyzxyk

)0,1,1(A

)4,3,2(B

1, 0, 0y z dy  

0dz 

 

 



dxyzdzdyzxydxy

122

0,0,0,2  dzdxzx

 

16422

 



ydyyzdzdyzxydxy

0,0,3,2  dydxyx

 

48622



 

zdzyzdzdyzxydxy

Рис. 12.3

Теперь, используя формулу Стокса и переходя от поверхностного интеграла к двойному интегралу (см. рис. 12.2), будем иметь

Ответ: 8.

Пример 12.3. Вычислите интеграл

доказав предварительно его независимость от пути интегрирования.

Решение. Найдем ротор векторного поля

Ротор поля равен 0, значит, согласно замечанию 2 интеграл не зависит от пути интегрирования. От точки

точки ломаной со звеньями, параллельными

координатным осям (см. рис. 12.3). На линии

будем интегрировать вдоль

, x меняется от 1

до

до 2. Поэтому

На линии меняется от 1 до 3. Поэтому

На линии

Следовательно,

, z меняется от 0 до 4. Поэтому

 

314816122



 

DBCDAB AC

yzdzdyzxydxy

31

     

kxzjzyiyxF

222222



 

Fzyxrot 

kxyjzxiyzF 

 

1,2,3

0,1,0

2zdx ydy xdz



     

 

1,2,4

2 2 2

0,1,2

2 2 2z xy dx x yz dy y xz dz    



kzjxiyF





20,0,sin,cos:  tztytx











,() FF 

),,( zyxu

ugrad

iu 













Ответ:

12.1. Найдите ротор векторного поля

12.2. Найдите

12.3. Вычислите интеграл

независимость от пути интегрирования.

12.4. Вычислите интеграл

доказав предварительно его независимость от пути интегрирования.

12.5. Используя формулу Стокса, найдите циркуляцию векторного поля

13. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

В векторном анализе используются три основных операции: вычисление градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля. Эти операции могут быть выполнены с помощью символьного

Решите самостоятельно

, где

, доказав предварительно его

вдоль линии

ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

оператора  (набла).

Определение 13.1. Оператором Гамильтона  называется символьный оператор-вектор, координатами которого являются операторы взятия

частных производных =

Следует помнить, что оператор Гамильтона не является обычным вектором. Оператор  не имеет ни длины, ни направления, не имеет смысла понятие коллинеарности и ортогональности  и любого другого вектора, нарушается свойство коммутативности скалярного произведения:

(,

осторожно, проверяя полученные с его помощью результаты точным аналитическим расчетом. Запись u надо понимать как результат действия оператора  на функцию

) и так далее. Это означает, что оператор  надо применять



, то есть

kzyxRjzyxQizyxPF ),,(),,(),,( 

Fdiv

iu 











)

Frot

RQP

zyx

kji

F 





 constu

0u

 constc

 )GF

)F

 )( GF

 F



 

uv

FrotFdivugrad ,,

,divgragu rot gradu

,,gragdivF divrotF rotrotF

ugraddiv

uu )

ugragrot

0u

Frotdiv

)F

0u

Frotrot

FFdivgradF  )

2 2 2

x y z

  

    

  

zyyxu



ugraddiv

     













 kzyyxjzyyxizyyxugrad

zyx

333333

 

kyjzyxiyx

3232

33 

 

yzxyyzyxyxugraddiv

66)(3)3(

3232















Аналогично для векторного поля скалярное произведение

(,

а векторное произведение



Отметим простейшие свойства оператора Гамильтона.

1. Если

2. Если

3. (,

4. 

5. Для скалярных полей u и v справедлива формула 

постоянное скалярное поле, то 

постоянное векторное поле, то (,c)=0, c=0.

(,



(,)G.



u+uv.

Операции: операциями первого порядка, поскольку для их реализации оператор

Гамильтона используется один раз. Дифференциальными операциями второго порядка называются операции, в которых оператор Гамильтона используется дважды. В векторном анализе существует пять дифференциальных операций второго порядка:

. Можно доказать, что:

   

В этих формулах

Пример 13.1. Для скалярного поля

Решение. Находим:

(, 

(, (

;

называются дифференциальными

оператор Лапласа.

найдите















zzyyxx

zyyxzyyxzyyxuugraddiv )()()(

333333

yzxyyzyxyx

zyx

66)()3()3(

3232















yzxy 66 

kxyzjzxyiyzxF

333



Fdivgraddiv

Fdivgradrot

     

222333

333 xyzzxyyzxxyzzxyyzxFdiv

zyx















   

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

G grad divF i x yz xy z xyz j x yz xy z xyz



       

   

2 2 2 2 2

3 3 3 6 3 3

k x yz xy z xyz i xyz y z yz



      

   

2 2 2 2

3 6 3 3 3 6j x z xyz xz k x y xy xyz     

   

2 2 2 2

6 3 3 3 6 3

divG xyz y z yz x z xyz xz



      

 

3 3 6

x y xy xyz



   

 

yzxzxyxyxzyz  6666

           



 



 













 



 













 



 











yzzyxyzxzxyzzxk

xyzxyyxyzzyxyzj

xzxyzzxxyzxyyxiGrot

2222

336363

633336

363633

   

2 2 2 2

3 6 6 3 6 6 6 3 6 6 3 6i x xy xz x xy xz j xy y yz xy y yz            

 

6 6 3 6 6 3 0k xz yz z xz yz z      

 

0,6 yzxzxy 

 

222

zyxgraddiv 

F 

Fdivgrad

 

kjizyxF 

222

Frotrot

Замечание. Эту задачу можно решить иначе.

Ответ:

Пример 13.2. Для векторного поля

Решение. Находим

Значит,

Находим

найдите

Ответ:

13.1. Найдите

13.2. Для векторного поля

13.3. Для векторного поля

Решите самостоятельно

найдите

 Fr

kzjyixr 

 

kjirF 

)( Frdiv 

 

rcdiv 

 

rcrot 

 rc

kjic 22 

kzjyixr 

Fdivgradrot

kxzjzyiyxF lnlnln 

     

kzxzjyzyixyxF

232323



Fdivgraddiv

Fdivgradrot

xyzvzyxu  ,

 

vgradudiv

 

ugradvdiv

 

MFF 

ugradF 

 

Muu 

 

MFF 

0Frot

 

u M Fdl c





13.4. Зная, что

13.5. Найдите

векторов

13.6. Найдите

13.7. Для векторного поля

найдите

13.8. Для скалярных полей

14. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

Определение 14.1. Векторное поле

потенциальным, если оно порождается градиентом некоторого скалярного поля, то есть

векторное произведение полей

, найдите

, если

. Скалярное поле

векторное произведение

найдите

называется

потенциалом потенциального векторного поля. Отметим свойства потенциального векторного поля.

1. Потенциал потенциального векторного поля определяется с точностью

до постоянного слагаемого.

2. Векторное поле

оно безвихревое, то есть когда

3. В потенциальном векторном поле циркуляция поля по любому

замкнутому контуру равна нулю.

4. В потенциальном векторном поле линейный интеграл не зависит от

линии интегрирования. Он равен разности значений потенциала поля в конечной и начальной точке интегрирования.

5. Векторные линии потенциального векторного поля незамкнуты.

6. В потенциальном векторном поле векторные линии перпендикулярны

поверхностям уровня потенциала.

Потенциал потенциального векторного поля находят по формуле

потенциально тогда и только тогда, когда

, (14.1)

где c произвольная константа, в которой векторное поле определено. Поскольку согласно свойству 4

линейный интеграл не зависит от пути интегрирования, можно интегрировать по любой линии, соединяющей точки

произвольная фиксированная точка,

. Обычно

 

MFF 

0Fdiv

 

MFF 

 

F rotG M

 

MFF 

0,0  FrotFdiv

 

MFF 

 

Muu 

0u

 

Muu 













   

 jxzyiyzxF 22

 

2z xy k

       

2 2 2 2

y z x z

rotF i z xy y xz j z xy x yz

   

   

        

       

   

     

022222222



 



 









 zzkyyjxxiyzxxzyk

 

0,0,0

в качестве линии интегрирования выбирают ломаную со звеньями, параллельными координатным осям.

Определение 14.2. Векторное поле

соленоидальным, если Отметим свойства соленоидального векторного поля.

1. Соленоидальное векторное поле не имеет ни источников, ни стоков.

2. В соленоидальном векторном поле поток через любую замкнутую

поверхность равен нулю.

3. В соленоидальном векторном поле поток через любое сечение

векторной трубки остается постоянным.

4. В соленоидальном векторном поле векторные линии не могут

начинаться или заканчиваться во внутренних точках поля.

5. Векторное поле

оно порождено ротором другого поля, то есть

Определение 14.3. Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно потенциально и соленоидально. Отметим свойства гармонического векторного поля.

1. Если

2. Если

– гармоническое векторное поле, то

– гармоническое векторное поле, то существует

во всех точках поля.

соленоидально тогда и только тогда, когда

называется

скалярное поле

Определение 14.4. Скалярное поле

уравнению Лапласа

скалярным полем.

Пример 14.1. Докажите, что векторное поле

потенциал.

Решение. Найдем ротор векторного поля.

Векторное поле безвихревое, значит, оно потенциальное. Потенциал поля находим по формуле (14.1). В качестве начальной точки выбираем

и интегрируем по ломаной со звеньями, параллельными

(являющееся его потенциалом) такое, что

, удовлетворяющее

, называется гармоническим

потенциально и найдите его

координатным осям.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.2026405 Кб0Векторная алгебра. Краткий курс лекций. Учебное пособие-1.pdf
#
09.08.2026405 Кб0Векторная алгебра. Краткий курс лекций. Учебное пособие.pdf
#
06.09.2026547 Кб0Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика»-1.pdf
#
11.08.2026547 Кб0Векторная алгебра. Учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика».pdf
#
06.09.20261 Мб0Векторная алгебра. Учебное пособие.pdf
#
07.09.20262 Мб0Векторный анализ. Учебно-методическое пособие.pdf
#
06.09.20261 Мб0Великая легкость. Очерки культурного движения.pdf
#
07.09.20262 Мб0Великая русская революция глазами интеллектуалов. Хрестоматия.pdf
#
06.09.20261 Мб0Великие книги великих людей. Том 1. Афоризмы житейской мудрости.pdf
#
07.09.20262 Мб0Великие ученые и изобретатели = Great Scientists and Inventors. Учебное пособие.pdf
#
12.08.20261 Мб0Великий розенкрейцер.pdf