Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторный анализ. Учебно-методическое пособие
.pdf
R
H
arctg
R
y
R
R
z
arctg
R
yR
Rdy
zR
dz
R
R
H
H R
R
2|arcsin|
2
2
0
0
22
22
R
H
arctg
2
dxy
42 zyx
0,0,0 zyx
dyx
22
1
222
zyx
dyx
22
10,0
222
zzyx
1222zyx
d
zyx 222
12 z
4222 zyx
0z
22
9 yxz
422 yx
ABC
0,2,0),0,0,2( BA
)2,0,0(C
24C
8,0,0,0,1,0,0,0,2 CBA
22
yxz
xyx 222
Oz
0,0,02 zyxzyx
0
m
)0(4
222
zzyx
0
m
Oz
)0(9
222
zzyx
0
m
Ответ:
6.1 Вычислите
отсеченная плоскостями
6.2 Вычислите
6.3 Вычислите
6.4 Вычислите
.
.
Решите самостоятельно
, где
часть плоскости
,
.
, где
где
сфера
.
боковая поверхность конуса
.
где
часть параболоида
, отсеченная плоскостью
6.5 Найдите площадь части параболоида
плоскостью
.
6.6 Найдите площадь части поверхности
цилиндром
6.7 Найдите массу треугольника
.
с вершинами
.
, отсеченной
, вырезанной
,
, если его поверхностная плотность в каждой точке
пропорциональна аппликате точки и
.
6.8 Найдите координаты центра масс однородной треугольной пластины
с вершинами в точках
.
6.9 Найдите координаты центра масс однородной поверхности
, вырезанной цилиндром
6.10 Найдите момент инерции относительно оси
треугольной пластины
.
однородной
массой
.
6.11 Найдите момент инерции относительно начала координат
однородной полусферы
6.12 Найдите момент инерции относительно оси
полусферы
массой
.
однородной
массой
31
.
M
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
12
, ,...,
n
xOy
12
, ,...,
n
S S S
n
M
Рис. 7.2
Рис. 7.1
7. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Рассмотрим гладкую незамкнутую поверхность
, ограниченную
контуром . В некоторой точке M поверхности построим нормаль n к
поверхности. Через точку
проведем контур , не имеющий общих
точек с границей (см. рис. 7.1). При обходе нормалью n контура
возможны два варианта:
при возвращении в точку M по любому контуру нормаль не изменит
своего направления;
существует хотя бы один контур , при возвращении по которому в
точку M нормаль изменит свое направление на противоположное.
В первом случае поверхность называется двусторонней, во втором случае –
односторонней. Классическим примером односторонней поверхности
является лист Мебиуса (см. рис. 7.2). В дальнейшем мы будем
рассматривать только двусторонние поверхности.
направление нормали к поверхности. Ту сторону поверхности , которая
видна с конца вектора нормали, будем считать положительно
ориентированной и обозначать
считается отрицательно ориентированной и обозначается
нутой поверхности ее внешняя сторона обычно считается положительно
ориентированной, а внутренняя – отрицательно ориентированной.
заданы три функции
разобьем произвольным образом на элементарные части
Это разбиение спроектируем на плоскость
обозначим соответственно через
Двустороннюю поверхность можно ориентировать, указав
; сторона, противоположная ей,
. Для замк-
Предположим, что на ориентированной нормалью n поверхности
. Поверхность
и площади проекций
(см. рис. 7.3).
32
.
12
, ,...,
n
n
MMM ,...,,
21
),,( zyxR
12
( ), ( ),..., ( )
n
R M R M R M
n
k
kk
SMR
1
)(
k
S
k
M
Oz
)(
k
diam
yx,
dxdyzyxR ),,(
dxdzzyxQ ),,(
dydzzyxP ),,(
xOz
yOz
RdxdyQdxdzPdydz
M
n
O
Рис. 7.3
z
x
y
k
kxOy
пр
На каждой элементарной части
которые обозначим соответственно через
значение функции
в этих точках:
Составим интегральную сумму
, причем перед
выберем по точке,
, и вычислим
знак
«плюс» выбирается в случае острого угла между нормалью к поверхности
в точке
и осью
, знак «минус» выбирается в случае тупого угла
(см. рис. 7.3). Увеличиваем число частей, на которые разбивается
поверхность так, чтобы размеры всех элементарных частей
стремились бы к нулю. Если при этом предел интегральных сумм
существует, то этот предел называется поверхностным интегралом по
координатам
и обозначается символом
.
Аналогично строятся поверхностные интегралы
путем проектирования разбиения поверхности
и
на
.
координатные плоскости
интегралов называют поверхностным интегралом второго рода и
обозначают
и
соответственно. Сумму всех этих
. Таким образом,
33
( , , )
( , , ) ( , , ) .
Pdydz Qdxdz Rdxdy P x y z dydz
Q x y z dxdz R x y z dxdy
Oz
0),,(
dxdyzyxR
0),,(
dxdzzyxQ
Oy
Ox
0),,(
dydzzyxP
dxnzyxPdydzzyxP ),cos),,(),,(
dynzyxQdxdzzyxQ ),cos(),,(),,(
dznzyxRdxdyzyxR ),cos(),,(),,(
),cos(),,cos(),,cos( znynxn
xOy
),( yxz
( , , )R x y z
( , , ) ( , , ( , ))
xy
D
R x y z dxdy R x y x y dxdy
Перечислим свойства поверхностного интеграла второго рода.
1. При смене стороны поверхности интегрирования поверхностный
интеграл второго рода меняет знак на противоположный.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
3. Поверхностный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме
(разности) интегралов от этих функций.
4. Если поверхность разбита на части, то интеграл по всей поверхности
равен сумме интегралов по ее частям. В частности, если поверхность
кусочно-гладкая, то можно найти интеграл по каждой ее гладкой
части, а потом все найденные интегралы сложить.
5. Если
цилиндрическая поверхность, образующая которой
параллельна оси
, то
. Аналогично
, если образующая цилиндрическая поверхности
параллельна оси
поверхности параллельна оси
. Если же образующая цилиндрическая
, то
.
6. Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны формулами
где
направляющие косинусы вектора нормали
,
,
,
к поверхности .
Поверхностный интеграл второго рода вычисляется с помощью
двойного интеграла на основании следующей теоремы.
Теорема 7.1. Пусть гладкая поверхность однозначно проектируется
на плоскость
и имеет уравнение
, а подынтегральная
функция
непрерывна или кусочно-непрерывна на поверхности
. Тогда поверхностный интеграл существует и вычисляется по формуле
34
(7.1)
xy
D
xOy
xz
D
xOz
),( zxy
dxd zzzxxQdxdzzyxQ
xz
D
))),,(,(),,(
yz
D
yOz
),( zyx
dydzzzyxQdydzzyxP
yz
D
))),,(,(),,(
dxdyz
2
4 xz
0,3,0 zyy
xOy
2
4 xz
dxdyxdxdyz
D
2
4
Oz
234
2
2
3
0
2
dyxdxdxdyz
n
O
x
y
z
Рис. 7.4
2
2
3
x
O
y
Рис. 7.5
D
где
проекция поверхности на плоскость
. Знак «плюс»
берется в случае, когда нормаль к поверхности образует острый угол с
осью Oz; знак «минус» – в случае, когда нормаль образует тупой угол.
Замечание. Если поверхность
область
в плоскости
и имеет уравнение
Если же поверхность однозначно проектируется на область
плоскости
и имеет уравнение
Пример 7.1. Вычислите
поверхности
, отсеченная плоскостями
однозначно проектируется на
, то
. (7.2)
в
, то
. (7.3)
, где
верхняя сторона
.
Решение. Строим поверхность (см. рис. 7.4) и ее проекцию D на
координатную плоскость
(см. рис. 7.5).
На поверхности имеем
«+», потому что нормаль n к поверхности образует острый угол с осью
(см. рис. 7.4). Двойной интеграл заменяем повторным и получаем (см.
рис. 7.5)
Ответ: 32.
, поэтому согласно теореме 7.1
. При этом двойной интеграл берется со знаком
.
35
dydzzyx
22
922 yx
4,0 zz
yOz
yOz
1
2
9 yx
2
2
9 yx
1
2
dydzzyydydzzyx
D
22222
9
1
1
Ox
dydzzyydydzzyx
D
22222
9
2
2
Ox
3
3
2
4
0
2
3
3
222
989292 dyydzydydydzydydzzyx
D
ty sin3
362cos1
2
1
72cos98
2/
2/
2/
2/
222
dtttdtdydzzyx
36
3
4
O
z
y
x
Рис. 7.6
3
3 4 O
z
y
Рис. 7.7
D
Пример 7.2. Вычислите
цилиндра
, отсеченная плоскостями
, где
внешняя сторона
.
Решение. Строим поверхность (см. рис. 7.6) и ее проекцию D на
координатную плоскость
(см. рис. 7.7). При проектировании на
поверхность следует разбить на две
части: «переднюю»
уравнением
с уравнением
.
и «заднюю»
Исходный поверхностный интеграл представим в виде суммы
с
интегралов по поверхностям
и
повторному по формуле (7.3). При этом
поскольку на поверхности
нормаль образует острый угол с осью
поскольку на поверхности
нормаль образует тупой угол с осью
Следовательно,
Сделав в последнем интеграле замену
Ответ:
.
, и каждый интеграл сводим к
,
, и
,
.
.
, получим
.
36
2 2 2
z dxdy y dzdx x dydz
022 yx
3z
Ox
xOz
1
D
yOz
2
D
xOy
0
2
dxdyz
xy 22
1
1 3 1
2 2 2
2
0 0 0
2 2 2 2 3 2 2 4
D
y dzdx x dzdx dx x dz x dx
2
1
y
x
2
2
13
2
1
2
1
2
2
0
2
0
2
0
222
2
D
dy
y
dz
y
dydydz
y
dydzx
6240
222
dydzxdxdzydxdyz
y
1
2
z
3
x
O
Рис. 7.8
x
1
z
3
O
Рис. 7.9
1
D
y
2
z
3
O
Рис. 7.10
2
D
Пример 7.3. Вычислите
плоскости
плоскостью
. Поверхность ориентирована нормалью, которая
образует острые углы с координатными осями
, лежащая в первом октанте и обрезанная
и Oy.
Решение. На рис. 7.8 изображена поверхность
изображена проекция на координатную плоскость
через
; на рис. 7.10 изображена проекция на координатную плоскость
, обозначенная через
.
, где
часть
; на рис. 7.9
, обозначенная
Так как поверхность
цилиндр, образующая которого
перпендикулярна координатной плоскости
на поверхности имеем
Так как на поверхности имеем
, то согласно формуле (7.2)
, то согласно формуле (7.3)
Поэтому
Ответ: 6.
, то
. Так как
.
.
.
37
dxdyz
22
yxz
4z
dxdyyxz
222
2
2
222
zyx
22
yxz
dxdyzyx
222
2222
8 yxzyx
dydzx
022 xzy
9x
xydxdy yzdydz xzdzdx
1,0,0,0 zyxzyx
G
GM
)(MFF
kji ,,
kzyxRjzyxQizyxPMF ),,(),,(),,()(
zyx ,,
M
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
ji,
Решите самостоятельно
7.1. Вычислите
7.2. Вычислите
сферы
7.3. Вычислите
поверхности тела
7.4. Вычислите
7.5. Вычислите
поверхности тетраэдра
, где
, отсеченная плоскостью
, вырезанной конусом
, где
, отсеченная плоскостью
верхняя сторона поверхности
, где
, где
внешняя сторона поверхности
.
внешняя сторона части
.
внешняя сторона
.
.
, где
внешняя сторона
.
8. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ
Определение 8.1. Пусть
пространстве. Говорят, что в области G задано векторное поле, если
каждой точке
В этом случае пишут
Примерами векторных полей могут служить гравитационное поле,
поле скоростей текущей жидкости, электрическое, электромагнитное поле
и другие.
Если в пространстве выбрана декартова система координат с базисом
, то каждый вектор векторного поля можно разложить по базису
где
поле порождает три скалярных поля
являющихся декартовыми координатами векторного поля.
Определение 8.2. Векторное поле называется плоским, если все
векторы поля параллельны одной и той же плоскости.
Если на этой плоскости выбрать декартову систему координат с
декартовы координаты точки
поставлен в соответствие единственный вектор F.
.
некоторая область в трехмерном
,
. Таким образом, векторное
,
базисом
, то все векторы поля будут зависеть только от двух
38
jyxQiyxPMF ),(),()(
)(MFF
M
)(MF
kzyxRjzyxQizyxPMF ),,(),,(),,()(
),,(),,(),,( zyxR
dz
zyxQ
dy
zyxP
dx
),(),,( yxPzyxP
),(),,( yxQzyxQ
0),,( zyxR
),(
),(
yxP
yxQ
dx
dy
constz
G
( , , ), ( , , )P x y z Q x y z
( , , )R x y z
G
0
I
Oz
M
r
0
I
y
z
x
O
H
Рис. 8.2
1
M
2
M
3
M
1
F
2
F
3
F
Рис. 8.1
переменных x и y, и тогда мы можем плоское векторное поле представить
в виде
.
Определение 8.3. Векторной линией векторного поля
называется линия, в каждой точке
совпадает с вектором
.
которой направление касательной
В частности, векторными линиями в поле скоростей текущей
жидкости являются линии тока, в электромагнитном поле – силовые
линии. Пример векторной линии изображен на рис. 8.1.
Пусть
замкнутая линия, не
совпадающая с векторной линией векторного
поля. Через каждую точку линии проведем
векторную линию. Множество таких
векторных линий называется векторной
трубкой. Для векторного поля
векторные линии описываются системой дифференциальных уравнений
. (8.1)
Если векторное поле плоское, то при подходящем выборе системы
координат будут выполнены условия
,
. Тогда вместо системы (8.1) будем иметь уравнение
Известно, что если в области
с условием
функции
. (8.2)
непрерывны, имеют непрерывные частные производные первого
порядка и не обращаются в 0, то через каждую
точку области
проходит единственная
векторная линия. Это означает, что векторные
линии не пересекаются и не касаются друг друга.
Пример 8.1. Через прямолинейный
проводник очень большой длины протекает
электрический ток силой
. Найдите векторные
линии магнитного поля, порожденного этим
током.
Решение. В качестве координатной оси
выберем ось, направленную по направлению
тока. Из курса физики известно, что векторы
,
,
39
Oz
M
rkI
r
MH
0
2
2
)(
r
r
k
Oz
rk
jxiy
zyx
kji
rk 100
j
zyx
x
Ii
zyx
y
IMH
222
0
222
0
22)(
222
0
222
0
2:2
zyx
y
I
zyx
x
I
dx
dy
y
x
dx
dy
cyx
22
,
,
1
22
cz
cyx
1
,cc
1
22
, czcyx
kyxjzizF
4,2,2
0
M
yx
dz
z
dy
z
dx
yx
dz
z
dx
z
dy
z
dx
,
dydx
напряженности образуют плоское поле, перпендикулярное оси
(см. рис. 8.2). При этом вектор напряженности в тачке
находится по
формуле
,
где
радиус-вектор точки M,
,
векторное произведение векторов k и r. Так как
его длина,
орт координатной оси
,
то векторное поле напряженности имеет вид
.
Поэтому согласно формуле (8.2) векторные линии поля описываются
дифференциальным уравнением
,
то есть уравнением
. Это дифференциальное уравнение решаем
как уравнение с разделяющимися переменными и получаем решение
. Таким образом, векторные линии в пространстве образуют
двухпараметрическое семейство концентрических окружностей с центрами
на оси проводника:
Ответ:
.
где
произвольные константы.
Пример 8.2. Найдите векторную линию поля
проходящую через точку
.
Решение. Согласно формуле (8.1) векторные линии поля описываются
дифференциальной системой
, которую распишем на два
,
отдельных уравнения
. Из первого уравнения следует
40
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]