Векторная алгебра. Краткий курс лекций. Учебное пособие

Оглавление

3

Введение

Векторы в математике появились в 40–х годах XIX столетия в независимых друг от друга работах немецкого математика, физика и филолога Германа Гроссмана и ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Широко используется в разделах физики и механики, в кристаллографии, геодезии. В математике есть целые классы задач, решение которых облегчает (или является единственным) векторный метод.

В пособии изложены основные понятия, теоремы и утверждения с доказательствами. Сразу после введенных понятий, свойств и теорем для усвоения материала предлагается решить самостоятельно простые задачи. В отдельный параграф вынесены дополнительные задачи, имеющие в своем решении более одного логического шага.

Автор пособия ставит перед собой задачу привести краткий курс по теме и, возможно, освободить студентов от написания лекций. Кроме того, каждый рассмотренный теоретический вопрос экзамена вынесен в оглавление, что избавляет от пролистывания пособия в поисках нужного материала.

Краткий курс лекций по векторной алгебре предназначен для студентов, обучающихся по направлениям 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», 27.03.04 «Управление в технических системах», изучающих курс дисциплины «Математика».

4

1. Основные понятия

Н а п р а в л е н н ы м о т р е з к о м называется отрезок АВ, у которого указано, какая из точек А и В — начало и конец. Обозначается ̅̅̅̅, где точка А — начало, В — конец. Два направленных отрезка ̅̅̅̅ и ̅̅̅̅ являются с о н а п р а в - л е н н ы м и , если отрезки лежат на параллельных прямых и одинаково направ-

резков равны и вектора являются сонаправленными.

В е к т о р о м (свободным вектором) называется множество всех равных между собой направленных отрезков. Векторы обозначаются ̅ или . О каждом направленном отрезке ̅̅̅̅ из ̅ говорят как о представителе вектора ̅ или как

овекторе ̅, начало которого отнесено в точку А, и записывают ̅ = ̅̅̅̅.

Мо д у л е м в е к т о р а ̅ = ̅̅̅̅ называется длина отрезка АВ. Обозначается

|̅| или а.

Вектор ̅̅̅̅, у которого начало и конец совпадают, называется н у л е в ы м ,

̅̅̅̅ = 0̅.

2. Линейные операции над векторами

̅ ̅: ̅ + ̅= 0

(вектор ̅называется п р о т и в о п о л о ж н ы м к вектору ̅ и обозначается −̅).

вектор = ̅ − такой, что + = ̅.

5

Умножение вектора на число. П р о и з в е д е н и е м в е к т о р а н а ч и с л о α

называется вектор ̅ , определяемый условиями:

= ̅

1. | ̅| = | | ∙ |̅|, т. е. длина вектора увеличивается (уменьшается) в α раз. 2. ̅ ↑↑ ̅, если 0 (направление не меняется)

и ̅ ↑↓ ̅, если 0 , (направление меняется). Свойства умножения вектора на число:

1 ∙ = .

Если вектор разделить на его длину, то мы получим вектор единичной длины̅= ̅ |1̅|, | ̅| = 1, называемый о р т о м .

Тогда любой вектор представим ̅ = |̅| ∙ ̅= ̅

3. Критерий коллинеарности векторов

6

( ) Обратное выполнено, т. к. ̅ по определению умножения вектора

̅ =

на число означает, что векторы отличаются длиной и направлением.

4. Компланарные вектора

Три ненулевых вектора называются к о м п л а н а р н ы м и , если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости.

Теорема 2. Если один из векторов представим через два других:

̅= ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ по определению сложения векторов (по правилу параллелограмма или треугольника), эти векторы, будучи перенесены в общее начало, лежат в одной плоскости, т. е. компланарны.

5. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Ненулевые векторы и ̅ называются о р т о г о н а л ь н ы м и , если лежат

̅

на перпендикулярных прямых. Обозначается ̅.

̅

Введем на плоскости векторы ̅и ̅такие, что

1)модули векторов равны единице (являются ортами);

2)векторы ортогональны ̅ ;̅

3)будучи отнесены к общему началу, кратчайший поворот от ̅к ̅осуществля-

ется против часовой стрелки.

Теорема 3. Любой вектор плоскости ̅ можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов ̅и ,̅т. е. существуют числа x, y

такие, что ̅ = ̅+ .̅

Доказательство: приведем векторы ̅, ,̅̅к общему началу О. Строим век-

торы ̅̅̅̅, ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ согласно рисунку 2.

По правилу параллелограмма получим

̅ = ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅.

Согласно критерию коллинеарности существуют x, y: ̅̅̅̅ = ̅и ̅̅̅̅ = .̅

Тогда ̅ = ̅+ .̅

7

гично предполагаем ≠ ′ и получаем противоречие. Итак, коэффициенты представления вектора ̅ единственны.

Назовем векторы ̅и ̅б а з и с о м д е к а р т о в о й п р я м о у г о л ь н о й с и - с т е м ы к о о р д и н а т : { ,̅}̅.

Отнесем базис { ,̅}̅в некоторую точку О плоскости. Точка О и прямые Ох и Оy c направлениями ̅и ̅соответственно задают декартову прямоугольную систему координат. Если — произвольная точка, то радиус–вектор ̅̅̅̅̅ единственным способом можно разложить по базису { ,̅}̅: ̅̅̅̅̅ = ̅+ ̅(согласно теореме 3).

Числа x и y называются д е к а р т о в ы м и п р я м о у г о л ь н ы м и к о о р д и - н а т а м и точки М в декартовой системе координат ОXY (их абсолютные величины равны длинам проекций вектора ̅̅̅̅̅ на соответствующие оси).

Таким образом, каждой точке плоскости с фиксированной системой координат мы сопоставляем единственную пару чисел (x, y).

6. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве

Введем векторы ,̅ ̅и ̅ в пространстве такие, что

1)их модули равны единице;

2)векторы попарно ортогональны;

3)будучи отнесены к общему началу, кратчайший поворот от ̅к ̅осуществля-

ется против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора ̅.

Теорема 4. В пространстве каждый вектор ̅ можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов ,̅ ̅и ̅, т. е. существуют числа x, y, z такие, что ̅ = ̅+ ̅+ ̅. Приведена без доказательства.

8

Тогда назовем векторы ,̅ ̅и ̅ б а з и с о м д е к а р т о в о й п р я м о у г о л ь - н о й с и с т е м ы к о о р д и н а т в п р о с т р а н с т в е : { ,̅,̅̅ }.

Отнесем базис { ,̅ ̅, ̅} в некоторую точку пространства. Прямые OX,

т о в ы м и п р я м о у г о л ь н ы м и к о о р д и н а т а м и точки в декартовой системе координат ОXYZ.

Таким образом, каждой точке пространства с фиксированной системой координат мы сопоставляем единственную тройку чисел (x, y, z).

7. Координаты вектора

Пусть даны точки ( 1, 1, 1) и ( 2, 2, 2).

Найти координаты вектора ̅̅̅̅.

Согласно определению координат точек имеем:

̅̅̅̅ = 1 ̅+ 1 ̅+ 1 ̅;

̅̅̅̅ = 2 ̅+ 2 ̅+ 2 ̅.

Пусть ̅̅̅̅ = ̅+ ̅+ ̅. Из определения разности векторов

̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ − ̅̅̅̅

или через координаты ̅̅̅̅ = ( 2 − 1) ̅+ ( 2 − 1) ̅+ ( 2 − 1)̅.

Пример. Вычислить координаты вектора ̅̅̅̅, если (2, −1, 3) и (5, 2, 4).

8. Действия над векторами, заданными в координатной форме

Тогда рассмотренные выше линейные операции над векторами можно переписать:

9

9. Критерий коллинеарности в координатной форме

Пусть даны векторы в координатной форме:

Пример. Проверить коллинеарность векторов ̅̅̅̅ и ̅̅̅̅, если (2, 1, −2),(4, −2, 3), (2, −2, 8) и (−2, 4, −2). Установить, какой из векторов длиннее, во сколько раз; проверить сонаправленность (см. теорема 1).

10. Скалярное произведение векторов и его свойства

Угол между векторами определяют: векторы относят к общему началу О и у г о л м е ж д у в е к т о р а м и — это внутренний угол треугольника с вершинами в точке О и в концах векторов при вершине О.

С к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м двух векторов и ̅ называется число,

̅