Векторная алгебра. Краткий курс лекций. Учебное пособие

2.

̅

̅

̅( + с̅) = ̅ + ̅с̅;

̅

̅

̅

3. ( ̅) = ̅( ) =

(̅ ).

̅

̅

Пример. Вычислить скалярное произведение векторов 3̅ − 2 и 2̅ − ,

̅

̅

Если ненулевые векторы ̅ и

ортогональны, тогда |̅|, | | 0 и угол между

̅

̅

ними = 90° = 0 ̅ =

|̅|| | = 0.

Доказана теорема

(критерий ортогональности

в

векторной

форме):

̅

̅

̅

̅

(для |̅|, | | 0)

̅ = 0.

̅

̅

̅

тогда из свойств скаляр-

Пусть ̅ = 1 ̅+ 1 ̅+ 1

и = 2 ̅+ 2 ̅+ 2 ,

̅

+ 1 2 — с к а л я р -

ного произведения и равенств (*) следует: ̅ = 1 2 + 1 2

н о е п р о и з в е д е н и е в к о о р д и н а т н о й ф о р м е .

Тогда к р и т е р и й

о р т о г о н а л ь н о с т и в к о о р д и н а т н о й

ф о р м е

̅

̅

+ 1 2 = 0.

̅ (для |̅|, | | 0) 1 2 + 1 2

нии работы , которую совершает сила ̅

при перемещении ̅материальной

точки: = ̅ ̅.

Примеры.

1.

Найти скалярное произведение векторов

̅

̅

̅

̅ = 5 ̅− 3 ̅+ 4

и = 2 ̅+ 4 ̅+ .

2.

Проверить ортогональность векторов

̅

̅

̅

̅ = 2 ̅− 5 ̅+ 2 и = 7 ̅+ 4 ̅+ 3 .

Тогда |̅|2 = 2 + 2 + 2

и |̅| = √ 2 + 2 + 2 .

Если принять

̅

и

̅

̅+ 2 ̅+ 2

̅

где

— угол

̅ = 1 ̅+ 1 ̅+ 1

= 2

,

̅

между векторами ̅ и , тогда из определения скалярного произведения выражаем

̅

=

̅

или

̅

| ̅|| |

=

1 2+ 1 2+ 1 2

.

√

√

2+ 2+ 2

2+

2+ 2

1

1

1

2

2

2

Используем обозначения пункта 13; проекция вектора ̅ на вектор

̅

по определению косинуса равна

̅

пр̅ ̅ = |̅| ∙ cos = |̅| ∙

̅

.

̅

| ̅|| |

̅

Доказано: пр̅ ̅ =

̅

— проекция вектора ̅

на заданное направление.

̅

| |

̅

тор, обозначаемый ̅ × и определяемый условиями (рис. 4):

̅

̅

̅

1. модуль вектора ̅ ×

равен |̅ × | = |̅|| | sin , где — угол между век-

торами;

̅

̅

2. вектор ̅ × ортогонален каждому из векторов ̅ и ;

̅

̅

3. тройка векторов ̅, , ̅ × образует правую тройку, т. при приведении к об-

̅

щему началу, кратчайший поворот от ̅ к , наблюдаемый из конца вектора

̅

̅

̅ × = −( × ̅);

̅

̅

̅ × ( + ̅) = ̅ × + ̅ × ̅;

̅

̅

̅

× = × = ( × ).

̅

̅

̅

̅

Пример. Вычислить модуль векторного произведения векторов 3̅ − 2

̅

̅

и 2̅ + , где ̅

и взаимно ортогональны, единичной длины вектора.

̅× ̅= ̅, ̅× ̅ = ,̅̅ × ̅= ,̅

Так,

(**)

̅× ̅= −̅, ̅ × ̅= − ,̅ ̅× ̅ = − .̅

̅

̅

Пусть ненулевые векторы ̅ и коллинеарны

|̅| 0, | | 0 и угол между

̅

̅

̅

ними =0° или =180° sin = 0 |̅ × | = |̅|| | sin = 0

̅ × = 0.

Итак, доказана теорема (критерий коллинеарности):

̅

̅

̅

̅|| и |̅| 0, | | 0

̅ × = 0.

Тогда добавим, что ̅× ̅= ̅× ̅= ̅ × ̅ = 0

(***)

Из свойств и равенств (**) и (***) следует: если дано

̅

̅

̅

̅ = 1 ̅+ 1 ̅+ 1 ;

= 2 ̅+ 2 ̅+ 2 ,

тогда

̅

̅

̅

̅ × =( 1 ̅+ 1

̅+ 1 ) × ( 2 ̅+ 2 ̅+ 2

) =

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× ̅ + ̅× ̅+ ̅× ̅ + ̅× ̅ +

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

+ 1 ̅× 2 ̅+ 1 ̅× 2 ̅+ 1 ̅× 2 =̅

= ( − ) ̅+

( −

) ̅+ ( −

)̅ =

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

̅

̅

̅

̅

= |

| ̅+ |

| ̅+ |

|.

2

2

2

2

2

2

| = |

1

1

1

2

2

2

̅

̅

̅ ̅

1

1| — в е к т о р н о е п р о и з в е д е н и е в к о -

Доказано: ̅ × = | 1

2

2

2

̅

̅

= sin = |̅|| | sin = |̅ × |.

1

̅

1

̅

Доказательство утверждения =

sin

=

|̅|| | sin =

|̅ × |.

2

2

2

Примеры.

1. Вычислить векторное произведение векторов

̅

̅

̅

̅ = 2 ̅− 5 ̅+ 2 и

= 7 ̅+ 4 ̅+ 3 .

2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

̅

̅

̅

̅ = 6 ̅+ 3 ̅− 2 и

= 3 ̅− 2 ̅+ 6 .

̅

назы-

С м е ш а н н ы м п р о и з в е д е н и е м трех ненулевых векторов ̅, , с̅

вается число, обозначаемое

̅

̅ с̅ и равное скалярному произведению вектора

̅

на вектор с̅, т. е.

̅ ×

̅

̅

̅ с̅ = (̅ × )с̅.

Пример. Вычислить смешанное произведение векторов

̅

̅

̅

̅

̅ = 3 ̅+ 2 ̅+ 5 ,

= 2 ̅− ̅+ 4 ,

с̅ = 4 ̅− 2 ̅− .

Утверждение 3. Модуль смешанного произведения

̅

равен объему V па-

̅ с̅

̅

раллелепипеда, построенного на исходящих из общей вершины О векторах, ̅, , с̅.

Доказательство: если запишем модуль смешанного произведения при по-

мощи скалярного произведения, то получим

̅

̅

̅

̅ с̅ = (̅ × )с̅ = |̅ × ||с̅| cos ,

где — угол между векторами

̅

и с̅;

̅ ×

̅

— площадь основания параллелепипеда (является параллело-

|̅ × | =

̅

̅

̅

= V;

̅с̅ = ( ̅ × )с̅ = |̅ × ||с̅| cos =

нии 3 легко вывести критерий компланарности трех векторов.

̅

ком-

Теорема (критерий компланарности). Ненулевые векторы ̅, , с̅

̅

планарны смешанное произведение ̅с̅ = 0.

̅

1

1

1

1

1

1

̅

̅ × =| 2

2

| ̅+ | 2

2

| ̅+ | 2

2

| .

̅

1

1

1

1

1

1

1

1

1

| 3

+ |

| 3

+ |

| 3=|

|.

̅с̅ = |

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

̅

1

1

1

|.

̅с̅ = |

2

2

2

3

3

3

Примеры.

1.

Вычислить смешанное произведение векторов

̅

̅

̅ = 3 ̅+ 2 ̅+ 5

и = 2 ̅−

̅+ 4̅, с̅ = 4 ̅− 2 ̅− ̅.

2.

̅ ̅

̅

̅

Компланарны ли векторы ̅ = 7 ̅+ 7 ̅+ 6 и = 2 ̅+ ̅+ , с̅ = 19 ̅+ 11 ̅+ 17 ?

Свойства смешанного произведения:

1.

̅

̅

̅

если переставлять в круговом порядке.

̅ с̅ = с̅̅ = с̅̅,

2.

Меняет знак при перестановке любых двух соседних векторов (например,

̅

̅

или

̅

̅

̅ с̅ = − ̅с̅

̅ с̅ = −̅с̅ ).

Свойства 1 и 2 легко следуют из свойств определителя.

3.

̅

̅ с̅>0, если тройка векторов правая;

̅

̅ с̅<0, если тройка векторов левая (см. утверждение 3).

4.

̅

̅

̅

( ̅1 + ̅2)( × с̅) = ̅1 с̅ + ̅2

с̅.

̅

̅

Пример. Вычислить смешанное произведение ̅(2 + с̅)(̅ + 2 + с̅).

1.

Вычислить

координаты

орта,

направленного противоположно

вектору

̅ = 4 ̅+ 4 ̅+ 2̅.

2.

̅

̅

Вычислить скалярное произведение векторов ̅ + 4 и 6̅ + 2 , если модули

̅

̅

векторов |̅| = 2, | | = 4, угол = (̅, ) = 3.

3.

Вычислить

̅

̅

̅

̅

(3̅ − 2 )(3̅ + ), если |̅| = 2, | | = 5, |̅ − | = 4.

4.

Проверить,

является ли параллелограммом?

(5, −1, −6),

(4, 1, −3),

(7, 5, −7),

(8, 3, −10).

5.

Принадлежат ли точки

одной

плоскости

(5, 4, 3),

(7, 6, 7),

(1, −1, 2),

(6, 5, 5)?

6.

̅

̅̅= 10,

Вычислить вектор ̅, для которого выполняются условия ̅ ̅, ̅ ,

̅

̅

̅

̅

где ̅ = 2 ̅− 3 ̅+ ,

= ̅− 2 ̅+ 3 , с̅ = 1 ̅+ 2 ̅− 7 .

7.

Вектор ̅,

коллинеарный вектору ̅ = 4 ̅− 2 ̅+ 2̅,

образует острый угол

с осью . Вычислить координаты вектора ̅, если

̅= 10√

6

.

|

|

8.

Вычислить

объем

тетраэдра,

образованного векторами ̅ = 3 ̅+ 2 ̅+ 5̅,

̅

̅

̅

= 2 ̅− ̅+ 4 , с̅ = 4 ̅− 2 ̅− .

Примечание:

=

1

.

тетраэдра

6

параллелепипеда

17

9.

Для задачи выше вычислить высоту, опущенную на основание, образованное

̅

векторами ̅ и .

Примечание:

=

1

.

тетраэдра

3

основания

10.

Выяснить, при каком значении

̅

будут компланарны, если

векторы ̅, , с̅

̅ ̅

̅

̅

̅ = 2 ̅+ ̅− , = 4 ̅− 2 ̅+ , с̅ = ̅− 3 ̅− 2 .

11.

Вычислить

работу

силы ̅ = −5 ̅+ 4 ̅+ 4̅,

приложенной к точке

(3, 7, −5), перемещающейся прямолинейно в точку (2, −4, 1).

12.

Вычислить

модуль

момента

силы ̅ = 5 ̅+ 4 ̅+ 11̅ относительно

(4, 2, −6).