Векторная алгебра. Учебное пособие

39

4)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

0a b c a b c a b c  +   +   =

;

5)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

0a b c a b c a b c        =

.

8. Если векторы

( )

1 2 3

;;a a a a=

и

( )

1 2 3

;;b b b b=

образуют угол,

равный , то скалярное произведение этих векторов находят по формуле:

1)

cosa b a b



 =  

2)

a b a b = 

3)

sina b a b



 =  

4)

1 1 2 2 3 3

a b a b a b a b =  +  + 

5)

( )

1 1 2 2 3 3

;;a b a b a b a b =   

.

9. Величину



угла между векторами

( )

1 2 3

;;a a a a=

и

( )

1 2 3

;;b b b b=

находят по формуле:

1)

cos

ab





=



2)

cos

ab





=



3)

( ) ( )

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

cos

a b a b a b

a a a b b b



 +  + 

=

+ +  + +

4)

sin

ab





=



5)

sin

ab





=



.

10. Если векторы aиbобразуют угол , то проекцию вектора

a

на вектор bнаходят по формуле:

1)

cos

b

пр a a=

40

2)

cos

b

пр a b=

3)

b

ab

пр a

b



=

4)

b

ab

пр a

a



=

5)

b

ab

пр a

b



=

.

11. Даны векторы

( )

1 2 3

;;a a a a=

и

( )

1 2 3

;;b b b b=

:

ВЕКТОРЫ

ПРИ УСЛОВИИ, ЧТО

1) коллинеарны

2) перпендикулярны

3) образуют острый угол

4) образуют тупой угол

а)

0ab

б)

0ab=

в)

1ab=

г)

1ab

д)

1 1 2 2 3 3

a b a b a b =  = 

е)

3

12

1 2 3

b

bb a a a

==

12.Умножение векторов

( )

1 2 3

;;a a a a=

,

( )

1 2 3

;;b b b b=

и

( )

1 2 3

;;c c c c=

ЗАДАЧА

ОТВЕТ

1) Площадь параллелограмма,

построенного на векторах

aи b

, равна

2) Площадь грани пирамиды,

построенной векторах a и c , равна

3) Объём параллелепипеда,

построенного на векторах a,

bиc

, равен

4) Объём пирамиды,

построенной векторах a, bи

c

, равен

а)

ab

б)

( )

1

,,

3

c a b

в)

( )

1

,,

6

c a b

г)

( )

,,c a b

д)

ab

е)

ac

ж)

1

2

ac

41

Укажите правильный вариант ответа:

13.Если векторы

( )

1 2 3

;;a a a a=

,

( )

1 2 3

;;b b b b=

и

( )

1 2 3

;;c c c c=

компланарны, то:

1)

1 2 3

0

c c c a a a b b b

=

;

2)

1 1 1

222

3 3 3

0

a b c a b c

a b c



;

3)

1 2 3

0

T

a a a b b b

c c c



;

4)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

0a b c a b c a b c  +   +   =

;

5)

1 1 1 2 2 2 3 3 3

0a b c a b c a b c        =

.

Ответы

Номер задания

1 2 3 4 5

6

Вариант правильного ответа

1-б 2-а 3-г 4-д 5-в

1-б 2-а

3-г

3

1-г 2-д 3-в

1-в 2-г 3-д

1-в-е 2-г-д

Номер задания

7 8 9

10

11

12

Вариант правильного ответа

2

1;4

2;3

1;3

1-е 2-б 3-г 4-а

1-д -е

2-б-з

3-в-и

Номер задания

13

Вариант правильного ответа

1

42

§ 9. Задания для самостоятельной работы

Задание 1.

а) Показать, что векторы p, q, r образуют базис. Найти

координаты вектора x в этом базисе;

б) проверить коллинеарность векторов

1

c

и

2

c

.

1.1. а)

( )

1,1,1x =

,

( )

3,0, 1p =−

,

( )

2,2,2q =

,

( )

1, 0,1r =

;

б)

( )

3,5,7a =

,

( )

1,2,1b =

,

1

c a b=+

,

2

2c a b=−

.

1.2. а)

( )

2,1,1x =

,

( )

0,3, 1p =−

,

( )

2,1, 2q =−

,

( )

1, 0, 1r = − −

;

б)

( )

2,3,4a =

,

( )

3,4,4b =

,

1

c a b=+

,

2

22c a b=+

.

1.3. а)

( )

1,1, 1x = − −

,

( )

1, 0,3p =−

,

( )

2, 2, 2q = − −

,

( )

0,1,1r =

;

б)

( )

6,3,3a =−

,

( )

2, 2, 2b = − −

,

1

3c a b=+

,

2

c a b=+

.

1.4. а)

( )

2,3,1x =

,

( )

3,1,2p =

,

( )

1,3,2q =

,

( )

2,1,3r =

;

б)

( )

3,1,1a =

,

( )

5,0,3b =

,

1

2c a b=−

,

2

2c a b=+

.

1.5. а)

( )

2,0,5x =

,

( )

1,1,1p =

,

( )

2,0,3q =−

,

( )

0,1, 1r =−

;

б)

( )

3,2,1a =

,

( )

5,4,0b =−

,

1

33c a b=−

,

2

c a b=−

.

1.6. а)

( )

5,0,2x =

,

( )

1,3,5p =

,

( )

3,0, 2q =−

,

( )

1, 1,0r =−

;

б)

( )

3,2,1a =

,

( )

5,4,0b =−

,

1

2c a b=+

,

2

2c a b=+

.

1.7. а)

( )

0,5,2x =

,

( )

5,3,1p =

,

( )

0,3, 2q =−

,

( )

1,1, 0r =−

;

б)

( )

3,7,5a =

,

( )

1,3,5b =

,

1

43c a b=−

,

2

3c a b=+

.

1.8. а)

( )

2,0,5x =

,

( )

3,1,5p =

,

( )

2,3,0q =−

,

( )

0,1, 1r =−

;

б)

( )

0,3,2a =

,

( )

1, 2,1b =−

,

1

5c a b=−

,

2

5c a b=+

.

1.9. а)

( )

3,2,1x =

,

( )

1,3,2p =

,

( )

2,3,7q =

,

( )

3,1,2r =

;

б)

( )

1, 2,3a =

,

( )

2,3,1b =

,

1

3c a b=−

,

2

3c a b=+

.

1.10. а)

( )

1, 1,1x =−

,

( )

0,3,2p =

,

( )

1,3,7q =−

,

( )

3,1,2r =−

;

б)

( )

2,3,5a =

,

( )

1,3,8b =−

,

1

55c a b=+

,

2

c a b= − −

.

1.11. а)

( )

0,1, 2x =

,

( )

2,3,0p =

,

( )

2,7,2q =

,

( )

3,0,2r =−

;

43

б)

( )

8,3,1a =

,

( )

2,6,1b =

,

1

4c a b=+

,

2

4c a b=−

.

1.12. а)

( )

2,1,0x =

,

( )

0,3,2p =

,

( )

1,3, 1q = − −

,

( )

2, 2,2r = − −

;

б)

( )

6,1, 2a =

,

( )

1,0,1b =−

,

1

5c a b=+

,

2

5c a b=−

.

1.13. а)

( )

1, 0,2x =

,

( )

3,2,0p =

,

( )

1, 3,1q =−

,

( )

2,2, 2r =−

;

б)

( )

2, 1, 2a = − − −

,

( )

2,3,8b =

,

1

3c a b=−

,

2

3c a b=+

.

1.14. а)

( )

1, 4,1x =

,

( )

3,2,5p =

,

( )

0,3,1q =

,

( )

1, 2,2r =

;

б)

( )

3,1,3a =

,

( )

2,1, 2b =

,

1

c a b=+

,

2

4c a b=+

.

1.15. а)

( )

1, 4, 1x = − −

,

( )

1, 2,5p =−

,

( )

1,1,1q =

,

( )

2,2,1r =

;

б)

( )

1, 7,2a =

,

( )

3,0,5b =

,

1

2c a b=+

,

2

2c a b=−

.

1.16. а)

( )

3,0,2x =

,

( )

1, 2, 1p = − −

,

( )

2,1,1q =

,

( )

1,1,3r =

;

б)

( )

2,7,1a =

,

( )

5,0,3b =

,

1

2c a b=+

,

2

2c a b= − −

.

1.17. а)

( )

7,3,1x =

,

( )

1,1,1p =

,

( )

2,1, 2q =−

,

( )

3,1,1r =

;

б)

( )

7,1,2a =

,

( )

0,3,5b =

,

1

3c a b=+

,

2

3c a b=−

.

1.18. а)

( )

1, 7,3x =

,

( )

0,1,1p =

,

( )

1, 2, 1q = − −

,

( )

1,3,1r =

;

б)

( )

7,2,1a =

,

( )

0,5,3b =

,

1

c a b=−

,

2

c a b=+

.

1.19. а)

( )

3,1,7x =

,

( )

1, 0,1p =

,

( )

1,1,1q =

,

( )

1, 2,1r =−

;

б)

( )

3,5,4a =

,

( )

5,2,0b =

,

1

c a b=−

,

2

44c a b= − +

.

1.20. а)

( )

1,3,1x =

,

( )

2,1,3p =

,

( )

3,2,5q =

,

( )

3,0,2r =

;

б)

( )

5,3,4a =

,

( )

2,3,0b =

,

1

4c a b=−

,

2

3c a b=−

.

1.21. а)

( )

1, 0,1x =

,

( )

2,1, 2p =−

,

( )

3,1,3q =

,

( )

2,5,1r =

;

б)

( )

4,3,5a =

,

( )

0,2,3b =

,

1

4c a b=−

,

2

4c a b=+

.

1.22. а)

( )

2,1, 2x =

,

( )

3,1,1p =

,

( )

2,3,5q =

,

( )

5,3,2r =

;

б)

( )

4,5,3a =

,

( )

3,0,2b =

,

1

4c a b=−

,

2

c a b=+

.

1.23. а)

( )

2,2,1x =

,

( )

1,1,3p =

,

( )

5,3,2q =

,

( )

2,3,5r =

;

б)

( )

2,2,2a =

,

( )

1, 2,0b =

,

1

c a b=+

,

2

3c a b=−

.

1.24. а)

( )

1, 2,2x =

,

( )

1,3,1p =

,

( )

3,2,5q =

,

( )

5,1,3r =

;

б)

( )

1, 7,2a =

,

( )

2,7,1b =

,

1

33c a b=+

,

2

c a b=−

.

44

1.25. а)

( )

2,3,4x =

,

( )

1, 4,4p =

,

( )

2,3,2q =

,

( )

1,3,5r =

;

б)

( )

7,1,2a =

,

( )

1,7,2b =

,

1

3c a b=−

,

2

62c a b= − +

.

1.26. а)

( )

1, 4,3x =

,

( )

4,1, 4p =

,

( )

2,3,3q =

,

( )

5,3,1r =

;

б)

( )

2,7,1a =

,

( )

7,1,2b =

,

1

3c a b=−

,

2

5c a b=+

.

1.27. а)

( )

3,1,4x =

,

( )

4,4,1p =

,

( )

3,3,2q =

,

( )

3,1,5r =

;

б)

( )

1, 0,3a =

,

( )

1,1,1b =

,

1

5c a b=+

,

2

c a b=−

.

1.28. а)

( )

4,1,3x =

,

( )

1, 4,4p =

,

( )

1,3,3q =

,

( )

5,1,3r =

;

б)

( )

1,3,1a =

,

( )

2,2,3b =

,

1

5c a b=+

,

2

5c a b=−

.

1.29. а)

( )

5, 5,0x =−

,

( )

1,1,1p =

,

( )

2,1, 2q =

,

( )

3,0,1r =

;

б)

( )

3,2,5a =

,

( )

5,1,1b =

,

1

22c a b=+

,

2

7c a b=−

.

1.30. а)

( )

5,0,5x =−

,

( )

1, 2,3p =

,

( )

2,1, 2q =

,

( )

3,5,4r =

;

б)

( )

1,1,1a =

,

( )

3,7,1b =

,

1

c a b=+

,

2

c a b= − −

.

Задание 2.

2.1. Найти вектор x, коллинеарный вектору

22a i j k= − −

,

образующий с ортом j острый угол и имеющий длину

15x =

.

2.2. Найти вектор x, образующий со всеми тремя базисными ортами

равные острые углы, если

23x =

.

2.3. Найти вектор x, образующий с ортом j угол

60

, с ортом k –

угол

120

, если

52x =

.

2.4. Найти вектор x, направленный по биссектрисе угла между

векторами

7 4 4a i j k= − −

и

22b i j k= − +

, если

56x =

.

2.5. Из одной и той же точки проведены векторы

( )

3;0;4a =−

и

( )

5; 2; 14b = − −

. Найти единичный вектор, который, будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между векторами a и b.

45

2.6. Даны модуль

5a =

и углы

45=

,

60=

,

120



=

.

Вычислить проекции вектора a на координатные оси и орт вектора a.

2.7. Вычислить направляющие косинусы вектора

( )

1;5; 15a =−

. Найти

вектор, коллинеарный вектору

a

, направляющий в

противоположную сторону и длиннее вектора a в три раза.

2.8. Вектор x составляет с осями OY и OZ соответственно углы

60=

,

135



=

. Какой угол он составляет с осью OX? Найти

координаты вектора x, если модуль

3x =

.

2.9. Вектор a составляет с координатными осями OX и OZ углы

60=

,

135



=

. Вычислить его координаты, если

2a =

. Найти

орт вектора a.

2.10. Даны

3a =

,

5b =

,

19ab+=

. Найти

ab−

.

2.11. Даны

11a =

,

23b =, 30ab−=

. Найти

ab+

.

2.12. Векторы a и b образуют угол 60°, причем

5a =

,

7b =

.

Определить

ab+

,

ab−

.

2.13. Проверить коллинеарность векторов

( )

6; 2;4a =−

и

( )

12;4; 8b = − −

. Какой из них длиннее другого, во сколько раз, как они направлены?

2.14. Определить, при каких значениях



и  векторы

23a i k j



= + −

и

12 8b i j k



= + +

коллинеарны.

2.15. Проверить, что точки

( )

1;1;1A

,

( )

5; 4;8B −

,

( )

3;2;1C

,

( )

5;12; 13D −−

являются вершинами трапеции.

2.16. Определить

ab+

и

ab−

векторов

( )

3; 1;3a =−

,

( )

3;2;4b =

.

2.17. Найти проекции вектора a на оси координат, если

3a AB CD=+

,

( )

0;0;1A

,

( )

2;2;1B

,

( )

4;3;5C

,

( )

3;6;3D

.

2.18. Даны радиусы-векторы вершин треугольника ABC:

23

A

r i j k= + +

,

32

B

r i j k= + +

,

4

C

r i j k= + +

. Показать, что

треугольник ABC равносторонний.

46

2.19. Вычислить модуль вектора

( )

1

2 4 8 3

5

a i j k i j k= + + − + +

и

найти его направляющие косинусы.

2.20. Даны точки

( )

1

1; 2;3M

,

( )

2

3; 4;6M −

. Найти длину и

направляющие косинусы вектора

12

MM

.

2.21. Дан вектор

4 2 3a i j k= − +

. Найти вектор b, если

ba=

,

yy

ba=

,

0

x

b =

, и найти направляющие косинусы вектора b.

2.22. Радиус-вектор точки M составляет с осью OY угол

60

, а с осью

OZ – угол

45

, его длина

8r =

. Найти координаты точки M, если

ее абсцисса отрицательна.

2.23. Дан вектор

25a i j k= + +

. Найти его проекцию на ось,

составляющую с осями координат равные острые углы.

2.24. Вектор a задан координатами своих концов A и B:

( )

2;1; 4A −

,

( )

1;3;2B

. Найти проекции вектора a на координатные оси и его

направляющие косинусы.

2.25. Найти вектор x, коллинеарный вектору

22a i j k= − +

,

образующий с ортом k тупой угол и имеющий длину

45x =

.

2.26. Радиус-вектор точки M составляет с осью OX угол

45

, с осью

OY –

60

, его длина

8r =

. Найти координаты вектора

OM

,

зная, что третья координата точки M отрицательна.

2.27. Даны векторы

( )

2; 2a =

и

( )

2; 4b =−

. Найти косинус угла

между векторами x и y, удовлетворяющими системе уравнений

3x y a+=

,

3x y b−=

.

2.28. Даны

13a =

,

19b =, 24ab+=

. Найти

ab−

.

2.29. Найти вектор a, образующий с ортом j угол

60

, с ортом i –

120

, если

3a =

.

2.30. Найти вектор x, направленный по биссектрисе угла между

векторами

( )

2; 3;6a =−

и

( )

1;2; 2b = − −

, если

3 42x =

.

47

Задание 3.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: а) косинус

угла между ребрами AB и AD; б) проекцию вектора

AC

на вектор

AD

; в) площадь грани ABC; г) объем пирамиды ABCD.

3.1.

( )

4;0;0A

( )

2;1;2B −

( )

1;3;2C

( )

3;2;7D

3.2.

( )

2;1;2A −

( )

4;0;0B

( )

3;2;7C

( )

1;3;2D

3.3.

( )

1;3;2A

( )

3;2;7B

( )

4;0;0C

( )

2;1;2D −

3.4.

( )

3;2;7A

( )

1;3;2B

( )

2;1;2C −

( )

4;0;0D

3.5.

( )

3;1; 2A −

( )

1; 2;1B −

( )

2;1;0C −

( )

2;2;5D

3.6.

( )

1; 2;1A −

( )

3;1; 2B −

( )

2;2;5C

( )

2;1;0D −

3.7.

( )

2;1;0A −

( )

2;2;5B

( )

3;1;2C

( )

1; 2;1D −

3.8.

( )

2;2;5A

( )

2;1;0B −

( )

1; 2;1C −

( )

3;1;2D

3.9.

( )

1; 1;6A −

( )

4;5; 2B −

( )

1;3;0C −

( )

6;1;5D

3.10.

( )

6;1;5A

( )

1;3;0B −

( )

4;5; 2C −

( )

1; 1;6D −

3.11.

( )

5; 1;8A −−

( )

2;3;1B

( )

4;1; 2C −

( )

6;3;7D

3.12.

( )

5;1; 4A −

( )

1; 2; 1B −

( )

3;3; 4C −

( )

2;2;2D

3.13.

( )

1;1;1A

( )

2;3;4B

( )

4;3;2C

( )

3;2;4D

3.14.

( )

1;1;2A

( )

2;3; 1B −

( )

2; 2;4C −

( )

1;1;3D −

3.15.

( )

2; 3;5A −

( )

0;2;1B

( )

2; 2;3C −−

( )

2;3;4D

3.16.

( )

1; 3; 4A −−

( )

1;0;2B −

( )

2; 4; 6C −−

( )

1;1;1D

3.17.

( )

2;1; 2A −

( )

3;3;3B

( )

1;1;2C

( )

1; 2; 3D − − −

3.18.

( )

1;1;1A

( )

2;0;2B

( )

2;2;2C

( )

3;4; 3D −

3.19.

( )

0;0;0A

( )

1;1;0B

( )

2;1;0C

( )

0;0;6D

3.20.

( )

0;0;0A

( )

4;1;1B

( )

1;1;0C

( )

0;0;8D

3.21.

( )

1; 2; 1A −

( )

0;1;5B

( )

1; 2;1C −

( )

2;5;3D

3.22.

( )

1; 1;2A −

( )

5; 6;2B −

( )

1;3; 1C −

( )

2;3;1D

3.23.

( )

2; 1;1A −

( )

5;5;4B

( )

3;2; 1C −

( )

4;1;3D

3.24.

( )

2;3;1A

( )

4;1; 2B −

( )

6;3;7C

( )

5; 4;8D −−

48

3.25.

( )

2;1; 1A −

( )

3;0;1B

( )

2; 1;3C −

( )

0;8;0D

3.26.

( )

4;0;1A

( )

2;1;3B −

( )

1;3;2C

( )

3;2;5D

3.27.

( )

2;1;3A −

( )

4;1;1B

( )

1;3;2C

( )

3;2;6D

3.28.

( )

1;3;5A

( )

3;2;4B

( )

4;1;1C

( )

2;1;2D −

3.29.

( )

3;1;5A

( )

1;3;2B

( )

2;0;2C −

( )

3;5;3D

3.30.

( )

6;5;4A

( )

1;1;1B

( )

1;0;3C

( )

5;6;4D