Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра. Учебное пособие
.pdf
9
Скалярное
произведение
Векторное
произведение
Смешанное
произведение
ОБОЗНАЧЕНИЕ
или
или
или
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
(параллелограмм построен на
векторах и
)
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Вычисление
работы силы
при перемещении
материальной
точки из точки
в точку .
1. Вычисление момента
силы
, приложенной к точке
, относительно точки .
, где
2. Вычисление скорости
точки твердого тела,
вращающегося вокруг
неподвижной оси с
угловым ускорением
.
, где ,
направлен вдоль оси .
v
10
Скалярное
произведение
Векторное
произведение
Смешанное
произведение
РАСЧЕТ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ (ПДСК)
(определитель разложен по
элементам первой строки)
СВОЙСТВА
1.Переместитель–
ный закон
2. Сочетательный
закон
3. Распредели–
тельный закон
4.
(скалярный
квадрат вектора
равен квадрату
его длины)
1. Антипереместительный
закон
2. Сочетательный закон
3. Распределительный закон
4.
1.
2. При перестановке
в смешанном
произведении двух
векторов его знак
меняется на
противоположный:
3. Смешанное
произведение не
меняется при
круговой
перестановке
векторов:
ФАКТЫ, ПОЛЕЗНЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
1. Вычисление
угла между
векторами:
1. Необходимым и
достаточным условием
коллинеарности ненулевых
векторов и
1. Необходимым и д.
условием
компланарности трех
ненулевых векторов
11
Скалярное
произведение
Векторное
произведение
Смешанное
произведение
2. Вычисление
проекции одного
вектора на
другой:
3.
4. Направляющие
косинусы вектора
(в
ПДСК):
где
является равенство нулевому
вектору их векторного
произведения:
.
2. Если ортогонален двум
векторам и
, то этот вектор
коллинеарен их векторному
произведению, т.е. .
является
равенство нулю их
смешанного
произведения:
.
2. Если , то
тройка векторов
– правая, если
, то – левая
§ 6. Примеры решения задач с экономическим содержанием
Пример 1. На рязанском предприятии АО «Русская кожа»
выпускают кожу для обуви, для галантереи, для транспорта, для
мебели. Известно, что за 2021 год было произведено продукции: 200
тыс. кв. м для обуви, 100 тыс. кв. м для галантереи, 220 тыс. кв. м для
12
транспорта, 200 тыс. кв. м для мебели. Записать вектор объёма
производства кожи за 2021 год.
◄ Вектор объёма производства имеет вид:
(200 100 220 200)V =
.►
Пример 2. Фабрика детских колясок «Триумф» в Рязани за 2020
году изготовила 50000 колясок 3 в 1, 100000 колясок 2 в 1, 50000
прогулочных. За 2021 год выпустила 30000 колясок 3 в 1, 80000
колясок 2 в 1и 30000 прогулочных. Найти объём продукции,
выпущенной фабрикой за 2020 и 2021 годы.
◄Объём выпуска детских колясок в 2020 году составил
1
(50000 100000 50000)V =
.
Объём выпуска детских колясок в 2020 году составил
2
(30000 80000 30000)V =
.
Тогда объём продукции, выпущенный фабрикой «Триумф» за 2
года составит:
12
(80000 180000 80000)VV+=
.►
Пример 3. Трубный завод города Рязани в 2021 году выпустил
трубы электросварные профильные 30000 тонн, трубы
водогазопроводные 20000 тонн, трубы оцинкованные 40000 тонн. В
2022 году планирует удвоить выпуск продукции. Найти планируемый
объём продукции. Найти планируемый вектор роста объёмов выпуска
продукции в 2022 году по сравнению с 2021 годом.
◄Объём выпуска труб в 2021 году составил:
2021
(30000 20000 40000)V =
.
Объём выпуска труб в 2022 году найдём как произведение
вектора Vна число 2. Получим:
2022
(60000 40000 80000)V =
.
Планируемый вектор роста объёмов выпуска продукции завода
найдём как разность между векторами
2021
V
и
2022
V
:
2022 2021
(30000 20000 40000)V V V= − =
.►
Пример 4. Рязанский завод лакокрасочных изделий ООО «Завод
ЛИК» выпускает ежесуточно четыре вида изделий: антивандальные
покрытия, лакокрасочные, строительный клей, грунтовки. Основные
производственно - экономические показатели которых приведены в
таблице. Рассчитать ежесуточные показатели: расход сырья S,
13
затраты времени
T
и стоимость
P
выпускаемой продукции
предприятия.
Таблица 4.
Вид изделия
Количество
изделий,
ед.
Расход
сырья, кг
Время
изготовле-
ния (ч)
Цена
изделия
(за 1 кг)
Антивандальные
покрытия
120
200 9 750
Лакокрасочные изделия
240
300
12
1900
Строительный клей
300
500
14
200
Грунтовки
200
250
7
1100
◄Составим четыре вектора, характеризующие весь
производственный цикл по данным таблицы:
( )
120 240 300 200q =
- вектор ассортимента,
( )
200 300 500 250f =
- вектор расхода сырья,
( )
9 12 14 7t =
- вектор затраты рабочего времени,
( )
750 1900 200 1100p =
- вектор цены.
Искомые величины найдём как соответствующие скалярные
произведения вектора ассортимента qна три других вектора.
120 200 240 300 300 500 200 250 296000S q f= = + + + =
120 9 240 12 300 14 200 7 9560T q t= = + + + =
120 750 240 1900 300 200 200 1100 826000P q p= = + + + =
.►
Пример 5. По таблице 5, представляющей фрагмент
потребительской корзины, необходимо вычислить индекс цен и индекс
инфляции для определённого месяца по отношению к предыдущему
месяцу.
◄Обозначим через
(10 5 3)q =
вектор количества
потребляемых товаров, через
(40 80 50)
тек
c =
-вектор цен в
14
текущем периоде,
(35 75 40)
пред
c =
вектор цен в предыдущем
периоде.
Таблица 5.
Вид
товара
Количество
Цена единицы товара
в текущем месяце
Цена единицы товара
в предыдущем месяце
Хлеб
10
40
35
Молоко 5 80
75
Мыло 3 50
40
Индекс цен определяется как коэффициентp, который делает
вектор qортогональным вектору
100
тек пред
c pc−
.
Тогда
(100 ) 0
тек пред
c pc q− =
.
Отсюда
100 ( , ) ( , )
тек пред
с q p c q =
.
Итак, индекс цен найдём по формуле
( , )
100%
( , )
тек
пред
сq
p
cq
=
.
Подставляя в неё данные таблицы, получаем:
40 10 80 5 50 3 950
100% 100% 1,1242 100% 112,42%
35 10 75 5 40 3 845
p
+ +
= = =
+ +
.
Индекс инфляции можно найти по формулам:
100ip=−
или
,
,
()
100%
()
тек пред
пред
c c q
i
cq
−
=
.
Получаем, что индекс цен составил
11,2%i =
.►
§ 7. Примеры для практических занятий.
Задание 1.
Вариант 1. Хлебопекарня выпускает хлеб пяти видов: подовый,
дарницкий, бородинский, формовой и круглый. Объёмы производства
хлеба в день составляют 1500, 1250, 910, 2100, 1150 штук подового,
15
дарницкого, бородинского, формового и круглого хлеба
соответственно. Записать вектор объёма производства хлеба: а) в день;
б) текущий месяц (учитывая, что хлеб выпекается каждый день в
одних и тех же количествах).
Вариант 2. Заработная плата шести работников крупной
компании за первый квартал приведена в таблице 1. В апреле этим
работникам предоставили отпуск, заплатив им по среднему заработку
за предыдущий квартал. Найти вектор зарплаты данных работников за
апрель. Найти вектор заработной платы данных работников за апрель.
Найти вектор роста зарплат в марте по сравнению с январём.
Таблица 6.
Фамилия И.О.
Начисленная заработанная плата (усл. ден.
ед.)
Январь
Февраль
Март
Антонов А. А.
25700
26100
27300
Владимиров В. В.
20600
21300
22100
Иванов И. И.
20400
21100
21300
Матвеев М.М.
21300
23000
23100
Петров П. П.
31200
31500
31600
Сидорова С. С.
28550
29100
3200
Вариант 3. Объёмы производства продукции обувной фабрики за
третий квартал составили 1140, 1200, 1100, 500, 200 пар женских
сапог, мужских ботинок, детских сапог, женских туфель и мужских
полусапог соответственно. Записать вектор объёма производства
обуви за первое полугодие, если объёмы производства за третий
квартал есть среднее арифметическое первых двух кварталов. Найти
вектор роста объёмов выпущенной продукции за третий квартал по
сравнению со вторым кварталом.
Вариант 4. Молокозавод выпустил за текущий месяц 6100 литров
молока, 3120 литров варенца, 5200 литров кефира, 1320 литров
ряженки, 10030 литров сметаны. Объёмы производства данной
продукции за предыдущий месяц были на 0,25% меньше, чем в
текущем месяце. Записать вектор объёма производства продукции за
предыдущий месяц, а также планируемый вектор объёма производства
в следующий месяц как среднее арифметическое двух предыдущих
месяцев.
Вариант 5. Оптовый склад продаёт фрукты. За неделю продано
310 ц яблок, 150 ц апельсинов, 130 ц груш, 110 ц винограда и 240 ц
абрикосов. Записать вектор объёма продаж за месяц, а также вектор
16
планируемых объёмов продаж за три месяца, если за неделю было
продано яблок, абрикосов на 2% и 3% соответственно больше, груш на
4% меньше планируемых, а объёмы продаж апельсинов и винограда
совпали с планируемыми объёмами продаж.
Вариант 6. Имеются данные о начисленной зарплате шести
работников фирмы (таблица 1) за второй квартал. Ежемесячно с
начисленной заработной платы взимается подоходный налог в размере
13%. Найти вектор налогов, уплаченных каждым работником фирмы
за квартал.
Таблица 7.
Фамилия И.О.
Начисленная заработанная плата (усл. ден. ед.)
Апрель
Май
Июнь
Аношина А. В.
30500
27500
28300
Волков В. П.
27300
34100
30020
Гавриков Ю.Н.
25600
27100
24300
Корнеев С. А.
32100
30200
27100
Самохин С. И.
26310
26300
25400
Сафронов В. А
33600
34200
35200
Вариант 7. Оптовый склад продаёт овощи. За предыдущий месяц
было продано 720 ц моркови, 1500 ц картофеля, 1040 ц лука, 420 ц
свёклы и 520 ц капусты. Известно, что среди постоянных покупателей
овощей у оптового склада есть торговый комплекс, который приобрёл
в прошлом месяце 20% от всего объёма продаж оптового склада.
Экономист оптового склада предложил предоставить скидку
торговому комплексу как постоянному покупателю. В результате
получения скидки торговый комплекс приобрёл продукции у оптового
склада на 16% больше, чем в предыдущем месяце. Записать вектор
объёма продаж оптового склада за текущий месяц, если остальные
покупатели оптового склада объёмы покупок не изменили.
Вариант 8. Хлебопекарня выпускает хлеб пяти видов: подовый,
дарницкий, бородинский, формовой и круглый. Объёмы производства
хлеба в будний день составляют 1100, 1150, 190, 1300, 1150 штук
подового, дарницкого, бородинского, формового и круглого хлеба
соответственно, а в выходные и праздничные дни хлеба выпускается
на 8% от объёма производства хлеба больше. Найти вектор объёма
выпуска продукции в текущий месяц, а также вектор роста объёмов
выпущенной продукции в выходной день по сравнению с будним
днём.
17
Вариант 9. Предприятие выпускает бытовую химию. Объёмы
выпуска продукции по месяцам указаны в таблице 3. Найти вектор
планируемого выпуска продукции за 4 квартал, если предприятие
планирует увеличить объёмы выпуска по сравнению с предыдущим
кварталом на 4%.
Таблица 8.
Наименование
продукции
Количество выпущенной продукции (шт.)
Июль
Август
Сентябрь
Мыло туалетное
3289
3486
3756
Мыло
хозяйственное
3520
3251
3615
Порошок
стиральный
5640
5320
5420
Средство для
мытья посуды
1582
1230
1645
Отбеливатель
642
715
940
Вариант 10. Объёмы выпуска мебельной фабрики по месяцам
указаны в таблице 4.
Таблица 9.
Наименование
продукции
Количество произведённой продукции (шт.)
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
Столы
648
667
701
Стулья
315
340
356
Шкафы – купе
520
480
478
Кровати
420
658
140
Диваны
82
78
42
Кресла
160
88
100
Вариант 11. Объёмы производства продукции обувной фабрики
за второй квартал составили 4140, 3255, 2080, 1520, 1415 пар женских
сапог, мужских ботинок, детских сапог, женских туфель и мужских
полусапог соответственно. Записать вектор объёма производства
обуви за первое полугодие, если объёмы производства за второй
квартал превышают объёмы производства за первый квартал на 5%.
Найти вектор роста объёмов выпущенной продукции за второй квартал
по сравнению с первым.
18
Вариант 12. Имеются данные об окладах работников фирмы
(таблица 5), а также размеры премий в процентном соотношении от
оклада за три месяца. Премия выплачивается в конце квартала. Найти
вектор премий работников за квартал.
Таблица 10.
Фамилия И. О.
Оклад
(ден. ед.)
Размер премии (%)
Июль
Август
Сентябрь
Алексеев Н. Н.
8756
25 0 20
Воронина В. Н.
6250
23
25
20
Гусева Н. Б.
7230
24 0 25
Ерёмина В. Н.
6545 0 24
25
Киреев В. А.
7563
25
25
16
Пименов В. И.
8656
25
24
20
Вариант 13. Молокозавод выпустил за второй квартал 16100
литров молока, 13100 литров варенца, 15125 литров кефира, 11225
литров ряженки, 10030 литров сметаны. Объёмы производства данной
продукции за первый квартал были на 3 % меньше, чем во втором
квартале, и на 2% больше, чем в четвёртом квартале. Записать вектор
объёма производства продукции в год, если объёмы производства в
третьем квартале есть среднее арифметическое объёмов производств
первых двух кварталов.
Вариант 14. Оптовый склад продаёт фрукты. За месяц было
продано 910 ц яблок, 655 ц апельсинов, 630 ц груш, 510 ц винограда и
540 ц абрикосов. Известно, что за предыдущий месяц было продано
яблок и апельсинов на 3% больше, абрикосов и винограда на 2%
меньше, объём продаж груш совпал с данным месяцем. Найти
планируемый объём продаж на следующий месяц как среднее
арифметическое двух предыдущих месяцев.
Вариант 15. Предприятие выпускает бытовую технику (табл. 11).
Объёмы выпуска продукции по месяцам указаны в таблице 6.
Известно, что 34% выпущенной продукции предприятие отправляет
напрямую в магазины и торговые центры, а остальную продукцию
приобретают оптовые склады. Найти вектор объёма продукции,
приобретённой оптовыми складами за квартал.
Вариант 16. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида
изделий (табл. 12). Основные производственно-экономические
показатели приведены в таблице. Рассчитать ежесуточные показатели:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]