Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Вектор имеет координаты
1
MM
o
},{
111 ooo
yyxxMM
01 MMN
o
0)()(
11
oo
yyBxxA
),(11yx
0)()(
oo
yyBxxA
x
y
1
x
1
y
),(ooyx
),(22yx
0)()(
oo
yyBxxA
.
Следовательно, векторное равенство
С учетом выражения скалярного произведения через
координаты запишется в виде
,
то есть это выражение есть верное числовое равенство.
Но тогда пара чисел есть решение уравнения
,так как при подстановке вместо и в это
уравнение чисел и , соответственно, получаем
верное числовое равенство. Верное числовое равенство
также получается при подстановке пары чисел
(это проверяется непосредственно). Итак, координаты
любой точки прямой являются решением этого уравнения.
Докажем теперь обратное утверждение о том, что если
пара чисел есть решение уравнения
,
161
то точка лежит на прямой.
),(
222
yxM
),(
222
yxM
2
MM
o
N
2
MM
o
02 MMN
o
0)()(
22
oo
yyBxxA
),(22yx
0)()(
oo
yyBxxA
);(
222
yxM
);(
000
yxM
);(
111
yxM
N
Доказательство будем проводить от противного.
Допустим, что точка не лежит на прямой
Тогда вектор не лежит на прямой и не
параллелен прямой. Следовательно, вектор не
перпендикулярен вектору . Но тогда
(условие неперпендикулярности двух векторов). В
координатах это неравенство принимает вид
.
Это означает, что пара чисел не есть решение
уравнения
.
162
0754 yx
Получили противоречие, так как по предположению
),(22yx
),(
222
yxM
)3,2(
o
M
0)3(5)2(4 yx
0)()(
oo
yyBxxA
0)(
oo
ByAxByAx
oo
ByAxC
0 CByAx
пара чисел есть решение этого уравнения.
Следовательно, верным является утверждение, что точка
лежит на прямой. Теорема доказана.
Рассмотрим пример.
Пример.
Записать уравнение прямой, проходящей через
точку и перпендикулярной вектору .
Решение. Согласно доказанной выше теореме,
уравнение имеет вид
или
Если в рассмотренном выше уравнении прямой
раскрыть скобки, то уравнение примет вид
Введя обозначение
,
получим уравнение в виде
.
163
Покажем, что уравнение любой прямой можно
0 CByAx
A
B
0 CByAx
A
B
},{ BAN
),(
ooo
yxM
},{ BAN
A
B
0)()(
oo
yyBxxA
записать в таком виде и, наоборот, что уравнение такого
вида есть уравнение некоторой прямой на плоскости.
Утверждение формулируем в виде теоремы.
Теорема 2.
Уравнение любой прямой на плоскости можно
записать в виде
,
где хотя бы одно и чисел и отлично от нуля, а
вектор перпендикулярен прямой (нормаль к
прямой); и наоборот, уравнение вида
,
где хотя бы одно из чисел и отлично от нуля,
есть уравнение какой-то прямой на плоскости, причем
вектор перпендикулярен этой прямой.
Док-во. Пусть на плоскости имеется прямая. Из
элементарной геометрии известно, что существует точка
, лежащая на прямой и существует ненулевой
вектор , перпендикулярный этой прямой ( так
как вектор ненулевой, то хотя бы одно из чисел и
отлично от нуля). Но тогда, как было показано выше,
уравнение прямой имеет вид
.
Раскрывая скобки, получим
164
.
0)(
oo
ByAxByAx
oo
ByAxC
0 CByAx
A
B
0 CByAx
0 CByAx
A
B
0A
o
y
)(
1
CBy
A
x
oo
0A
o
x
),(ooyx
Обозначим . Тогда уравнение
примет вид
,
причем вектор
(нормаль к прямой) и хотя бы одно из чисел и
отлично от нуля. Следовательно, уравнение любой прямой
на плоскости можно записать в виде
причем вектор отличен от нуля.
Теперь докажем что уравнение вида
где хотя бы одно из чисел и отлично от нуля,
есть уравнение какой-то прямой. Пусть, например,
. Пусть - произвольное число. Положим
перпендикулярен прямой
,
,
(так как , то существует).
Непосредственной подстановкой в уравнение нетрудно
убедиться, что пара чисел является решением
рассматриваемого уравнения. Следовательно, выражение
165
0 CByAx
oo
0)( CByAxCByAx
oo
0)()(
oo
yyBxxA
0 CByAx
0)()(
oo
yyBxxA
),(
ooo
yxM
},{ BAN
0 CByAx
0 CByAx
есть верное числовое равенство. Тогда уравнение
или, что то же самое
эквивалентно исходному уравнению
.
Но, как было показано выше, уравнение
есть уравнение прямой, проходящей через точку
и перпендикулярной вектору .
Следовательно, эквивалентное ему уравнение
также является уравнением этой же прямой.
Итак, доказано, что уравнение любой прямой на
плоскости можно записать в виде
,
где - нормаль к прямой и наоборот,
уравнение вида
166
,
0 CByAx
A
B
),(
ooo
yxM
tsyy
tsxx
yo
xo
),( t
где хотя бы одно из чисел и отлично от нуля,
есть уравнение какой-то прямой на плоскости, причем
вектор перпендикулярен этой прямой.
Уравнение прямой, записанное в таком виде, называется
общим уравнением прямой.
Параметрические и канонические уравнения прямой
на плоскости
Как известно из элементарной геометрии, на
плоскости существует единственная прямая, проходящая
через заданную току и коллинеарная заданному вектору.
Уравнение такой прямой можно записать в виде так
называемых параметрических уравнений прямой или
канонического уравнения прямой, рассматриваемых ниже.
Вначале рассмотрим параметрические уравнения прямой.
Утверждение о возможности записи уравнения прямой на
плоскости в виде параметрических уравнений
сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Пусть прямая проходит через точку
и коллинеарна вектору (т.е. вектор
либо параллелен прямой, либо лежит на прямой). Тогда
уравнения этой прямой можно записать в виде
,
где .
167
Утверждение о том, что эти уравнения являются
),(
111
yxM
1
t
),,(
111
tyx
),,(
222
tyx
),(
222
yxM
),(
ooo
yxM
),(
111
yxM
o
M
1
M
1MMo
1
t
уравнениями рассматриваемой прямой, означает
следующее:
1) если - любая точка, лежащая на прямой,
то существует число такое, что тройка чисел
является решением рассматриваемой системы уравнений;
2) если тройка чисел есть любое решение
рассматриваемой системы, то точка лежит на
рассматриваемой прямой.
Уравнения прямой, записанные в таком виде,
называются параметрическими уравнениями прямой.
Док-во.
Пусть прямая проходит через точку и
коллинеарна вектору . Возьмем на прямой
произвольную точку , отличную от точки .
Так как точка лежит на прямой, то вектор
коллинеарен вектору . Значит существует такое
единственное число , что
есть верное
векторное равенство. Так как
168
,
},{
111 ooo
yyxxMM
},{},{
111 yxoo
sstyyxx
yo
xo
styy
stxx
11
11
11
11
tsyy
tsxx
yo
xo
),,(
111
tyx
tsyy
tsxx
yo
xo
)0,,(ooyx
),(
111
yxM
то в координатах равенство запишется в виде
.
Так как равные векторы имеют равные координаты, то
Или
есть система верных числовых равенств.
Следовательно, тройка чисел является
решением системы уравнений
.
Непосредственной подстановкой в эту систему тройки
чисел нетрудно убедиться, что эта тройка чисел
является решением системы уравнений. Таким образом,
какова бы ни была точка на рассматриваемой
кривой, существует единственное для выбранной точки
169
число такое, что тройка чисел является
1
t
),,(
111
tyx
),,(
222
tyx
tsyy
tsxx
yo
xo
),(
222
yxM
),(
222
yxM
2
MM
o
},{},{
22 yxoo
ssyyxx
решением рассмотренной выше системы уравнений.
Докажем теперь, что если тройка чисел
есть решение системы уравнений
,
то точка лежит на прямой.
Доказательство проведем от противного. Допустим, что
точка не лежит на прямой. Тогда вектор
(Рис. 37) не коллинеарен прямой и значит не
существует такого числа , что выполняется равенство
Или в координатах
.
170
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]