Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
есть от первого вектора ко второму) осуществляется
a
b
r
против часовой стрелки. Если же кратчайший поворот от
к
осуществляется по часовой стрелке, то упорядоченную
тройку векторов называют левой. Все тройки
некомпланарных векторов делятся на правые и левые.
Рассмотрим тройку базисных векторов
зависимости от взаимной ориентации векторов эта тройка
может быть как правой, так и левой. В дальнейшем будем
считать, что тройка базисных векторов
правая. Такой ориентации базисных векторов
соответствует ориентация осей координат, показанная на
рис.
В этом случае говорят, что выбрана ориентация базиса
в пространстве.
). В
) всегда
Опр.Пусть даны два ненулевых неколлинеарных
вектора и
называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий
следующим условиям:
. Векторным произведением векторов
121
и
1) Вектор
вектору и вектору
перпендикулярен одновременно и
, а значит перпендикулярен и
плоскости, в которой лежат эти векторы (если их отложить
от общей точки).
2) , где - угол между векторами
и
.
3) Если вектор
векторов (на рисунке 2 это точка O), то вектор
направлен так, что если смотреть из конца вектора
то кратчайший поворот от вектора к вектору
отложить от общей точки
(то есть
от первого сомножителя ко второму) осуществляется
против часовой стрелки. Можно также сказать что векторы
, и
образом, вектор
образуют правую тройку векторов. Таким
должен быть направлен так, как
показано на рисунке
Если хотя бы один из векторов и
нулевой или
эти векторы коллинеарны, то по определению полагается,
что . При этом, формула
остается справедливой.
,
122
123
ABD
,а площадь
треугольника равна
Свойства 1, 3 и 4 следуют непосредственно и
определения векторного произведения. Свойство 5 легко
доказать, если справедливо свойство 2. В самом деле,
разлагая определитель по 1-й строке, получим
124
125
ABCD
sinADABS
ABCD
BD
Свойство 2 примем без доказательства.
Обратимся к свойству 6. Из элементарной геометрии
известно, что площадь параллелограмма равна
,
Где , . Отсюда
и, следовательно,
.
Так как параллелограмм диагональю разбивается
на два равновеликих треугольника, то
.
126
127
§19 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Опр. Пусть даны три вектора , и . Смешанным
произведением векторов , и называется число,
обозначаемое и определяемое равенством
=
Свойства смешанного произведения векторов.
Свойство 1.
Если
Это свойство смешанного произведения следует
непосредственно из свойств векторного и скалярного
произведения векторов:
128
Следовательно
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
)()(
)(
yxyxzzxzxy
zyzyx
zyx
zyx
zyx
abbacabbac
abbac
ccc
bbb
aaa
С другой стороны, если разложить определитель
по третьей строке, то получим
.
129
Таким образом, смешанное произведение можно
представить указанным определителем.
Свойство 2.
Это свойство следует непосредственно из выражений
векторного и скалярного произведений через координаты
векторов и доказывается так же, как и свойство 1.
Свойство 3.
.
т. е. при перестановке двух любых сомножителей
смешанное произведение меняет знак. Это свойство
проверяется непосредственно с помощью свойства 1.
Свойство 4.
Для того, чтобы векторы , и были
компланарны необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство
,
.
Докажем это свойство.
Пусть векторы , и ненулевые и лежат в одной
плоскости, т.е. компланарны. Покажем, что . В
самом деле, вектор перпендикулярен плоскости, в которой
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]