Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
элементарной геометрии, две плоскости будут взаимно
07243
,011332
zyx
zyx
перпендикулярными тогда и только тогда, когда взаимно
перпендикулярны их нормали, то есть их скалярное
произведение равно нулю
Пример. Доказать, что плоскости
взаимно перпендикулярны.
Решение. Векторы нормалей равны
Находим скалярное произведение
Следовательно, нормали перпендикулярны, а значит и
плоскости взаимно перпендикулярны.
211
§25. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
L
1M1M2M1M2M2
1
2
L
1
2
L
2
1
Общие уравнения прямой в пространстве
Как известно из элементарной геометрии, прямую
в пространстве можно рассматривать как линию
пересечения двух плоскостей. Пусть в пространстве
имеется прямая . Возьмем точку , не лежащую на
прямой. Тогда через прямую и точку можно провести
плоскость и притом только одну. Возьмем еще одну току
, не лежащую на прямой и отличную от точки .
Тогда через прямую и точку можно провести
единственную плоскость . Плоскости и
пересекаются по прямой
Пусть плоскости и имеют уравнения:
212
)2(0:
)1(0:
22222
11111
DzCyBxA
DzCyBxA
),,(
0000
zyxM
1
2
),,(
000
zyx
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
),,(
111
zyx
),,(
1111
zyxM
1
M
1
),,(
111
zyx1M
2
),,(
111
zyx
1
M
L
1
2
),,(
0000
zyxM
),,(
000
zyx
),,(
111
zyx
Рассмотрим какую-нибудь точку
лежащую на прямой. Тогда она одновременно
принадлежит и плоскости и плоскости и
следовательно тройка чисел является
одновременно решением как уравнения (1), так и
уравнения (2), то есть является решением системы
уравнений
(3)
Обратно, пусть тройка чисел является
решением системы (3). Покажем, что в этом случае точка
лежит на прямой. В самом деле, точка
принадлежит плоскости так как тройка чисел
есть решение уравнения (1). Одновременно точка
принадлежит плоскости так как тройка чисел
есть решение уравнения (2). Следовательно, точка
лежит на прямой так как она является общей для
плоскостей и .
Таким образом, мы получили, что если точка
лежит напрямой, то тройка чисел
является решением системы уравнений (3). И
обратно, если тройка чисел является решением
213
этой системы уравнений, то точка лежит на
),,(
1111
zyxM
L
1
2
),,(
0000
zyxM
прямой .
В этом случае говорят, что система уравнений
(3) является системой уравнений прямой в пространстве.
Говорят также, что уравнения системы (3) являются
общими уравнениями прямой в пространстве.
Произвольная система уравнений вида (3) будет
системой уравнений какой-то прямой в пространстве при
условии, что плоскости и , определяемые
соответственно первым и вторым уравнением, не
совпадают и не параллельны. Условия параллельности и
совпадения плоскостей были получены выше.
Параметрические и канонические уравнения прямой в
пространстве
Из элементарной геометрии известно, что через
заданную точку в пространстве можно провести
единственную прямую, коллинеарную заданному вектору.
Ненулевой коллинеарный прямой вектор называется
направляющим вектором прямой. Выведем уравнения
прямой, заданной этими условиями.
Итак, пусть прямая проходит через точку
и коллинеарна вектору
214
Возьмем на прямой еще одну точку .
),,(
1111
zyxM
01010110
,, zzyyxxMM
1
t
z
y
x
stzz
styy
stxx
101
101
101
),,,(
1111
tzyx
),;(
0000
zyxM
),;(
1111
zyxM
Тогда вектор
коллинеарен вектору
что выполняется равенство (условие коллинеарности
векторов)
Из этого векторного равенства следует, что
одновременно верны следующие числовые равенства для
координат этих векторов
А это означает, что четверка чисел
является решением системы уравнений
и значит существует число такое,
.
(4)
215
z
y
x
tszz
tsyy
tsxx
0
0
0
tszz
tsyy
tsxx
z
y
x
0
0
0
)0,,,(
000
zyx
),,(
1111
zyxM
1
t
),,,(
1111
tzyx
),,,(
2222
tzyx
),,(
2222
zyxM
)1,3,2(0M
Или
(5)
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что
четверка чисел также является решением
этой системы уравнений. Итак, какова бы ни была точка
, лежащая напрямой, найдется число такое,
что четверка чисел является решением системы
уравнений (5). Можно также доказать (аналогично тому,
как это было доказано для прямой на плоскости), что если
четверка чисел является решением системы
(5) то точка лежит на прямой L. Уравнения
системы (5) называются параметрическими уравнениями
прямой.
Пример. Записать параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку и коллинеарной
вектору .
216
tz
ty
tx
41
23
32
),,(
0000
zyxM
),,(
1111
zyxM
0
M
1
t
z
y
x
stzz
styy
stxx
101
101
101
0,0,0
zyx
sss
Решение.
.
Снова вернемся к ситуации, когда прямая проходит
через точку , коллинеарна вектору
, и на прямой взята еще одна точка
, не совпадающая с точкой . Тогда, как
показано выше, существует число такое, что
одновременно верны равенства:
Пусть, кроме того, ни одна из координат вектора
равна нулю, то есть . Тогда
систему равенств можно записать в виде
217
не
zy
zx
yx
s
zz
s
yy
s
zz
s
xx
s
yy
s
xx
0101
0101
0101
z
y
x
s
zz
t
s
yy
t
s
xx
t
01
1
01
1
01
1
.
Из этой системы верных равенств следует, что
одновременно верны равенства
.
Каждое из этих трех равенств является следствием
двух других. Поэтому достаточно рассмотреть, например,
систему равенств
218
.
zx
yx
s
zz
s
xx
s
yy
s
xx
0101
0101
),,(
111
zyx
zx
yx
s
zz
s
xx
s
yy
s
xx
00
00
),,(
000
zyx
),,(
1111
zyxM
0,0,0
zyx
sss
),,(
111
zyx
),,(
222
zyx
),,(
2222
zyxM
Но если эти равенства верные, то тройка чисел
является решением системы уравнений
(6)
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что
этой системе уравнений удовлетворяет также тройка чисел
. Таким образом, если есть
произвольная точка прямой и одновременно
, то тройка чисел
является решением системы уравнений (6). Можно
показать (аналогично тому, как это сделано для прямой на
плоскости), что если тройка числе есть решение
системы (6), то точка лежит на прямой.
Таким образом, система уравнений (6) есть система
уравнений прямой в пространстве. Вместо системы
уравнений (6) можно записать эквивалентную ей систему,
например,
219
.
zy
yx
s
zz
s
yy
s
yy
s
xx
00
00
zyx
s
zz
s
yy
s
xx
000
)4,3,2(0M
5
4
2
3
3
2
zyx
Эти системы принято записывать в виде двойного
равенства
,
из которого следует любая из эквивалентных систем.
Уравнения прямой, записанные в таком виде, называются
каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Пример. Прямая проходит через точку и
коллинеарна вектору .. Записать каноническое
уравнение прямой.
Решение.
каноническом виде предполагалось, что ни одна из
координат направляющего вектора
нулю, так как в противном случае в знаменателе
канонических уравнений прямой появятся нули и
уравнение не будет иметь смысла. Тем не менее, если одна
.
Замечание. При выводе уравнения прямой в
не равна
220
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]