Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
§30. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Поверхности второго порядка – это поверхности,
которые в декартовой прямоугольной системе координат
определяются алгебраическими уравнениями второй
степени. Такие поверхности встречаются в природе,
используются в технике, отсюда следует важность их
изучения. Рассмотрим важнейшие поверхности второго
порядка и проведём их геометрическое исследование по
заданным уравнениям с помощью метода параллельных
сечений.
Эллипсоид.
Опр. Эллипсоидом называется поверхность, которая в
некоторой декартовой прямоугольной системе координат
определяется уравнением
. (1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением
эллипсоида.
Для построения эллипсоида рассмотрим сначала его
сечения плоскостями x = 0, y = 0, z = 0. В сечениях будем
иметь соответственно эллипсы
,
,
.
Далее рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями,
параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких
плоскостей определяется уравнением z = h, где h – любое
число, а линия, которая получается в сечении,
определяется двумя уравнениями:
. (2)
Исследуем уравнение (2) при различных значениях h.
271
1. Если
(c> 0), то
,
первое уравнение системы (2) на
,
; разделив
, получим:
где
и
.
Отсюда следует, что плоскость z = h пересекает
эллипсоид по эллипсу с полуосями, ,
, расположенному
симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz.
2. Если h = 0, то
принимает самое большое
значение, равное единице, поэтому в сечении эллипсоида
плоскостью z = 0 получится самый крупный эллипс с
полуосями , .
3. При возрастании
от 0 до c величина
убывает от 1 до 0, следовательно, и
убывают.
4.Если h = ± c, то , эллипс вырождается в
точки (0,0,с) и (0,0,-с), иначе плоскости z = c и z = -c
касаются эллипсоида.
5.Если
, то
,
, т.е. и
будут мнимые, т.е. в этом случае уравнения (2)
определяет мнимый эллипс, а это означает, что
плоскость z = h при
эллипсоид не пересекает.
Аналогичная картина получается, если эллипсоид
пересекать плоскостями, параллельными плоскостям Oxz и
Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют
изобразить эллипсоид как замкнутую овальную
поверхность.
272
Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида.
Если все они различны, то эллипсоид называется
трёхосным.
Рассмотрим случай, когда какие-либо две из величин
a, b, c равны. Пусть, например, a= b. Тогда уравнения (2)
определяют окружность с центром на оси Oz.
Следовательно, при a= b эллипсоид можно рассматривать
как поверхность, образованную вращением эллипса вокруг
оси Oz. Он называется эллипсоидом вращения. В случае a=
b = c эллипсоид является сферой.
Однополосный гиперболоид.
Опр. Однополосным гиперболоидом называется
поверхность, которая в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат определяется
уравнением:
. (3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением
однополосного гиперболоида.
Рассмотрим сечение данной поверхности
координатной плоскостью Oxz (y = 0).
Оно определяется уравнениями:
273
.
Мы видим, что сечение данной поверхности
плоскостью Oxz представляет собой гиперболу,
положенную симметрично относительно координатных
осей Ox и Oz и пересекающую ось Ox в точках (a,0,0) и (-
a,0,0).
Аналогично, сечение однополосного гиперболоида
координатной плоскостью Oyz (x = 0) представляет собой
гиперболу:
,
симметричную относительно координатных осей OY и
Oz и пересекающую ось Oy в точках (0,b,0) и (0,-b,0).
Сечение однополосного гиперболоида плоскостью Oxz
(y = 0) представляет собой эллипс
Рассмотрим сечение данного гиперболоида
плоскостями z = h параллельными плоскости Oxy. В
сечении получится линия, определяемая уравнениями:
или
,
,
где
и
.
Отсюда следует, что:
1. Любая плоскость z = h пересекает однополосный
гиперболоид по эллипсу с полуосями a и b,
симметричному относительно плоскостей Oxz и Oyz.
274
2. Самый маленький эллипс в сечении получится при
h = 0, т.е. при пересечении гиперболоида плоскостью Оху,
в этом случае , .
3. При бесконечном возрастании
бесконечно возрастают.
величины и
Рассмотренные сечения позволяют изобразить
однополосный гиперболоид в виде трубки, бесконечно
расширяющейся по мере удаления (в обе стороны) от
плоскости Oxy.
Величины a, b, cназываются полуосями однополосного
гиперболоида.
Двуполостный гиперболоид
Опр. Двуполостным гиперболоидом называется
поверхность, которая в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат определяется
уравнением:
275
. (4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением
двухполосного гиперболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности
координатными плоскостями Oxz и Oyz; получим
соответственно уравнения:
и
,
из которых следует, что в сечениях получаются
гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида
плоскостями z = h, параллельными координатной
плоскости Oxy. В сечении получится линия, определяемая
уравнениями
или
из которых следует, что при
(5)
(c> 0) плоскость z
= h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями
С ростом
значение и
и
увеличиваются.
.
При h = ±c уравнениям (5) удовлетворяют координаты
лишь двух точек: (0,0,c) и (0,0,-c), т.е. плоскости z = ±c
касаются данной поверхности.
При
уравнения (5) определяют мнимый эллипс,
т.е. точек пересечения плоскости z = h с данным
гиперболоидом нет.
Рассмотренные сечения позволяют изобразить данную
поверхность как поверхность, состоящую из двух
отдельных «полостей» (отсюда название двуполостный),
каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.
276
Величины a, b, c называют полуосями двуполостного
гиперболоида.
Конус второго порядка.
Опр. Конусом второго порядка называется
поверхность, которая в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат определяется
уравнением
. (6)
Уравнение (6) называется каноническим уравнением
конуса второго порядка.
В сечение этой поверхности плоскостью y = 0
получаем две пересекающиеся прямые
и
,
277
в сечении плоскостью x = 0 также – две
пересекающиеся прямые
и
,
в сечении плоскостями z = h, параллельными
плоскости Oxy, - эллипсы при h> 0 и h< 0. При увеличении
h полуоси эллипса увеличиваются. При h = 0 линия
пересечения поверхности с плоскостью z = h вырождается
в точку (0,0,0).
Таким образом, рассматриваемая поверхность
выглядит так:
При a = b в сечении плоскостями z = h, параллельными
плоскости Oxy, получим окружности, в этом случае конус
называется круговым (или круглым).
Эллиптический параболоид.
Опр. Эллиптическим параболоидом называется
поверхность, которая в некоторой декартовой
278
прямоугольной системе координат определяется
уравнением:
, (7)
где p> 0, q> 0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением
эллиптического параболоида.
Исследуем эту поверхность с помощью сечений.
Рассмотрим сначала сечения данной поверхности
координатными плоскостями Oxz и Oyz . Получаем
соответственно уравнения
и
,
из которых следует, что в сечениях получаются
параболы, симметричные относительно оси Oz с
вершинами в начале координат.
Рассмотрим сечения данного параболоида
плоскостями z = h, параллельными координатной
плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении,
определяется уравнениями
или
, (8)
из которых следует, что при h > 0 плоскость z = h
пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с
полуосями и . При возрастании h
величины a и b возрастают. При h = 0 эллипс вырождается
в точку (плоскость z = 0 касается данного параболоида).
При h< 0 точек пересечения плоскости z = h с
параболоидом не существует (в сечении получается
мнимый эллипс).
Рассмотренные сечения позволяют изобразить
эллиптический параболоид в виде выпуклой бесконечной
чаши.
279
Точка (0, 0, 0) называется вершиной параболоида,
числа p, q – его параметрами.
В случае p = q уравнения (8) определяют окружность с
центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно
рассматривать как поверхность, образованную вращением
параболы вокруг её оси. Такая поверхность называется
параболоидом вращения.
Гиперболический параболоид.
Опр. Гиперболическим параболоидом называется
поверхность, которая в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат определяется
уравнением
, (9)
где p> 0, q> 0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением
гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечения параболоида координатными
плоскостями Oxz (y = 0) и Oyz (x = 0). Получим
соответственно уравнения
280
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]