Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Итак, и в этом параграфе мы рассмотрели кривые
второго порядка: эллипс, гиперболу, параболу. Получили
канонические уравнения этих кривых, указали на
некоторые применения.
Подчеркнём ещё раз важность изучения кривых
второго порядка, имеющих большое применение в
различных областях науки и техники.
Приведём некоторые примеры.
1. Остановимся на одном из самых замечательных
свойств эллипса, гиперболы и параболы – оптическом
свойстве.
Для эллипса луч, пущенный из одного фокуса, после
отражения попадает в другой.
Это свойство лежит в основе акустического эффекта,
наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных
сооружениях, своды которых имеют эллиптическую
форму: если находиться в одном из фокусов, то речь
человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо,
как будто он находится рядом, хотя на самом деле
расстояние велико.
Для гиперболы луч, исходящий из источника света,
находящегося в одном из фокусов гиперболы, после
отражения движется так, как будто он исходит из другого
фокуса.
Для параболы все лучи, исходящие из источника света,
находящегося в фокусе параболы, после отражения
оказываются направленными параллельно её оси. Это
свойство параболы используется при изготовлении
261
прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков,
зеркала которых имеют вид параболоидов вращения.
2. Как доказывается в механике, ракета запущенная с
поверхности Земли под некоторым углом к горизонта с
начальной скоростью υ0 =11,2 км/сек (вторая космическая
скорость), будет двигаться по параболе, неограниченно
удаляясь от поверхности Земли. При начальной скорости
υ
> 11,2 км/сек ракета будет неограниченно удаляться от
0
поверхности Земли, двигаясь уже по гиперболе. Наконец,
при начальной скорости υ0< 11,2 км/сек ракета движется
по эллипсу.
262
§ 28 ПОНЯТИЕ ОБ ИССЛЕДОВАНИИ КРИВОЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В декартовой прямоугольной системе координат линия
второго порядка может быть задана уравнением второго
порядка общего вида:
(1),
где A, B, C одновременно не равны нулю.
Коэффициенты при x, y, обозначены соответственно через
2B, 2D, 2E для удобства.
Важной задачей аналитической геометрии является
исследование общего уравнения линии второго порядка (1)
и приведение его к простейшим (каноническим) формам.
Для этой цели производится переход от одной
декартовой прямоугольной системы координат к другой
декартовой системе координат. Как было отмечено ранее,
при таком переходе степень уравнения не меняется.
Поворот оси на определённый угол α позволяет
избавиться от члена с произведением xy в уравнении (1).
Покажем, что такой угол α существует.
Используя формулы поворота осей Ox и Oy на угол α
, y ,
получим из уравнения (1) уравнение кривой в новых
координатах. x1, y1:
(2)
Многоточием в уравнении (2) обозначим члены,
которые нет необходимости выписывать, т.к. они не
содержат произведения x1y1. Подсчитаем коэффициент B1
при x1y1.
263
Если B = 0, то нет смысла осуществлять поворот осей,
т.к. член с произведением координат тогда в уравнении
отсутствует. Если B ≠ 0, то угол α выбираем таким, чтобы
B1 обратилось в нуль. Это возможно, если
или
(3)
При A = C имеем , можно взять
.
, т.е.
При A ≠ C из (3) следует, что , т.к. иначе и
, что невозможно. Разделив обе части равенства
(3) на , получим
или
откуда α можно взять равным
Итак, в любом случае существует угол α, на который
надо повернуть оси координат, чтобы исчез член с
произведением координат. Уравнение (1) в новой системе
координат О x1y1
примет вид:
(4)
Теперь при помощи параллельного переноса можно
освободиться от одного из двух членов, содержащих
координаты в первой степени, при условии, что
коэффициент при соответствующем квадрате координаты
отличен от нуля.
264
Например, покажем, что если , то параллельный
перенос можно выполнить таким образом, что исчезнет
член с x1.
Преобразуем уравнение (4), выделив полный квадрат:
,
или
отсюда имеем:
Если сделать перенос начала координат, определяемый
формулами
то уравнение (4) приведётся к виду:
Аналогично можно было освободиться от y
, если
1
.
Приняв во внимание всё сказанное выше,
сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема. Пусть в декартовой прямоугольной системе
координат задано уравнение второго порядка:
Тогда существует такая декартова прямоугольная
система координат, в которой это уравнение принимает
один из девяти канонических видов, перечисленных в
следующей схеме:
265
1.
–
Эллипс
2.
–
Мнимый эллипс
3. –
точка (пара мнимых
пересекающихся прямых)
4.
–
гипербола
5. –
пара пересекающихся
прямых
6. –
парабола
Схема «Канонические уравнения кривых второго
порядка»
266
7. – пара
параллельных прямых
8. – пара
мнимых параллельных
прямых
9. – пара
совпавших прямых
Замечание. Уравнениям 2) и 8) не удовлетворяют
координаты ни одной точки, т.е. они определяют пустые
множества.
Итак, в этом параграфе мы рассмотрели, как из
уравнения общего вида кривой второго порядка можно
получить её каноническое уравнение.
267
§29. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ
ВРАЩЕНИЯ
Этот параграф посвящён некоторым часто
встречающимся поверхностям.
Опр. Цилиндрической поверхностью называется
поверхность, образованная перемещением прямой
параллельно некоторому вектору и всё время
пересекающей данную линию, называемую
направляющей. Движущаяся прямая называется
образующей.
Например, изобразим цилиндрическую поверхность с
направляющей L1 и образующей, параллельной оси Oz,
Затем цилиндрическую поверхность с направляющей L2 и
образующей, параллельной оси Oy, а также
цилиндрическую поверхность с направляющей L3 и
образующей, параллельной оси Ox.
Если образующая цилиндрической поверхности
параллельна какой-нибудь координатной оси, то в
уравнении этой поверхности отсутствует переменная,
соответствующая этой оси.
268
Например, если образующая цилиндрической
поверхности параллельна оси Oz, то уравнение
поверхности не содержит переменную z, т.е. имеет вид
.
Опр. Конической поверхностью называется
поверхность, образованная движением прямой,
проходящей через данную точку, называемую вершиной
конуса, и скользящей по данной кривой. Движущаяся
прямая называется образующей конуса, кривая, по которой
скользит образующая, - направляющей.
Например, изобразим коническую поверхность с
направляющей L1 и вершиной М1 и коническую
поверхность с направляющей L2 и вершиной О:
Опр. Поверхность, образованная вращением линии
вокруг некоторой оси, называется поверхностью вращения.
Например, изобразим поверхность, образованную
вращением линии L1 вокруг оси Оу, а также поверхность,
образованную вращением линии L2 вокруг оси Oz:
269
Итак, в этом параграфе мы познакомились с
понятиями цилиндрической поверхности, конической
поверхности и поверхности вращения, показали на
рисунках, как указанные поверхности выглядят.
270
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]