Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
или две координаты вектора
)1,4,2(
0
M
0
1
0
4
3
2
zyx
0
1
3
2
0
4
zyx
)1,2,4(0M
то условно применяют запись того же вида, что и при не
равных нулю всех координат вектора
называется каноническими уравнениями прямой.
Рассмотрим пример.
Пример.
Прямая проходит через точку и имеет
направляющий вектор . Тогда выражение
называют каноническими уравнениями прямой. Смысл
этого уравнения состоит в том, что по виду этого
уравнения мы можем определить точку, через которую
проходит прямая и направляющий вектор прямой. После
этого можно записать параметрические уравнения прямой
и от них перейти к общим уравнениям прямой. Пусть,
например, канонические уравнения прямой заданы в
условном виде
(но не все три) равны нулю,
. Такая запись также
По уравнениям находим, что точка, через которую
проходит прямая, есть , а направляющий
вектор равен . Следовательно, параметрические
уравнения прямой имеют вид
.
221
.
tz
ty
tx
01
32
04
1
32
4
z
ty
x
1
4
z
x
y
y
или
.
Тогда общими уравнениями прямой будет система
уравнений
,
При этом может принимать любые значения. Сама
прямая в этом случае параллельна оси .
Переход от одного вида уравнения прямой к другому
виду
Как показано выше, уравнения одой и той же
прямой можно записать по крайней мере в трех видах:
общие уравнения прямой, параметрические уравнения
222
прямой и канонические уравнения прямой. Рассмотрим
tz
ty
tx
3
21
32
)3,1,2(
0
M
1
3
2
1
3
2
zyx
вопрос о переходе от уравнений прямой одного вида к
уравнениям прямой в другом виде.
Во-первых заметим, что если заданы уравнения
прямой в параметрической форме, то тем самым заданы
точка, через которую проходит прямая и направляющий
вектор прямой. Поэтому не составляет труда записать
уравнения прямой в канонической форме.
Пример.
Даны уравнения прямой в параметрической форме
.
Записать канонические уравнения прямой.
Решение. Прямая проходит через точку и
имеет направляющий вектор
Следовательно, канонические уравнения прямой имеют
вид
Аналогично решается задача о переходе от
канонических уравнений прямой к параметрическим
уравнениям прямой.
223
..
.
Переход от канонических уравнений прямой к
4
2
3
4
2
1
zyx
4
2
2
1
3
4
2
1
zx
yx
222
4233
zx
yx
042
0723
zx
yx
общим уравнениям прямой рассматривается далее на
примере.
Пример. Даны канонические уравнения прямой
.
Записать общие уравнения прямой.
Решение. Запишем канонические уравнения прямой в
виде системы двух уравнений
.
частей первого уравнения на 6, а второго уравнения на 4,
получим систему
Избавляясь от знаменателей путем умножения обеих
.
или
.
224
Полученная система уравнений и есть общие
1
M
2M1
M
2
M
019549
0832
zyx
zyx
0x
01954
083zyzy
уравнения прямой.
Рассмотрим переход от общих уравнений прямой
к параметрическим и каноническим уравнениям прямой.
Чтобы записать канонические или параметрические
уравнения прямой, надо знать точку, через которую
проходит прямая, и направляющий вектор прямой. Если
определить координаты двух точек и , лежащих на
прямой, то в качестве направляющего вектора М можно
взять вектор
на прямой, можно получить как решение системы
уравнений, определяющих общие уравнения прямой. В
качестве точки, через которую проходит прямая, можно
взять любую из точек и . Проиллюстрируем
сказанное выше на примере.
Пример. Даны общие уравнения прямой
. Координаты двух точек, лежащих
.
Записать параметрические и канонические уравнения
прямой.
Решение. Найдем координаты двух точек, лежащих на
прямой, как решения этой системы уравнений. Полагая
, получим систему уравнений:
.
225
Решая эту систему, находим .
3,1 zy
)3,1,0(1M
0y
01959
0832
zx
zx
2,1 zx
)2,0,1(2M
)3,1,0(1M
tz
ty
tx
3
1
1
3
1
1
1
zyx
Следовательно, точка лежит на прямой.
Полагая , получаем систему уравнений
,
решая которую находим .
Следовательно, прямая проходит через точку .
Тогда в качестве направляющего вектора можно взять
вектор
Итак, прямая проходит через точку и имеет
направляющий вектор . Следовательно,
параметрические уравнения прямой имеют вид
Тогда канонические уравнения прямой запишутся в
виде
.
226
.
.
Другой способ нахождения направляющего вектора
023
02532
zyx
zyx
прямой по общим уравнениям прямой основан на том, что
в этом случае заданы уравнения плоскостей, а значит и
нормали к этим плоскостям.
Пусть общие уравнения прямой имеют вид
соответственно. Тогда вектор
качестве направляющего вектора прямой. В самом деле,
прямая, будучи линией пересечения этих плоскостей,
одновременно перпендикулярна векторам
Следовательно, она коллинеарна вектору
этот вектор можно взять в качестве направляющего
вектора прямой. Рассмотрим пример.
Пример.
Даны общие уравнения прямой
и
- нормали к первой и второй плоскости,
можно взять в
и
и значит
.
.
Записать параметрические и канонические уравнения
прямой.
227
Решение. Прямая является линией пересечения
0x
02
0253
zy
zy
2,4 zy
)2,4,0(
0
M
tz
ty
tx
112
174
2
плоскостей с нормалями
Берем в качестве направляющего вектора прямой вектор
и
.
Найдем точку, лежащую на прямой. Найдем точку,
лежащую на прямой. Пусть . Тогда получаем
систему
Решая систему, находим
.Следовательно, точка лежит на прямой.
Тогда параметрические уравнения прямой можно записать
в виде
.
.
Канонические уравнения прямой имеют вид
228
.
11
2
17
4
2
zyx
0424
014
zyx
zyx
08217 zx
17
82 z
x
0629 yx
Наконец, к каноническим уравнениям можно перейти
исключив в одном из уравнений одну из переменных, а
затем другую переменную. Рассмотрим этот метод на
примере.
Пример. Даны общие уравнения прямой
.
Записать канонические уравнения прямой.
Решение. Исключим из второго уравнения
переменную у, прибавив к нему первое, умноженное на
четыре. Получим
.
или
.
Теперь исключим из второго уравнения переменную z,
прибавив к нему первое уравнение, умноженное на два.
Получим
.
или
229
.
9
62 y
x
9
62
17
82
yzx
2
9
3
2
17
41yzx
9
3
17
4
2
yzx
Отсюда получаем каноническое уравнение прямой
.
или
.
или
.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Угол между прямыми.
Для двух прямых в пространстве возможны
следующие варианты их взаимного расположения:
а) прямые совпадают;
б) прямые параллельны;
230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]