Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
эллипса, и используя формулу (14), уравнение (12) можно
переписать в более простом виде.
(15)
Отметим без доказательств, что уравнения (12) и (15)
равносильны, поэтому уравнение (15) есть уравнение
данной гиперболы, наряду с (12).
Уравнение (15) называется каноническим уравнением
гиперболы.
Утверждение. Гипербола есть кривая второго порядка.
Исследуем форму гиперболы путём анализа её
канонического уравнения.
Т.к. уравнение (15) содержит члены только с четными
степенями координат х и у, то гипербола, определяемая
уравнением (15), симметрична относительно
координатных осей Ox и Oy. Поэтому исследование
формы гиперболы достаточно провести в первой
координатной четверти.
Из уравнения (15) найдём y, учитывая, что в первой
четверти y ≥ 0:
или
откуда
(16)
причем функция определена при 0 ≤ х ≤ а.
Из равенства (16) вытекают следующие утверждения.
1) Если х = а, то у = 0. Следовательно, точка (а, 0)
лежит на гиперболе. Обозначим её через А.
251
2) Если x>a то y> 0 причём с возрастанием x
возрастает и y , и y → ∞ при x → ∞. Переменная точка
М(х,у), с ростом x движется «вправо» и «вверх» от точки
A(a,0), неограниченно приближаясь к прямой, уравнение
которой
(17)
Примем это без доказательства. Эта прямая называется
асимптотой гиперболы. Для построения асимптоты (17)
достаточно построить точку B(a,b) и провести через неё и
начало координат прямую.
Итак, вид графика гиперболы в первой четверти будет:
Симметрично отражая построенную кривую и
асимптоту относительно координатных осей, получим две
ветви гиперболы и две асимптоты
(18)
252
Оси симметрии называются осями гиперболы, а точка
пересечения осей – центром гиперболы. Точки
пересечения гиперболы с одной из осей называются
вершинами гиперболы. В рассмотренном случае
вершинами гиперболы будут точки A и A1.
Пересекающаяся с гиперболой ось называется
действительной осью гиперболы, а ось, с которой
гипербола не пересекается, называется мнимой осью
гиперболы. Принято называть 2a – для гиперболы (15)
действительной осью гиперболы, 2b – мнимой осью
гиперболы, a – действительной полуосью, b – мнимой
полуосью.
Прямоугольник BCC1B1 со сторонами 2a и 2b,
расположенный симметрично относительно осей
гиперболы и касающийся её в вершинах, мы будем
называть основным прямоугольником гиперболы.
Диагонали основного прямоугольника гиперболы
совпадают с ее асимптотами. Построение гиперболы
следует начинать с построения основного прямоугольника
и асимптот гиперболы.
Замечание. Если a = b, уравнение (15) принимает вид
или
(19)
Это гипербола с равными полуосями, называется она
равносторонней гиперболой.
Формула
рассматриваемая в школьном курсе,
определяет равностороннюю гиперболу асимптотами
которой являются оси координат.
Опр. Эксцентриситетом гиперболы называется –
отношение
, где с – половина расстояния между
фокусами, а – действительная полуось гиперболы.
253
Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим
буквой ε:
(20)
Т.к. для гиперболы c>a, то ε> 1, т.е. эксцентриситет
гиперболы больше единицы.
Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее
основного прямоугольника, а значит, и форму гиперболы.
Чем эксцентриситет меньше (ближе к единице), тем
основной прямоугольник BCC1B1 будет более вытянут
вдоль оси Ox, а это влияет на форму гиперболы.
Заметим, что по гиперболам движутся некоторые
малые кометы.
Пример. Найти эксцентриситет, асимптоты, фокусы
гиперболы
и сделать чертеж.
Решение. Из уравнения гиперболы имеем:
, .
т.е.
,
Следовательно, уравнения асимптоты будут:
По формуле (14) имеем:
откуда
т.е.
Поэтому эксцентриситет данной гиперболы будет
равен
254
а фокусами будут точки F1(-5, 0) и F2(5, 0).
Сделаем чертеж.
Замечание. Уравнение
также является уравнением гиперболы. Её
действительная ось
совпадает с осью Oy.
Парабола.
Опр. Параболой называется множество всех точек
плоскости, каждая из которых находится на одинаковом
расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от
данной прямой, называемой директрисой и не
проходящей через фокус.
Обозначим фокус параболы через F.
Выведем уравнение параболы, выбрав декартову
прямоугольную систему координат следующим образом.
Ось Ох проведём через фокус перпендикулярно
255
директрисе, причём положительным направлением оси Ox
будем считать направление от директрисы к фокусу,
начало координат расположим по середине между
директрисой и фокусом. Обозначим расстояние между
директрисой и фокусом через p. Величину p называют
параметром параболы. Тогда можно записать координаты
фокуса:
.
Пусть M(x,y) – произвольная точка плоскости. Из
точки М опустим перпендикуляр NM на директрису.
Можно записать координаты точки N:
.
Из определения параболы следует, что точка M будет
лежать на данной параболе тогда и только тогда, когда
(21).
Чтобы получить искомое уравнение параболы, в
равенстве (21) заменим
и
их выражениями
через координаты x и y, используя формулу расстояния
между двумя точками:
,
тогда равенство (21) примет вид:
256
(22)
(т.к. точка М должна находиться с той же стороны от
директрисы, что и фокус, т.е.
, то
,
поэтому при извлечении корня мы взяли х + р со своим
знаком).
Уравнение (22) есть искомое уравнение параболы.
Преобразуем это уравнение к более простому виду.
Возведём обе части уравнения (22) в квадрат:
,
,
откуда
(23).
Не доказывая, отметим, что уравнения (22) и (23)
равносильны, поэтому уравнение (23) есть уравнение
данной параболы, наряду с (22).
Уравнение (23) называется каноническим уравнением
параболы.
Утверждение. Парабола есть кривая второго порядка.
Исследуем формулу параболы по её уравнению. Парабола
симметрична относительно оси Ox, т.к. уравнение (23)
содержит у только в чётной степени, поэтому
исследование можно провести только в верхней
полуплоскости, т.е. для
y ≥ 0. Из (23) следует, что x ≥ 0. Учитывая это, из
уравнения (23) найдём
(24).
Из равенства (24) следуют следующие утверждения.
257
1) Если x = 0, то y = 0. Таким образом, начало
координат лежит на параболе, являясь её самой «левой»
точкой.
2) При возрастании x (x ≥ 0) возрастает и y,
причём если x → ∞, то y → +∞.
Таким образом, переменная точка M(x,y) перемещаясь
по параболе, движется из точки (0,0) «вправо» и «вверх».
Отметим без доказательства, что парабола асимптот не
имеет.
Поэтому вид графика параболы в первой четверти
будет:
Отражая симметрично построенную кривую
относительно оси Ox, получим всю параболу
Ось симметрии параболы называется осью параболы, а
точка пересечения параболы с осью параболы называется
вершиной параболы. В данном случае О – вершина
параболы, ось Ox – ось параболы.
258
Замечание. Уравнения , ,
, также определяют параболы с вершиной в точке О
(0,0).
Изобразим их:
Заметим, что ряд траекторий движения тел
представляет собой параболу. Так, артиллерийский снаряд,
выпущенный под углом к горизонту, если пренебречь
сопротивлением воздуха, движется по параболе.
Эллипс, гипербола, парабола как конические сечения.
Теорема. Сечение любого кругового конуса
плоскостью (не проходящей через его вершину)
259
определяется как кривая, которая может быть лишь
эллипсом, гиперболой или параболой.
При этом,
1. Если плоскость пересекает только одну полость
конуса и по замкнутой кривой, то эта кривая есть эллипс;
2. Если секущая плоскость пересекает только одну
полость конуса и по незамкнутой кривой, то эта кривая –
парабола;
3. Если плоскость пересекает обе полости конуса, то в
сечении образуется гипербола (без доказательства).
Эллипсы, гиперболы, параболы называют
коническими сечениями.
Иллюстрацией к данной теореме служит следующая
схема.
Схема «Конические сечения»
260
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]