Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
в) прямые пересекаются;
1
L
2
L
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
:
:
n
zz
m
yy
l
xx
L
n
zz
m
yy
l
xx
L
1
L
),,(
1111
zyxM
2
L
),,(
2222
zyxM
),,(
111
zyx
1M2
L
),,(
111
zyx
2
L
г) прямые скрещиваются.
Рассмотрим, как, зная уравнения прямых, определить
их взаимное расположение. Пусть прямые и заданы
своими каноническими уравнениями
.
Тогда прямая проходит через точку
и имеет направляющий вектор
проходит через точку и имеет
направляющий вектор
совпадают или параллельны, то векторы
. Если прямые
, а прямая
и
компланарны, то есть существует число такое, что
верно равенство
=λ
При этом, если прямые совпадают, то тройка чисел
,являющихся координатами точки , будет
решением уравнения прямой . Если же прямые
параллельны, то тройка чисел не будет решением
уравнения прямой , то есть при подстановке этих чисел
231
.
в уравнение прямой не будут получены верные
2
L
1
M
2
M
1M2
M
2
1
MM
2M1
M
2L1
L
.
числовые равенства.
Если направляющие векторы прямых
и
не
коллинеарны, то прямые либо пересекаются в одной точке,
либо скрещиваются.
Если прямые пересекаются в одной точке, то
либо точки и совпадают, то есть имеют равные
координаты, либо пересекаются в другой точке и тогда
точки и лежат на разных прямых. В последнем
случае векторы
и лежат в одной плоскости
(смотри Рис. 18), то есть компланарны. Условием же
компланарнасти является равенство нулю смешенного
произведения этих векторов. Поэтому, если
,
то прямые пересекаются в одной точке. Если же
смешанное произведение не равно нулю, то прямые
скрещиваются.
232
Рассмотрим пример.
2
1
3
2
1
4
:
2
3
4
1
3
2
:
:2
1
zyx
L
zyx
L
)2(2
34
13
)3,1,2(1M
)1,2,4(2M
Пример.
Определить взаимное расположение прямых
.
Направляющие векторы прямых
не коллинеарны, так как если бы они были коллинеарны,
то существовало бы числотакое, что справедливо
векторное равенство
Или, в координатах
Но, как легко видеть, эта система не совместна.
Следовательно, прямые либо пересекаются в одной точке,
либо скрещиваются. Первая прямая проходит через точку
, вторая через точку , причем эти
233
={3,4,2} и
.
.
точки не совпадают. Найдем смешанное произведение
}2,1,2{
2
1
MM
векторов
и
.
Так как смешанное произведение не равно нулю, то
прямые скрещиваются.
Угол между двумя прямыми определяется как
угол между их направляющими векторами. При этом
необходимо учесть, что в зависимости от выбора
направлений направляющих векторов угол между ними
может быть как острым, так и тупым (или прямым). Так,
если в качестве направляющих векторов (см. Рис.) выбрать
, то угол между ними будет острым. Этот угол равен
острому углу между прямыми. Если же в качестве
направляющих векторов выбрать
, то угол между
ними равен тупому углу между прямыми.
234
Косинус угла между направляющими векторами
0cos
0cos
3
1
5
2
4
4
5
3
4
1
3
2
zyx
и
zyx
можно определить через скалярное произведение по
формуле:
При этом, если , то получаем, что угол
острый угол между прямыми. Если же , то угол
является тупым углом между прямыми. Однако,
острый и тупой угол в сумме составляют 180o. Поэтому,
найдя один из них, легко можно найти и другой. Если же
воспользоваться формулой
то всегда будем получать острый угол между
прямыми (или прямой). Рассмотрим пример.
.
,
Пример.
Найти угол между прямыми
235
Направляющие векторы прямых равны
50
23
arccos
и
. Следовательно, воспользовавшись
формулой для нахождения косинуса острого угла, получим
.Тогда острый угол между прямыми равен
236
§ 26. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРЯМУЮ И
ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прямая в пространстве может быть задана как
пересечение двух не параллельных плоскостей:
и прямая L каноническими уравнениями
Запишем нормальный вектор плоскости α и
направляющий вектор прямой L.
Угол между прямой и плоскостью.
Опр. Углом между прямой и плоскостью называется
острый угол φ между прямой и ее проекцией на плоскость.
Обозначим через θ угол между нормальным вектором
плоскости α и направляющим вектором прямой L.
Рассмотрим два случая.
1. Случай. Пусть θ ≤ 90°
Тогда , а значит,
2. Случай. Пусть θ> 90°
237
Тогда , а значит,
Таким образом в любом случае
(1)
Используя формулу для определения косинуса угла
между векторами
Получим из (1)
Т.к.
,
,
то получим:
(2)
По этой формуле определяется угол между прямой и
плоскостью в пространстве.
Условия параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости.
Условия параллельности прямой L и плоскости α
(включая принадлежность L к α) эквивалентно условию
перпендикулярности векторов и .
238
А т.к. условием перпендикулярности векторов
является равенство нуля их скалярного произведения, то
получаем
или (3)
Это есть необходимое и достаточное условие
параллельности прямой и плоскости в пространстве.
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости α
эквивалентно условию коллинеарности векторов и .
А т.к. условие коллинеарности векторов есть
пропорциональность соответствующих координат
векторов, то получаем
(4)
Это есть необходимое и достаточное условие
перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
Итак, в § 24-26 мы рассмотрели различные виды
уравнений плоскости и прямой в пространстве и ряд задач
на плоскость и прямую в пространстве. Основные
результаты приведены в свободной таблице-схеме
«Плоскость и прямая в пространстве».
239
Схема «Плоскость и прямая в пространстве»
Плоскость
Прямая
общее уравнение
плоскости
Канонические
уравнения прямой
Нормальный вектор
плоскости
Направляющий вектор
прямой
Уравнение плоскости,
проходящее через данную
точку перпендикулярно
данному вектору
Уравнение прямой,
проходящей через две
данные точки
Расстояние от точки до
плоскости
Параметрические
уравнения прямой
Угол между прямой и
плоскостью
Условия параллельности
Двух
плоскостей
Двух прямых
Прямой и
плоскости
240
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]