Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Условия перпендикулярности
Двух плоскостей
Двух прямых
Прям
ой и
плоскости
241
§ 27. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Опр. Кривой второго порядка называется линия,
определяемая уравнением второй степени.
,
где хотя бы один из коэффициентов А, В, С не равен
нулю.
В этом параграфе будут рассмотрены три вида линий:
эллипс, гипербола и парабола, уравнения которых в
декартовой прямоугольной системе координат являются
уравнениями второй степени. Основной целью параграфа
является ознакомление с важнейшими геометрическими
свойствами указанных линий. С этими линиями часто
встречаются в различных областях естествознания.
Например, движение материальной точки под
воздействием центрального поля силы тяжести происходит
по одной из этих линий. К числу наиболее замечательных
свойств эллипса, гиперболы и параболы относятся так
называемые оптические свойства, о которых мы будем
говорить ниже.
Эллипс.
Опр. Эллипсом называется множество всех точек
плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных
точек, называемых фокусами, есть величина постоянная,
больше, чем расстояние между фокусами.
Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2, расстояние
между фокусами через 2С, т.е.
, а сумма
расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов
через 2а> 2С, т.е. а> С.
Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову
прямоугольную систему координат следующим образом.
Ось Ox проведём через фокусы F1 и F2, а ось Oy – через
242
середину отрезка F1F2. Координаты фокусов в выбранной
системе координат будут F1 (-С,0), F2 (С,0).
Пусть M(x,y) – произвольная точка плоскости. Из
определения эллипса следует, что точка M будет лежать на
данном эллипсе тогда и только тогда, когда
(1)
Чтобы получить искомое уравнение эллипса, в
равенстве (1) заменим
и
их выражениями
через координаты x и y, используя формулы расстояния
между двумя точками:
тогда равенство (1) имеет вид:
(2)
Уравнение (2) и есть искомое уравнение эллипса.
Преобразуем это уравнение к более простому виду.
Перенесем второй радикал в правую часть уравнение (2),
после чего возведем обе части полученного равенства в
квадрат:
,
Перенесем член с радикалом в левую часть равенства,
а остальные в правую часть равенства, где затем раскроем
скобки:
243
отсюда получаем:
или
Возведем в квадрат обе части последнего равенства,
получим:
или
,
откуда
т.е.
(3)
Введем в рассмотрение новую величину
(4)
геометрический смысл которой будет раскрыт позже.
Заметим, что т.к. по условию a>c, то a2>c
2
, т.е.
и b – положительное вещественное число. Из равенства (4)
имеем:
(5)
Используя равенство (5), уравнение (3) можно
переписать в виде
или, разделив части этого равенства на
, будем
иметь:
(6)
244
Несмотря на двукратное возведение в квадрат при
получении уравнения (6) из уравнения (2) эти два
уравнения равносильны (обоснование этого факта
опустим). Поэтому уравнение (6) есть уравнение данного
эллипса наряду с (2).
Уравнение (6) называется каноническим уравнением
эллипса.
Утверждение. Эллипс есть кривая второго порядка.
Исследуем форму эллипса путем анализа его
канонического уравнения.
Т.к. уравнение (6) содержит члены только с четными
степенями координат х и у, то эллипс, определяемый
уравнением (6), симметричен относительно координатных
осей Ox и Oy. Поэтому исследование формы эллипса
достаточно провести в первой координатной четверти.
Из уравнения (6) найдём у, учитывая, что в первой
четверти у ≥ 0:
или
откуда
(7)
причем для первой четверти y как функция от x
определяется при 0 ≤ x ≤ a.
Из равенства (7) вытекают следующие утверждения.
1) Если x = 0, то y = b. Следовательно, точка (0,b)
лежит на эллипсе. Обозначим ее через B.
2) Если x = a, то y = 0. Следовательно, точка (a,0)
лежит на эллипсе. Обозначим ее через A.
245
3) Если x увеличивается от 0 до a, то y уменьшается от
b до 0. Таким образом, переменная точка M(x,y),
описывающая рассматриваемый эллипс, с ростом x
движется «вправо» и «вниз».
Итак, частью эллипса, расположенной в первой
координатной четверти, является изображенная на рисунке
дуга BA.
Отражая симметричную дугу BA относительно
координатных осей, получим весь эллипс.
Оси симметрии эллипса называют осями эллипса, а
точку пересечения осей - центром эллипса. Точки, в
которых эллипс пересекает свои оси, называются
вершинами эллипса. Таким образом, точки А, В, А1, В1 –
вершины эллипса. Заметим, что осями эллипса принято
также называть числа 2а, и 2b : 2а – большая ось эллипса,
2b – малая ось эллипса, естественно, это для случая, когда
фокусы эллипса находятся на оси Ox, т.е. когда в силу
равенств (4) b<а. Числа а и b принято
246
называть полуосями эллипса: a – большая полуось,
эллипса, b – малая полуось эллипса.
Пример. Найти уравнение эллипса, если его большая
полуось равна 25, а расстояние между фокусами равно 40.
Решение. По условию a = 25, 2с = 40, т.е. c = 20. По
формуле (5) находим .
Подставляя в уравнение (6) значения a2 и b2, получим
искомое уравнение эллипса:
Сделаем чертеж, учитывая, что a = 25, b = 15
Значение. Если фокусы F1 и F2 совпадают, т.е. c = 0, то
a = b, уравнение (6) принимает вид:
или
(8)
Это уравнение определяет окружность с центром в
начале координат и радиусом, равным a. Таким образом,
окружность есть частный случай эллипса (или предельный
случай при c → 0, т.е. когда два фокуса сливаются в один).
Введем понятие еще одной величины,
характеризующей форму эллипса.
247
Опр. Эксцентриситетом эллипса называется
отношение
, где с – половина расстояния между
фокусами, а – большая полуось эллипса.
Обозначается эксцентриситет буквой ε:
(9)
Т.к. с>а, то 0 ≤ ε< 1, т.е. эксцентриситет эллипса
меньше единицы, причём для окружности ε = 0.
Эксцентриситет характеризует меру вытянутости
эллипса, т.е. при очень малом эксцентриситете эллипс
близок к окружности, если же значение эксцентриситета
ближе к единице, то эллипс сильно вытянут вдоль
большой оси. Как известно, планеты солнечной системы и
некоторые кометы движутся по эллиптическим
траекториям. Сказывается, что эксцентриситеты
планетных орбит весьма малы, а кометных – велики, т.е.
близки к единице. Так, для Земли ε = 0,0167, для кометы
Галлея ε = 0,967. Таким образом, планеты движутся почти
по окружностям, а кометы то приближаются к солнцу
(солнце находится в одном из фокусов), то значительно
удаляются от него.
Пример. Найти эксцентриситет эллипса.
Сделать чертеж.
Решение. Из уравнения эллипса имеем:
, ,
поэтому в силу равенства (5) получим:
откуда с = 24 т.к. a2 = 676, то a = 26. Следовательно,
248
Построим график эллипса, учитывая, что a = 26,
.
Замечание. Интересно, что эллипс получается при
проектировании окружности на плоскости, не
перпендикулярную и не параллельную плоскости
окружности.
Гипербола.
Опр. Гиперболой называется множество всех точек
плоскости, для которых модуль разности расстояний от
двух данных точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная, меньше, чем расстояние между фокусами, и не
равная нулю.
Обозначим фокусы гиперболы через F1 и F2,
расстояние между фокусами через 2С, т.е.
, а
модуль разности расстояний от произвольной точки
гиперболы до фокусов через 2а< 2С, т.е. а< С, а ≠ 0.
Выведем уравнение гиперболы, выбрав декартову
прямоугольную систему координат следующим образом:
ось Ox проведём через фокусы F1 и F2, а ось Oy – через
середину отрезка F1F2. Координаты фокусов в выбранной
системе координат будут F1 (-С,0), F2 (С,0).
249
Пусть М(х,у) – произвольная точка плоскости. Из
определения гиперболы следует, что точка М будет лежать
на данной гиперболе тогда и только тогда, когда
(10)
или
(11)
Чтобы получить искомое уравнение гиперболы, в
равенстве (11) заменим
и
их выражениями
через координаты x и y, используя формулы расстояния
между двумя точками:
тогда равенство (11) имеет вид:
(12)
Уравнение (12) и есть искомое уравнение гиперболы.
Введём в рассмотрение новую величину
(13)
геометрический смысл которой будет раскрыт позже.
Заметим, что т.к. по условию а<с, то а2<с
2
т.е.
и b – положительное вещественное число. Из равенства
(13) имеем:
(14)
Выполнив преобразования, аналогичные тем, которые
были сделаны при выводе канонического уравнения
250
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]