Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
3. Прибавление ко всем элементам
одной строки соответствующих элементов
другой строки, умноженных на любое число.
Аналогично для столбцов.
Утверждение 2. Элементарные преобразования
матрицы не меняют её ранга.
Это утверждение приведено без
доказательства, оно достаточно сложное.
Так, если матрица А приведена с помощью элементарных
преобразований к матрице ступенчатого вида вида В,
имеющий ранг r, то и ранг матрицы А равен r:
На этом основана идея определения ранга матрицы
путём приведения её к ступенчатому виду .
Если матрица В получена из матрицы А с помощью
элементарных преобразований, то будет использоваться
запись: А~В( А эквивалентно В).
Покажем на примере, как можно с помощью
элементарных преобразований привести матрицу А к
ступенчатому виду и определить ранг матрицы А.
Схематично указание элементарных преобразований
над строками и столбцами будем записывать, пользуясь
той же символикой, что и для определителей в §2.
Условимся указание преобразований заключать в рамку,
если оно предназначено для столбцов.
Пример. Привести матрицу к ступенчатому виду.
41
Если А≠0, а , то простой перестановкой строк и
столбцов можно добиться того, чтобы на месте
был
элемент, отличный от нуля. В рассматриваемой матрице
Выполним такие преобразования матрицы над
строками, в результате которых все остальные элементы 1го столбца будут нули:
П-2*1, Ш-3*1, 1У-2*1. Имеем:
Переставим 2-й и 5-й столбцы: , тогда на
месте элемента
получим единицу:
.
Выполним преобразования над строками, в результате
которых все элементы 2-го столбца под элементом,
стоящим на месте
, будут равны 0:111-11 и 1У+2*11,
получим:
42
Переставим третью и четвёртую строку: Ш↔1У ,
получим:
Полученная матрица имеет ступенчатый вид. Т.к. ранг
матрицы В, согласно утверждению 1, равен трём: r(B)=3,
то и ранг матрицы А, согласно утверждению 2, равен трём:
r(A)=3.
Заметим, что очень часто при преобразовании
вычёркиваются строки матрицы, все элементы которых
равны нулю.
Понятие о линейной зависимости.
Обозначим строки матрицы
Соответственно через
43
Т.к. строки матрицы сами являются матрицами, то над
ними можно как над матрицами производить линейные
операции: умножение всех элементов строки на число,
отличное от нуля, сложение соответствующих элементов
двух строк. Например, если мы имеем выражение 2-3
то означает, что все элементы 1-й строки умножены на 2,
все элементы 2-й строки умножены на (-3) и
соответствующие элементы полученных строк сложены.
Опр. Если
,
где
– некоторые числа, то говорят, что 1-ая
строка матрицы линейно выражается через остальные
строки, или, что строка
является линейной комбинацией
строк
Аналогично в других случаях.
Опр. Строки
называются линейно
зависимыми, если существуют числа не
равны нулю одновременно, для которых имеет место
равенство:
, (1)
Где 0-нуль-матрица(в данном случае строка из n
нулей).
Опр. Строки
называются линейно
независимыми в противном случае, т.е. если равенство (1)
имеет место только при всех .
44
Утверждение. Строки
линейно зависимы
тогда и только тогда, когда одна из них может быть
представлена как линейная комбинация остальных.
Док-во. Необходимость. Пусть строки
линейно зависимы, тогда имеет место равенство (1),
причём не все из чисел
равны нулю.
Предположим для определённости, что , тогда,
разделив равенство (1) на
, получим:
Откуда
Т.е. -линейная комбинация строк
Достаточность. Если, например, строка
линейной комбинацией строк
,то
, ч. и т.д.
является
:
.
Так как в последнем равенстве множитель при
отличен от нуля (он равен единице), то строки
линейно зависимы согласно линейной
зависимости ч. и т.д.
Замечание. Аналогичные понятия линейной
зависимости и линейной независимости можно ввести и
для столбцов матрицы.
45
Теорема (о ранге матрицы). Если ранг матрицы равен
r, то в этой матрице можно найти r линейно независимых
строк (столбцов), через которые линейно выражаются все
остальные строки ( столбцы).
Другая формулировка этой теоремы: ранг матрицы
равен максимальному числу линейно независимых строк
матрицы( аналогично для столбцов).
Теорему о рангах приводят без доказательства.
Замечание.R линейно независимых строк матрицы, (r
линейно независимых столбцов) о которых говорится в
теореме о ранге, составляют базисный минор этой
матрицы.
Итак, в этом параграфе мы познакомились с понятием
ранга матрицы и методами его вычисления, в том числе и
метод приведения матрицы к ступенчатому виду,
рассмотрели элементарные преобразования матрицы, не
меняющие её ранг.
46
§7. ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ.
В этом параграфе мы покажем, как ранг матрицы
используется для решения вопроса о разрешимости систем
линейных уравнений.
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n
неизвестными:
(1)
Обозначим через А матрицу системы (1), через В –
расширенную матрицу этой системы, т.е.
В=
A=
Очевидно, что r(A)≤r(B), т.к. каждый минор матрицы
А будет и минором матрицы В, но не наоборот.
Теорема. ( Кронекера-Капелли). Система (1) совместна
тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы
равен рангу расширенной матрицы:
Примем эту теорему без доказательства.
47
Заметим, что теорема Кронекера-Капелли даёт только
критерий совместности системы, но не метод её решения.
Исследование системы на совместимость полезно
начинать с вычисления ранга матрицы В путём
преобразования её к ступенчатому виду. Попутно иногда
преобразуется и матрица А. Если r(A)≠r(B), то система
несовместна и исследование системы закончено.
Правило решения совместной системы.
Пусть система (1) совместна т.е. r(A)=r(B).
Откуда следует, что r≤n. Выберем базисный минор
матрицы А. Тогда это будет и ненулевой минор r-го
порядка матрицы В. Но ненулевого минора большего
порядка, чем у матрицы А не может быть, т.к. r(B)=r,
поэтому выбранный минор и будет базисный минор
матрицы В. По теореме о ранге матрицы В r строк
(входящих в базисный минор) линейно независимы, а
остальные m-r строк выражаются линейно через эти r
строк, откуда следует, что системы (1) равносильна
системе из r уравнений, соответствующих базисному
минору матрицы А. Остальные уравнения ( следствия этих
уравнений) можно отбросить и решать укороченную
систему из r уравнений с n неизвестными. Так как r≤n, то
рассмотрим два случая.
А) Пусть r=n. Тогда имеем систему r уравнений с r
неизвестными. Определитель системы не равен нулю, т.к.
это базисный минор. Следовательно, укороченная систему
имеет единственное решение (например по правилу
48
Крамера), поэтому и система (1) имеет единственное
решение.
Б) Пусть r<n. Т.е. неизвестные, коэффициенты при
которых входят в базисный минор, называются базисными
неизвестными, их число равно r. Остальные n-r
неизвестных называются свободными.
Перенёс члены со свободными неизвестными в правые
части уравнений системы (1). Из полученной системы (r
уравнений с r неизвестными) выразим базисные
неизвестные через свободные (например, по формулам
Крамера, т.к. определитель этой системы не равен нулю).
Придавая свободным неизвестным произвольные
значения, будем получать соответствующие значения
базисных неизвестных. Таким образом, в этом случае
укороченная система имеет бесконечно много решений и
исходная система (1) тоже.
Из сказанного следует теорема.
Теорема ( о совместной системе). Совместная система
(1) имеет единственное решение, если ранг матрицы А
равен числу неизвестных (r=n) и имеет бесконечно много
решений, если r<n.
Проиллюстрируем правило решения совместной
системы на следующем примере.
Пример. Исследовать систему уравнений:
49
Решение: Матрица А и расширенная матрица В этой
системы имеют вид:
А=
, В=
Вертикальной чертой мы отделили свободные члены
системы.
Начнём с нахождения ранга матрицы В. Очевидно, что
r(B)≤3.
Выполним ряд преобразований над строками матрицы
В:
Нетрудно видеть, что r(A)=r(B)=2. Следовательно,
система совместна.
В качестве базисного минора матрицы А возьмём
минор
т.к.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]