Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Примем эту теорему без доказательства.
Укажем способ нахождения обратной матрицы на
примере матрицы 3-го порядка.
Пусть дана матрица
А=
и её определитель не равен нулю. Чтобы найти
надо
1)Составить матрицу из алгебраических дополнений
элементов матрицы А и транспонировать её. Полученная
на
матрица называется присоединённой к А и обозначается
;
2)Разделить присоединённую матрицу
определитель матрицы А: полученная матрица и будет
обратной к А:
Пример: Найти матрицу, обратную к матрице
А=
,
:
31
Решение. Вычислим определитель матрицы А:
, следовательно, существует
алгебраические дополнения матрицы А:
. Вычислим
=
=-
=
=-
=-
=
=
=-
=
Составим присоединённую к А матрицу
Тогда
:
Итак, в этом параграфе мы рассмотрели
действия, которые можно производить над
матрицами, познакомились с понятием и
вычислением обратной матрицы, которая
используется при решении линейных систем
матричным методом.
32
§5 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ.
Рассмотрим линейную систему из трёх
уравнений с тремя неизвестными.
(1)
В §3 мы решали такую систему по формулам
Крамера. Здесь мы будем решать её матричным
способом.
Рассмотрим матрицу из коэффициентов при
неизвестных (матрицу системы):
А=
А также столбец из неизвестных и столбец из
свободных членов.
X=
B=
Очевидно, что
АХ=
33
Это означает, что системы (1) может быть
записана в матричной форме:
(2)
Теорема. Если определитель матрицы не равен
нулю, то система (1) имеет единственное решение:
(3)
Док-во. Проверим сначала, что если решение
существует, то оно единственно. Пусть Х-решение
матричного уравнения (2), тогда умножим (2) на
с левой стороны:
Но
ЕХ=
Так как ЕХ=Х, то
Х=
Единственность решения установлена.
Покажем теперь, что решение существует. Для
этого подставим Х= в левую часть матричного
уравнения (2):
Следовательно, – матричное решение
уравнения (2).
Пример. Решить матричным методом систему.
Решение. Здесь
34
А=
, В=
, X=
Заметим, что матрица
найдена в §4.
Поэтому
Следовательно,
Итак, мы рассмотрели применение матриц для
записи линейной системы и записи её решения. С
помощью матриц компактную форму принимают
многие формулы алгебры и анализа. Сами матрицы
представляют собой удобную форму представления
информации. Например, двумерные массивы
данных при вычислениях – это матрицы. Теория
матриц находит широкое применение в
вычислительной математике, физике, экономике и
других областях науки.
35
§6. РАНГ МАТРИЦЫ.
Для решения вопроса о разрешимости системы
линейных уравнений и других вопросов
необходимо ввести понятие ранга матрицы, что мы
и сделаем в этом параграфе.
Рассмотрим матрицу А размера m×n
A=
,
Причём А≠0
Пусть в матрице выделены k строк и k столбцов
(1≤k≤n, 1≤k≤m).
Опр. Минором k-го порядка матрицы А
называется определитель матрицы, образованный
пересечением любых K строк и K столбцов
матрицы А.
Будем рассматривать всевозможные миноры
матрицы А различных порядков.
Есть несколько подходов при определении
ранга матрицы.
Опр. Рангом матрицы А называется
наибольший из порядков её миноров, отличных от
нуля.
Ранг матрицы А обозначается через r(A).
36
Таким образом, если ранг матрицы равен r, то
среди миноров r-го порядка этой матрицы найдётся
по крайней мере один, отличный от нуля, а все
миноры, порядок которых выше r, равны нулю.
Ранг нуль матрицы принимается равным нулю:
Таким образом, ранг имеет любая матрица.
Ранг матрицы размера m×n не превосходит
меньшего из чисел m и n (r≤m, r≤n). Для квадратной
матрицы n-го порядка r≤n, причём r=n тогда и
только тогда, когда detA≠0.
Опр. Всякий отличный от нуля минор матрицы
А, порядок которой равен её рангу r, называется
базисным минором матрицы А.
Ранг матрицы можно найти непосредственно по
определителю, т.е. вычислением её миноров.
Продемонстрируем это на примерах.
Пример. Найти ранг матрицы.
Решение. Ясно, что r(A)≠0. Т.к.
, то r(A)=2.
Пример. Найти ранг матрицы и её базисный
минор.
Решение. Ясно, что r(A)=min
, т.е. r(A)≤2
37
, но
,
Следовательно, r(A)=2 и минор второго порядка
, то этот минор базисный. А минор
второго порядка
не является базисным, т.к. он равен
нулю. Так как ещё 1 возможный минор второго
порядка рассматриваемой матрицы
то в
данной матрице всего один базисный минор. А
вообще в матрице может быть несколько базисных
миноров.
Пример. Найти ранг и несколько базисных
миноров матрицы.
Решение. Очевидно, что r(A)≤3. Миноров 3-го порядка
всего один. Вычислим его:
Следовательно, r(A)≤3. Вычислим миноры 2-го
порядка, например:
38
Т.к. имеется не равный нулю минор 2-го порядка, то
по определению ранга матрицы r(A)=2. По определению
базисного минора, минор
есть базисный.
Данная матрица имеет несколько базисных миноров.
Например.
и т.д.
Замечание. Т.к. число миноров матрицы m×n может
быть очень велико. То нахождение ранга матрицы,
основанное на их вычислении (согласно определению
ранга матрицы), весьма затруднительно.
Например, при вычислении ранга матрицы
нам пришлось бы вычислять 10 возможных для данной
матрицы миноров третьего порядка, последовательно
убеждаясь, что все они равны нулю. И только после
нахождения, например, минора И только после
нахождения, например, минора
можно
было бы сделать вывод, что r(A)=2.
Т.е. перебирать все миноры в поисках отличного от
нуля- задача, связанная с большими вычислениями, если
размеры матрицы не очень малы.
Существуют другие методы вычисления ранга
матрицы, один из которых, метод приведения матрицы к
ступенчатому виду, мы и рассмотрим ниже.
39
Опр. Матрица В размера m×n называется ступенчатой,
если она имеет вид:
В=
(за чертой (m-r) строк и (n-k) столбцов)
Где
не равные нулю числа, звёздочками
обозначены некоторые числа (могут быть и нули), там, где
стоят 0, предполагаются все элементы, равные нулю; m-
r≥0, n-r≥0.
Утверждение 1. Ранг матрицы В ступенчатого вида
равен r.
Док-во. Действительно, минор r-го порядка,
составленный из первых r строк и первых r столбцов
матрицы, есть определитель треугольного вида. Он равен,
как было доказано, произведению
, т.е.
отличен от нуля. Все возможные миноры более высокого
порядка, чем r, равны нулю, т.к. соответствующие матрицы
содержат строку, целиком состоящую из нулей.
Оказывается, что любую матрицу А можно привести к
ступенчатому виду с помощью так называемых
элементарных преобразований.
Под элементарными преобразованиями понимают:
1. Перестановку строк матрицы
2. Умножение какой-либо строки на
число, отличное от нуля.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]