Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
§10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
b
r
b
r
Введем операции сложения и вычитания векторов.
Опр. Пусть даны два вектора
и
.
От конца вектора
отложим вектор
(это можно
сделать согласно теореме 1). Затем соединим отрезком
начало вектора и конец вектора
отрезка поставим стрелку у конца вектора
вектор называется суммой векторов и
.
. У полученного
. Полученный
и обозначается
Такое сложение векторов называется сложением
векторов по правилу треугольника.
Введем понятие нулевого вектора.
71
Опр. Нулевым вектором называется вектор, у которого
начало совпадает с концом, т.е. точка. Нулевой вектор
обозначается символом
.
Часто используется другой способ сложения
векторов – сложение векторов по правилу
параллелограмма. Сформулируем это правило в виде
теоремы.
Теорема. Пусть даны два вектора и
. Выберем в
пространстве какую-нибудь точку A и от этой точки
отложим векторы и
(это можно сделать согласно
теореме 1). Затем
через конец вектора
параллельную вектору , а через конец вектора
прямую, параллельную вектору
проведем прямую,
проведем
. Получим
параллелограмм . Соединим отрезком точки и
(диагональ параллелограмма) и поставим стрелку у
точкиC. Тогда вектор будет равен сумме
72
Док-во Имеем
(согласно свойствам
параллелограмма). Но тогда по определению суммы
векторов (сложение по правилу треугольника)
.
Сформулируем свойства операции сложения.
Теорема.
Имеют место следующие свойства операции
сложения:
Док-во: 1) Если складывать и
по правилу
параллелограмма, то векторы и являются
диагональю одного и того же параллелограмма и поэтому
равны.
2) Из Рис. 7 видно, что при сложении векторов
и и при сложении векторов и
получается один
и тот же вектор.
73
3) Если от конца вектора
отложить нулевой вектор,
то конец нулевого вектора будет совпадать с концом
вектора . Поэтому .
Введем понятие вектора, противоположного вектору
.
Опр. Вектором, противоположным вектору
называется вектор, коллинеарный вектору
длину, равную длине вектора
и противонаправлен
вектору . Вектор, противоположный вектору
обозначать символом -
Теорема. Для любого вектора
.
Док-во. Если от конца вектора
справедливо равенство
отложить вектор
, имеющий
, будем
, то конец вектора совпадет с началом вектора
Но это и означает, что
.
Замечание.
Если вектор обозначается парой букв, например,
(первая буква соответствует началу, вторая буква
соответствует концу), то правило сложения векторов по
правилу треугольника можно записать так
В этой записи конец вектора
вектора
. В результате получается вектор с началом в
совпадает с началом
точке и концом в точке C .
.
.
Если дан вектор , то вектор
противоположный вектору . В самом деле, вектора
коллинеарны, имеют одинаковую длину, но
74
есть вектор,
и
направлены в противоположные стороны. Итак,
.
Определим операцию разности двух векторов.
Опр. Разностью двух векторов и
называется такой
вектор , что справедливо равенство . Разность
векторов и обозначается
, то
.
Если даны векторы и , то вектор
. Таким образом, если
можно
построить так. Отложим от одной и той же точки векторы
и
.
Соединим отрезком концы этих векторов и у полученного
отрезка поставим стрелку у конца вектора
таким построением вектор и будет вектор
самом деле, как видно из рисунка
. Полученный
. В
75
Вектор
складывая векторы и (-
теорема.
Теорема.
можно также построить
), т.е. имеет место следующая
Док-во. Пусть даны векторы и
. Отложим от общей
точки
векторы , и . Векторы и сложим по
правилу параллелограмма. Фигура является
параллелограммом. Поэтому векторы и
равны. Отметим, что аналогичное свойство есть у чисел.
Введем еще одну операцию с векторами – умножение
вектора на число.
76
Опр. Пусть дан вектор
a
0,0
a
числа λ на вектор
определяемый следующими условиями (при
):
называется вектор, обозначаемый
и число λ. Произведение
и
1) вектор коллинеарен вектору
2)
3) Вектор сонаправлен с вектором
противонаправлен вектору , если λ < 0. Если λ = 0 или
, то по определению полагают, что
свойство два остается справедливым.
Рассмотрим пример.
Пример.
Дан вектор и число λ = 2. Построить вектор 2
если λ > 0 и
. При этом
.
77
Решение.
Возьмем в пространстве произвольную точку и
через нее проведем прямую, параллельную вектору
точки отложим отрезок, длина которого равна 2|
. От
Стрелку поставим у того конца отрезка, чтобы
получившийся вектор был сонаправлен с вектором
Построенный вектор и будет равен вектору 2
Действительно, он сонаправлен с
числу |2||
|.
, а длина его равна
Перечислим свойства операции умножения числа
на вектор.
Теорема. Имеют место следующие свойства операции
умножения на число:
|.
.
.
78
Эти свойства следуют из определения операций
сложения и умножения на число и доказываются с
помощью элементарной геометрии.
С помощью операции умножения числа на вектор
можно сформулировать необходимое и достаточное
условие коллинеарности двух векторов.
Теорема. Пусть даны два ненулевых вектора и
Для того, чтобы они были коллинеарные необходимо и
достаточно, чтобы существовало число λ такое, что
справедливо равенство
.
Док-во. Если
произведения числа на вектор векторы и
, то согласно определения
коллинеарные.
Обратно. Пусть и
коллинеарны и
сонаправлены.
Пусть
.
Тогда . В самом деле, и
сонаправлены
(т.к. ) и имеют одинаковую длину:
79
(по определению умножения вектора на число и т.к.
λ>0). Длина вектора равна
. Это следует из соотношения (1). Если и
противонаправлены, то положим
Тогда . В самом деле, и
(т.к. λ<0, а и
противонаправлены). Длины этих
векторов соответственно равны: и
сонаправлены
. Последнее равенство следует из (2) и из-
за того, что | λ| = - λ (λ-отрицательное число).
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]