Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Поэтому за базисные неизвестные примем
свободными неизвестными будут и
, а в исходной
системе оставим только первое и второе уравнения:
Переписав систему в виде
Выразим , через и
:
,
(где и (-,+)). Получим запись бесконечного
множества решений данной системы.
Придавая и
различные числовые значения, будем
получать различные решения данной системы уравнений.
51
Например, при , получим:
,
т.е. одно из решений системы будет:
,
, , .
Итак, в этом параграфе мы рассмотрели теорему
Кронекера-Капелли, которая позволяет исследовать
систему линейных уравнений на совместность, и
познакомились с правилом решения совместной системы.
,
52
§8. МЕТОД ГАУССА
В этом параграфе мы рассмотрим способ решения
линейных систем-метод Гаусса.
Рассмотрим систему из n линейных уравнений с n
неизвестными:
(1)
Требуется решить эту систему в
предположении, что определитель системы .
Ранее было показано, что в этом случае система
имеет единственное решение. Для его отыскания
можно воспользоваться формулами Крамера, но их
применение для решения систем четвёртого и более
высокого порядка не эффективно, поскольку
требует большего числа операций. То же самое
можно сказать и о матричном методе решения
линейных систем.
Для решения линейных систем, содержащих
примерно до 200 уравнений, довольно часто
применяют метод Гаусса и его модификации. Этот
метод тоже называется методом исключения
неизвестных.
Идея, используемая в этом методе, применялась
ещё в Древнем Китае, во втором веке до нашей эры.
Тогда метод исключения неизвестных применяли в
основном для решения систем с целочисленными
коэффициентами.
53
Ранее было сформулировано утверждение, что
элементарные преобразования преобразует матрицу
в эквивалентную матрицу. При этом под
элементарными преобразованиями матрицы
понимают перестановку строк матрицы; умножение
какой-либо строки на число, отличное от нуля;
прибавление ко всем элементам одной строки
соответствующих элементов другой строки,
умноженных на некоторое число.
Аналогично определяются элементарные
преобразования системы линейных уравнений.
Элементарными преобразованиями системы
линейных уравнений называются следующие
преобразования:
1. Перестановка двух уравнений
системы
2. Умножение обеих частей уравнение
на отличное от нуля число
3. Прибавление к одному уравнению
другого уравнения, умноженного на некоторое
число.
Опр. Две линейных системы называются
равносильными, если они обе не совместны,
либо обе совместны и имеют одни и те же
решения.
Утверждение. Элементарные
преобразования системы линейных уравнений
преобразуют её в равносильную систему
линейных уравнений.
Элементарные преобразования системы (1)
соответствуют элементарным преобразованиям
строк её расширенной матрицы, т.е. матрицы
вида:
54
Прямой ход метода Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса состоит в
преобразовании системы линейных уравнений
(1) к равносильной ей системе более простого
вида
(2)
Путём последовательного исключения
неизвестных.
Матрица коэффициентов при неизвестных
системы (2) имеет вид:
Такая матрица, где ниже главной диагонали
все элементы матрицы равны нулю, называется,
как известно, треугольной.
Когда определитель системы (1) не равен
нулю, прямой ход метода Гаусса состоит из (n-1)
шагов (n-число неизвестных). На первом шаге
переменная
кроме первого. На втором шаге переменная
исключается из всех уравнений,
55
исключается из всех уравнений, кроме первого и
второго. На третьем шаге
исключается из
всех уравнений кроме первого, второго и
третьего. И так далее…
На (n-1)-ом, последнем, шаге переменная
исключается из последнего, n-го
уравнения. На каждом шаге выбирается ведущее
неизвестное
при нём
(i=1,2,…,n-1), а коэффициент
(i=1,2,…,n-1), называется ведущим
коэффициентом, не должен быть равен нулю.
Первый шаг. Выбираем ведущий
коэффициент на первом шаге. Удобно взять
(если , то переставим уравнение так,
чтоб коэффициент при
в первом уравнении
стал бы неравным нулю. (Это возможно, так как
определитель системы не равен нулю.) Если
, то первое уравнение оставим без
изменений.
Домножим первое уравнение системы (1) на
коэффициент
уравнению системы. Тогда коэффициент при
и прибавим его ко второму
в преобразованном втором уравнении станет
равным нулю
, а само второе
уравнение можно записать в виде:
Чтобы исключить
из третьего уравнения
системы (1), прибавим к третьему уравнению
первое уравнение, умноженное на
Аналогично исключаем
из остальных
уравнений системы (1). Схематически
.
56
преобразования линейной системы (1) на первом
шаге можно записать так:
………………,
(Здесь через
(i=1,2,…,n) обозначается i-е
уравнение системы (1)).
В результате первого шага получаем
систему вида
(3)
Система (3) характерна тем, что
исключено в ней из всех уравнений, кроме
первого. В дальнейших преобразованиях первое
уравнение уже не участвует.
Второй шаг. Рассмотрим систему из 2-го, 3го,…, n-го уравнений системы (3) её
определитель также не равен нулю, (если
определитель равен нулю, то по свойству
определителей и определитель (1) равен нулю).
Поступим с этой системой так же, как с
системой (1) на первом шаге. Выберем в
57
качестве ведущего коэффициента
. (Если он
равен 0 переставим уравнения). Преобразуем
систему (3) так, чтобы второй столбец её
матрицы имел бы вид второго столбца матрицы
треугольного вида(*). Для этого производятся
преобразования системы (3) аналогичные тем ,
которые использовались на первом шаге для
преобразования системы (1).
Далее так же проводятся 3-й, 4-й, …, (n-1)-й
шаги. После (n-1)-го шага получим линейную
систему вида (2). Поскольку все преобразования
были элементарными, значит, по
сформулированному выше утверждению,
система (2) равносильна системе (1).
Замечание. Запись прямого хода метода
Гаусса можно вести, преобразуя только
расширенную матрицу линейной системы.
Обратный ход метода Гаусса.
Обратный ход метода Гаусса заключается в
последовательном, начиная с и кончая
вычислении значений неизвестных, являющихся
решением системы (2), а значит и системы (1).
Из последнего уравнения системы (2)
находим
Затем из предпоследнего уравнения этой
системы, используя значение
значение
,
Так последовательно находим
,
, вычисляем
,
58
Контроль вычислений.
Для контроля правильности вычисления при прямом
ходе к расширенной матрице системы (1) добавляем
столбец контрольных сумм.
Элементы этого столбца находятся как сумма всех
коэффициентов при неизвестных и свободного члена
каждого уравнения:
Во время прямого хода над элементами контрольного
столбца совершаются те же преобразования, что и над
остальными элементами строк. После каждого
преобразования строки проверяют выполнение свойства
контрольного столбца: контрольный элемент строки
должен быть равен сумме элементов этой строки.
Пример 1.Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение. Составим расширенную матрицу этой
системы, добавив к ней контрольный столбец:
59
Прямой ход. Выбираем ведущий элемент на первом
шаге. Пусть это (для наглядности отметим его).
Прибавим ко второй строке первую строку,
умноженную на
прибавим первую строку, умноженную на
, к третьей строке
.
Используя ранее введённую символику для
обозначения элементарных преобразований, запишем:
Проверяем свойство элемента контрольного столбца:
0-1+1+2=2 (вторая строка),
0+1+5+4=10 (третья строка).
Выбираем ведущий элемент на втором шаге. Им может
быть
Прибавим к третьей строке вторую строку,
умноженную на
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]