Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вейвлет-преобразования в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е.М. ДОНДИК
ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
Учебное пособие
Рязань 2015
УДК 004.4
Вейвлет-преобразования в информационных системах: учеб.
пособие/ Е..М. Дондик; Рязан. гос. радиотехн.
ун-т. Рязань, 2015. 48 с.
В сокращенной форме излагаются математические аспекты
вейвлет-преобразования, применяемого при анализе нестационарных
сигналов произвольной формы. Это преобразование позволяет выделять
особенности и временные параметры процессов, не обнаруживаемые
распространенными методами типа преобразования Фурье.
Предназначено для магистрантов при изучении дисциплины
«Специальные главы математики» направления подготовки
«Информационные системы и технологии».
Ил. 22. Библиогр.: 4 назв.
Вейвлеты, вейвлет-преобразование, вейвлетные функции,
кратномасштабный анализ, вейвлетное сжатие информации
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра автоматизированных систем управления
Рязанского государственного радиотехнического университета (зав.
кафедрой канд. техн. наук, доц. С.И. Холопов)
Д о н д и к Евгений Михайлович
Вейвлет-преобразования в информационных системах
Редактор Р.К. Мангутова
Корректор С.В. Макушина
Подписано в печать 20.03.15. Формат бумаги 60х84 1/16.
Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 3,0.
Тираж 25 экз. Заказ .
Рязанский государственный радиотехнический университет.
390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.
Редакционно-издательский центр РГРТУ.
Рязанский государственный
радиотехнический университет, 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел 1. Основы вейвлет-преобразования .................................................... 4
1.1. Основы вейвлет-преобразования сигналов ........................................ 4
1.2. Оконные преобразования Фурье ......................................................... 8
1.3. Понятие о вейвлет-разложении ........................................................... 9
1.4. Вейвлетный спектр ............................................................................. 11
1.5. Примеры вейвлет-функций ............................................................... 13
Раздел 2. Виды вейвлет-преобразований ...................................................... 13
2.1. Непрерывные вейвлет-преобразования ............................................ 13
2.2. Дискретное вейвлет-преобразование ............................................... 17
2.3. Достоинства и недостатки вейвлет-преобразований ...................... 19
Раздел 3. Понятие вейвлетов .......................................................................... 21
3.1. Определение вейвлетов ...................................................................... 21
3.2. Отображение преобразования ........................................................... 24
3.3. Вейвлетные функции ......................................................................... 25
3.4. Вейвлетные функции Wave, Mhat ..................................................... 26
3.5. Свойства вейвлет-преобразования ................................................... 29
Раздел 4. Применение вейвлет-преобразования ........................................... 30
4.1. Вейвлет-преобразования простых сигналов .................................... 30
4.2. Вейвлетный кратномасштабный анализ .......................................... 34
4.3. Принципы кратномасштабного анализа .......................................... 36
4.4. Математические основы кратномасштабного анализа ................... 40
4.5. Вейвлетные ряды ................................................................................ 44
4.6. Вейвлетное сжатие информации ....................................................... 46
Библиографический список ............................................................................ 48
Раздел 1. Основы вейвлет-преобразования
1.1. Основы вейвлет-преобразования сигналов
Вейвлетный анализ представляет собой особый тип линейного
преобразования сигналов и отображаемых этими сигналами физических
данных о процессах и физических свойствах природных сред и объектов.
Базис функций вейвлет-разложения обладает многими
особенностями. Вейвлетные функции базиса позволяют
сконцентрировать внимание на особенностях анализируемых процессов,
которые не могут быть выявлены с помощью традиционных
преобразований Фурье и Лапласа. К таким процессам относятся поля
различных физических параметров природных сред: температуры,
давления, профилей сейсмических трасс и других физических величин.
Принципиальное значение имеет возможность вейвлетов анализировать
нестационарные сигналы с изменением компонентного содержания во
времени или в пространстве.
Вейвлеты (англ. wavelet – короткая волна) – это обобщенное
название функций определенной формы, локализованных по оси
аргументов (независимых переменных), инвариантных к сдвигу и
линейных к операции масштабирования (сжатия/растяжения), имеющих
вид коротких волновых пакетов с нулевым интегральным значением. Они
создаются с помощью специальных базовых функций, которые
определяют их вид и свойства. По локализации во временном и частотном
представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между
гармоническими (синусоидальными) функциями, локализованными по
частоте, и функцией Дирака, локализованной во времени.
Теория вейвлетов не является фундаментальной физической
теорией, но она дает удобный и эффективный инструмент для решения
многих практических задач. Основная область применения вейвлетных
преобразований – анализ и обработка сигналов и функций,
нестационарных во времени или неоднородных в пространстве, когда
4
результаты анализа должны содержать не только общую частотную
характеристику сигнала, но и сведения об определенных локальных
координатах, на которых проявляются быстрые изменения частотных
составляющих сигнала.
По сравнению с разложением сигналов на ряды Фурье, вейвлеты
способны с гораздо более высокой точностью описывать локальные
изменения сигналов. В отличие от преобразований Фурье, вейвлет-
преобразование одномерных сигналов обеспечивает двумерную
развертку, при этом частота и вторая координата рассматриваются как
независимые переменные, что дает возможность анализировать сигналы
сразу в двух пространствах.
Одна из главных особенностей заключается в разделении функций
приближения к сигналу на две группы: аппроксимирующую – грубую, с
достаточно медленной временной динамикой изменений, и
детализирующую – с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне
плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на
других уровнях декомпозиции сигналов. Это возможно как во временной,
так и в частотной областях представления сигналов вейвлетами.
Долгое время основным средством анализа реальных физических
процессов являлся гармонический анализ на основе преобразования
Фурье. Для применения преобразования разработаны эффективные
вычислительные процедуры типа быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Вейвлетное преобразование имеет много общего с
преобразованием Фурье. В то же время имеется ряд достаточно
существенных отличий. Семейства вейвлетов во временной или
частотной области используются для представления сигналов и функций
в виде суперпозиций вейвлетов на разных масштабных уровнях
разложения сигналов.
Первые теоретические работы по основам вейвлетных
преобразований были выполнены в 90-х годах ХХ века.
5
Математический аппарат вейвлет-преобразований находится в
T
0
n
стадии активной разработки, однако специальные пакеты расширений по
вейвлетам присутствуют в основных системах компьютерной математики
(Matlab, Mathematica, Mathcad и др.).
В настоящее время вейвлет-преобразования и вейвлетный анализ
используются во многих областях науки и техники для решения
различных задач: для распознавания образов, для численного
моделирования динамики сложных нелинейных процессов, для анализа
изображений в медицине, космической технике, астрономии, геофизике.
Часто называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом» для
точного изучения внутреннего состава и структур неоднородных
сигналов и функций. Использование вейвлетного анализа расширяет
инструментальную базу информационных технологий в обработке
данных.
Базис пространства может быть образован любой ортогональной
системой функций. В спектральном анализе используется система
комплексных экспоненциальных функций. Проекции сигнала на базис
определяются выражением:
Sn = (1/T)
s(t) exp(-jn··t) dt, n (-∞, ∞), (1.1)
где =2/T – частотный аргумент векторов. При известных выражениях
базисных функций сигнал s(t) однозначно определяется совокупностью
коэффициентов Sn и может быть абсолютно точно восстановлен
(реконструирован) по этим коэффициентам:
s(t) =
Sn exp (jn··t). (1.2)
Уравнения (1.1) и (1.2) называют прямым и обратным
преобразованием Фурье сигнала s(t).
Ряд Фурье ограничивается определенным количеством членов N.
Ограничение числа членов ряда значением N означает аппроксимацию
бесконечномерного сигнала N-мерной системой базисных функций
6
спектра сигнала с определенной погрешностью в зависимости от
фактического спектра сигнала.
С позиций анализа произвольных сигналов и функций в частотной
области и точного восстановления после преобразований можно отметить
ряд недостатков разложения сигналов в ряды Фурье, которые привели к
появлению оконного преобразования Фурье и стимулировали развитие
вейвлетного преобразования. Отметим основные из них.
1. Ограниченная информативность анализа нестационарных сигналов
и практически полное отсутствие возможностей анализа их
особенностей, так как в частотной области происходит «размазывание»
особенностей сигналов по всему частотному диапазону спектра.
2. Гармонические базисные функции разложения не способны в
принципе отображать перепады сигналов с бесконечной крутизной
типа прямоугольных импульсов, так как для этого требуется
бесконечно большое число членов ряда. При аппроксимации
скачков нелокализованными во времени базисными функциями
необходимо, чтобы суперпозиция этих функций не только
восстановила скачок, но и сами эти функции взаимно
уничтожились за пределами скачка, что делает равнозначимыми
все компоненты его спектра. При ограничении числа членов ряда
Фурье невозможно отобразить окрестности скачков и разрывов
восстанавливаемого сигнала.
3. Преобразование Фурье отображает только глобальные сведения о
частотах сигнала и не дает представления о локальных свойствах
сигнала при быстрых временных изменениях его спектрального
состава. Так, например, преобразование Фурье не отличает сигнал с
суммой двух синусоид от сигнала с двумя последовательно
идущими друг за другом синусоидами с теми же частотами.
Преобразование Фурье в принципе не имеет возможности
анализировать частотные характеристики сигнала в произвольные
моменты времени.
7
1.2. Оконные преобразования Фурье
Частичным выходом из рассмотренной ситуации является так
называемое оконное преобразование Фурье с движущейся по сигналу
оконной функцией, имеющей компактный носитель. Полный временной
интервал сигнала, особенно при большой его длительности, разделяется
на подынтервалы, и преобразование Фурье выполняется последовательно
для каждого окна в отдельности. Тем самым осуществляется переход к
частотно-временному (частотно-координатному) представлению.
Результатом оконного преобразования является семейство спектров,
которым отображается изменение спектра сигнала по интервалам сдвига
окна преобразования. Это позволяет выделять на координатной оси и
анализировать особенности нестационарных сигналов. По существу,
таким преобразованием один нелокализованный базис разбивается на
определенное количество базисов, локализованных в пределах функции
w(t), что позволяет представлять результат преобразования в виде
функции двух переменных – частоты и временного положения окна. При
этом моменты стационарности сигнала надо знать заранее.
Оконное преобразование выполняется в соответствии с выражением:
S(,bk) =
s(t) w(t.-.bk) exp(-jt) dt. (1.3)
Функция w(t.-.b) представляет собой функцию окна сдвига
преобразования по координате t, где параметром b задаются
фиксированные значения сдвига. При сдвиге окон с равномерным шагом
bk = kb. В качестве окна преобразования может использоваться как
простейшее прямоугольное окно [w(t) = 1 в пределах окна и 0 за его
границами]. Специальные весовые окна обеспечивают малое искажение
спектра за счет граничных условий вырезки оконных отрезков сигналов.
Для каждого положения окна на временной оси сигнала вычисляется свой
комплексный спектр. Эффективная ширина оконной функции обычно
постоянна по всему интервалу сигнала.
8
1.3. Понятие о вейвлет-разложении
Гармонические базисные функции преобразования Фурье
предельно локализованы в частотной области и не локализованы во
временной. Их противоположностью являются импульсные базисные
функции типа импульсов Кронекера, которые предельно локализованы во
временной области и «размыты» по всему частотному диапазону.
Вейвлеты по локализации в этих двух представлениях можно
рассматривать как промежуточные функции между гармоническими и
импульсными функциями. Они должны быть локализованными как во
временной, так и в частотной области представления. Однако при
проектировании таких функций сталкиваются с принципом
неопределенности, связывающим эффективные значения длительности
функций и ширины их спектра. Чем точнее локализация временного
положения функции, тем шире ее спектр, и наоборот. Отличительной
особенностью вейвлет-анализа является то, что в нем можно
использовать семейства функций, реализующих различные варианты
соотношения неопределенности. Исследователь имеет возможность
гибкого выбора между ними и применения тех вейвлетных функций,
которые наиболее эффективно решают поставленные задачи.
Вейвлетный базис пространства L
2
(R), R(-, ), целесообразно
конструировать из финитных функций, принадлежащих этому же
пространству, которые должны стремиться к нулю на бесконечности. Чем
быстрее эти функции стремятся к нулю, тем удобнее использовать их в
качестве базиса преобразования при анализе реальных сигналов.
Допустим, что такой функцией является psi-функция t, равная нулю за
пределами некоторого конечного интервала и имеющая нулевое среднее
значение по интервалу задания. Последнее необходимо для задания
определенной локализации спектра вейвлета в частотной области. На
основе этой функции конструируется базис в пространстве L
9
2
(R) с
помощью масштабных преобразований независимой переменной.
k m,
Функция изменения частотной независимой переменной в
спектральном представлении сигналов отображается во временном
представлении растяжением/сжатием сигнала. Для вейвлетного базиса
это можно выполнить с помощью (t) => (amt), a = const, m = 0, 2, … , M,
т.е. путем линейной операции растяжения/сжатия, обеспечивающей
самоподобие функции на разных масштабах представления. Однако
конечность (локальность) функции (t) на временной оси требует
дополнительной независимой переменной последовательных переносов
или сдвигов функции (t) вдоль оси времени, т..е. (t) => (t + k), для
перекрытия всей числовой оси пространства R(-, ). C учетом обоих
условий одновременно структура базисной функции может быть принята
следующей:
(t) => (am t + k). (1.4)
Для упрощения дальнейших выкладок значения переменных m и k
примем целочисленными. При приведении функции (1.4) к единичной
норме получаем:
mk(t) = a
m/2
(amt+k). (1.5)
Отсюда следует, что произвольная функция пространства может
быть представлена в виде ряда, разложенного по базису mk(t):
s(t) =
Smk mk(t), (1.6)
где коэффициенты представления сигнала – проекции сигнала на новый
ортогональный базис функций, которые, как и в преобразовании Фурье,
определяются скалярным произведением
Smk = s(t), mk(t) =
s(t)mk(t) dt. (1.7)
При выполнении этих условий базисная функция преобразования
(t) называется ортогональным вейвлетом.
Простейшим примером ортогональной системы функций такого типа
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]