Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вейвлет-преобразования в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
… V
-1
V
0
V
V
1
… V
2
m
V
m+1
….
«Размеры» подпространств непрерывно расширяются по мере роста
значения m, а объединение всех подпространств в пределе дает
пространство L
2
(R), при этом подпространства не пересекаются.
2. Для любой функции s(t) Vm ее масштабное преобразование по
аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:
s(t) Vm s(2t) V
, s(t) Vm s(t/2) V
m+1
. (4.8)
m-1
3. Для пространства V0 существует phi-функция (t) V0,
целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют
ортонормированный базис пространства V
= (t-k), k I (k = 0, ±1, ±2, ...). (4.9)
0,k
:
0
Функция (t) – скейлинг-функция.
Из условий 2 и 3 следует, что если пространство V
ортонормированный базис
, то и все остальные пространства также
0,k
имеет
0
имеют ортонормированные базисы, которые образуются масштабным
преобразованием базиса
(t) = 2
m,k
Например, если
:
0,k
m/2
(2mt-k), m,k I. (4.10)
(t) = 1 на интервале [0, 1) и
0,k
(t) = 0 вне этого
0,k
интервала, то целочисленные сдвиги этой функции попарно
ортогональны и пространство V0 состоит из функций, имеющих
постоянные значения на интервалах вида [k, k.+.1), V1 – из функций,
постоянных на интервалах [k/2,(k.+.1)/2), V-1 – из функций, постоянных
на интервалах [2k, 2k + 1), и т.д.
Условия 1 и 2 гарантируют, что если сигнал s(t) принадлежит
пространству Vm, то одновременно он входит и в пространство V
m+1
, и
вместе с ним в этом пространстве находится и сигнал s(2t). Увеличение
номера пространства позволяет изучать все более и более мелкие детали
и особенности сигнала с более высокочастотными компонентами (как
под микроскопом).
41
Все три условия в совокупности позволяют разложить
2
2
12M0
k
произвольный сигнал s(t) L
2
(R) по подпространствам Vm, т.е. на
множество разномасштабных и ортогональных друг другу функций
sm(t)Vm, весовая сумма которых дает исходный сигнал s(t) или
аппроксимирует сигнал с определенной точностью в зависимости от
ограничения количества значений масштабирующего коэффициента m (и
соответственно количества подпространств V
ортогональными проекциями сигнала s(t) на подпространства V
). Функции sm(t) являются
m
.
m
Масштабирующая функция. Для того чтобы задать КМА,
достаточно знать только одно из подпространств Vm, остальные
определятся уравнением (4.10). Допустим, что это подпространство V0,
состоящее из сигналов, заданных «с разрешением 1». Тогда в
пространстве Vm задаются сигналы с разрешением 2
m
, и оно отличается
от V0 только перемасштабированием базисной функции в соответствии с
(4.10). Так, если пространство V0 имеет скейлинг-функцию 0(t), то
соответствующее уравнение для скейлинг-функции 1(t) пространства V1
определяется выражением
Поскольку V
V1, то функцию
0
(2t - k).
(t) можно представить линейной
0
комбинацией сдвигов функции 1(t) (c учетом ее более компактного
носителя) с определенными весовыми коэффициентами hk. Так, для
скейлинг-функции Хаара, имеющей прямоугольное окно, каждая
функция
(t) образуется суммой двух последовательных функций m(t)
m-1
с соответствующим коэффициентом для сохранения единичной нормы. В
общем случае носитель функции может иметь произвольный размер с
числом отсчетов 2М (в единицах k), при этом уравнение линейной связи
базисных функций пространств записывается в следующем виде:
(t) =
hk(2t - k). (4.11)
Это уравнение называется масштабирующим. Решение этого
уравнения и дает скейлинг-функцию, которую иногда называют
42
«отцовским» вейвлетом.
k
2
Ik
При дискретных значениях параметров сдвига масштабирующий
вейвлет также дискретен и при задании функции (t) на конечном
интервале имеет конечное число коэффициентов hk, отличных от нуля.
Условие нормировки масштабирующих коэффициентов:
(t) dt = 1, (4.12)
откуда следует:
(hk)2 = 1. (4.13)
Базисный вейвлет. Если скейлинг-функция установлена, то
базисный («материнский») вейвлет определяется по формуле:
(t) =
gk = (-1)k h
gk (2t - k). (4.14)
. (4.15)
2M-1-k
Простейший и самый короткий вейвлет соответствует M=1.
Именно этот вейвлет и известен как вейвлет Хаара. В
функциональном анализе он применяется с 1910 года.
Масштабированные и смещенные версии скейлинг-функции и
«материнского» вейвлета выражаются следующими отношениями:
= 2
= 2
m,k
m/2
(2mt - k) – скейлинг-функция.
m/2
(2mt - k) – вейвлет Хаара.
m,k
Вейвлет Хаара знакопеременен, при этом
(t) dt = 0.
Условие знакопеременности является общим условием для всех
«материнских» вейвлетов, которое обеспечивает безусловную
устойчивость базиса при восстановлении исходного сигнала. Это условие
в сочетании с локальностью задания и породило термин «короткой
волны» (или «всплеска», который иногда применяется в российской
терминологии).
43
4.5. Вейвлетные ряды
k
k,mm
t
t
k
Разложение функций на вейвлетные ряды на заданном уровне
разрешения m' выполняется по формуле:
s(t) =
c
m',k m',k
+
d
m,k m,k
. (4.16)
Значения коэффициентов (которые обычно называют суммами и
разностями) определяются соотношениями:
c
=
=
s(t)
s(t)
m,k
d
m,k
(t) dt,
m,k
m,k
(t) dt.
На практике значения коэффициентов определяются с помощью
быстрого вейвлет-преобразования, которое будет рассмотрено ниже.
Первая сумма в (4.16) содержит усредненные (с весовыми
функциями
[k·2-m, (k+1)·2
) значения функции s(t) по диадным интервалам
m,k
-m
], вторая – значения флюктуаций на данных интервалах.
По мере возрастания значения m длина интервалов уменьшается и
уровень детализации (разрешения) функции s(t) увеличивается. На самом
детальном уровне (m.=.m
=.M) ряд представлен только скейлинг-
max.
функцией и в пределах точности разложения практически совпадает с
исходной функцией:
s(t) =
c
M,k
,k.
На низшем уровне разрешения (на наиболее широких интервалах)
первая сумма ряда (4.16) содержит всего одно усредненное взвешенное
значение сигнала, а вторая сумма показывает флюктуации на всех без
исключения уровнях. При каждом увеличении номера (значения)
масштабного коэффициента m на 1 (m.=.0,.1,.2,.….M) число членов
первой суммы ряда (4.16) увеличивается на 1, а второй суммы на 1
уменьшается при сохранении общего числа членов разложения. Числовой
ряд на каждом из уровней является «истинным» представлением сигнала
с тем же объемом информации, но только в другом (вейвлетном)
44
математическом представлении. Формально процедуру разложения
m
k
можно продолжить и на уровни m < mo, при этом для конечных сигналов
L2-норма будет стремиться к нулевой и соответственно к нулю будет
стремиться среднее значение функции s(t), т.е. первый член выражения
(4.16). Именно поэтому вейвлет-преобразованием сигнала очень часто
называют полную комбинацию рядов только второй суммы (4.16),
дающей представление о локальных особенностях и флюктуациях
сигнала на всех уровнях разрешения. Это обычно и является предметом
вейвлет-анализа.
Таким образом, выражение (4.16) показывает возможность
аппроксимации любой произвольной функции s(t) набором простых
локальных функций
(t) и
m,k
(t), ортогональных на разных уровнях
m,k
значений m и полностью покрывающих пространство L2(R) за счет
смещений k. Переход от m к m+1 эквивалентен замене t на 2t, т.е.
перемасштабированию функций
(t) и
m,k
(t). Первая сумма – сумма
m,k
скейлинг-функций – дает «сглаженные средние» значения функции s(t)
на разных масштабных уровнях, вторая сумма вейвлетных функций
добавляет к «грубой» аппроксимации сигнала все более подробные
детали на все меньших масштабных интервалах.
Ортонормальный базис. Функции
(t) образуют
m,k
ортонормальный базис пространства Vm. При переходе из пространства
V
в пространство Vm от пространства V
m+1
Wm функции
(t) – подпространство вейвлетов. Т.е. пространства V
m,k
отделяется подпространство
m+1
m+1
могут быть представлены в виде суммы подпространств:
V
= Vm Wm, m I.
m+1
В пределе с учетом свойства ортогональности пространств:
V
Пространства W
котором вейвлеты
=
m+1
образуют взаимно ортогональный набор, в
m
(t) формируют ортонормальный базис при любом
m,k
Wk.
45
Рис. 4.8. Графическое
представление
разложения
заданном значении m.
Физический смысл процесса разложения
пространств, графическое представление которого
приведено на рис. 4.8, достаточно прост. Исходное
пространство (V
на рисунке) является
m+1
пространством сигналов и функций с определенным частотным
диапазоном. При разложении сигнала в пространство W
высокочастотные составляющие пространства V
, а в пространстве V
m+1
отделяются
m
m
остаются его низкочастотные составляющие. С этих позиций функции
(t) и
m,k
(t) играют роль высокочастотного и низкочастотного фильтров.
m,k
4.6. Вейвлетное сжатие информации
Наиболее распространенный спектральный метод, применяемый в
JPEG, основан на Фурье-преобразовании сигнала.
Преимущество вейвлет-сжатия перед JPEG – вейвлет преобразует
полное изображение, а не его отдельные фрагменты и поэтому позволяет
получить качественное изображение при коэффициенте сжатия до 100.
При высокой степени сжатия вейвлет-сжатие может давать искажение,
имеющее вид колебаний вблизи резких границ. Однако такие искажения
меньше бросаются в глаза, чем мозаика, создаваемая JPEG. При
вейвлетном сжатии используется стратегия просмотра базы данных в
изображениях, в которых запрос – или изображение с низким
разрешением, полученное с помощью сканера, или грубый набросок
искомого изображения, нарисованный пользователем.
Таким образом, вейвлет-сжатие изображений работает с полным
изображением, а не с его фрагментами. Использовать вейвлеты для
преобразования пикселей можно двумя способами. Чтобы получить
стандартное разложение, сначала применяется одномерное вейвлет-
преобразование каждой строки пикселей. Эта операция дает среднее
значение и уточняющие коэффициенты для каждой строки. Затем
46
просматриваются преобразованные строки так, если бы они сами
)(),...,(
1
xuxu
m
m
i
ii
xucxf
1
)()(
m
cc ,...,
1
m
cc ,...,
1
mm
m
)(xf
)(xf
2
L
m
cc ,...,
1
являлись изображением, и можно применить одномерное преобразование
к каждому столбцу. Полученные значения окажутся уточняющими
коэффициентами, за исключением единственного коэффициента,
представляющего общее среднее значение.
Нестандартное разложение – чередование операций над строками и
столбцами. Сначала – этап горизонтального попарного усреднения и
нахождения разности значений пикселей в каждой строке изображения.
Затем – попарное усреднение и нахождение разности для каждого
столбца. Чтобы закончить преобразование, рекурсивно повторяем
процесс только на квадрантах, содержащих средние значения в обоих
направлениях.
Одномерное вейвлет-сжатие. Цель сжатия – выразить исходный
набор данных через меньший набор данных с потерей информации либо
без потери. Предположим, что имеется функция f(x), выраженная через
взвешенную сумму базисных функций
:
Набор данных в этом случае состоит из коэффициентов
Необходимо найти какую-нибудь функцию, аппроксимирующую f(x), с
меньшим числом коэффициентов, для этого необходимо воспользоваться
другим базисом. Одна из постановок задачи сжатия может заключаться в
таком упорядочении коэффициентов
первые
приближение
элементов последовательности давали наилучшее
к
.
Вейвлет-сжатие изображения с использованием
, чтобы для каждого
-нормы можно
.
.
свести к трем следующим этапам:
1) вычисление коэффициентов
, представляющих
изображение в нормированном двумерном базисе Хаара;
47
2) расположение коэффициентов в порядке уменьшения их
)(
,...,
)1( m
cc
2
L
mm
m
mi
i
c
1
22
)
)(
(
значений для формирования последовательности
3) при заданной допустимой
-погрешности и начальном
нахождение наименьшего m, для которого
;
.
При работе с цветными растровыми изображениями вейвлет-
преобразование и сжатие реализуются для каждого цветового канала
отдельно. Поскольку восприятие человека более чувствительно к
изменениям яркости и менее чувствительно к изменениям цвета, мы
можем повысить порог отсечения коэффициентов Т (или погрешность ),
повысив таким образом степень сжатия.
Кодирование нуль-деревом. При получении массива с большим
числом нулевых элементов необходимо представить в сохраняемой
структуре данных только значащие коэффициенты. Эффективным
решением этой задачи является использование так называемого нуль-дерева.
Данный способ учитывает взаимосвязи между коэффициентами из
различных уровней. Области с большими значениями коэффициентов
повторяют от уровня к уровню свои очертания и местоположение. Они
появляются вокруг контуров в исходном изображении. Этот процесс
примерно повторяется на всех уровнях декомпозиции, что и приводит к
визуальной «похожести» различных уровней.
Корневой узел дерева, приведенного на рис. 4.9, представляет
коэффициент массива с координатами [0, 0] и имеет три отпрыска. Узлы
дерева соответствуют вейвлет-коэффициентам масштаба, равного их
высоте в дереве. Каждый из узлов имеет четыре отпрыска,
соответствующих вейвлет-коэффициентам предыдущего уровня и того
же пространственного разложения. Узлу (i,.j) соответствуют отпрыски с
координатами (2i,.2j), (2i,.2j.+.1), (2i.+.1,.2j), (2i.+.1,.2j.+.1). Низом дерева
являются листьевые узлы, не имеющие отпрысков.
48
Рис. 4.9. Зависимости между коэффициентами различных уровней вейвлет-разложения
Кодирование нуль-деревом основано на наблюдении, что если
коэффициент мал, его отпрыски на дереве зачастую тоже малы. Дерево
или субдерево, которое содержит только незначимые коэффициенты,
называется нуль-деревом. Таким образом, большие серии нулей
заменяются одним – корнем нуль-дерева. При этом длину серии
передавать не надо, так как известна высота нуль-дерева.
Недостатком алгоритма является способ порождения и
распознавания нуль-деревьев. Если коэффициент мал, то скорее всего его
потомки будут малы, но может быть, и нет. В случае если это не так,
обнуляются значимые коэффициенты, что ведет к большим искажениям.
Метод, свободный от этого недостатка, называется алгоритмом
вложенного нуль-дерева (Embedded Zerotree Wavelet coder – EZW).
Данный кодер основан на передаче ненулевых данных и так называемой
карты значений. Для кодирования карты значений используется
двухбитный символ (рис. 4.10). Этот символ может быть «» – знак
вейвлет-коэффициента; «изолированный ноль» – показывает, что
вейвлет-коэффициент нулевой, но имеет ненулевых потомков; «корень
нуль-дерева» – показывает, что вейвлет-коэффициент нулевой вместе со
всеми вейвлет-коэффициентами данной пространственной области из
предыдущих уровней преобразования. Сканирование коэффициентов
производится от предков к потомкам.
49
Рис. 4.10. Порядок сканирования коэффициентов
В результате работы кодера получаются две структуры данных:
карта значений и карта модулей значимых коэффициентов (знаки
коэффициентов сохраняются в карте значений). Таким образом, объем
сжатых данных равен сумме объемов карты значений и карты модулей
значимых коэффициентов (карты данных). Далее карта модулей
значимых коэффициентов квантуется и сжимается. Квантование
необходимо для приведения уточняющих коэффициентов к
целочисленным значениям для уменьшения объема сохраняемой
информации. Метод кодирования нуль-деревом действителен только для
нестандартного вейвлет-преобразования.
Библиографический список
1. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. – М.: Техносфера, 2004.
2. Нагорнов О.В. Вейвлет-анализ в примерах. – М.: Изд. МИФИ, 2010.
3. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002.
4. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. – СПб.: Питер, 1999.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]