Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Вейвлет-преобразования в информационных системах. Учебное пособие
.pdf
Цветовая гамма спектра соответствует естественному цветоряду от
красного с большими значениями к фиолетовому с малыми значениями
коэффициентов.
На сечениях спектра видно, что свертка единичных импульсов с
разномасштабными вейвлетами повторяет форму вейвлетов, как это и
положено при операции свертки. Линии максимальных экстремумов
(«хребты», «долины») с минимальными значениями определяют
временное положение импульсов, а боковые экстремумы
противоположной полярности образуют характерные лепестки в конусе
угла влияния, который явно выражен.
Аналогичный характер спектра сохраняется и для любых
локальных неоднородностей на сигналах в форме пиков (рис. 4.2) со
смещением максимумов (минимумов) коэффициентов с.(a, b) со значений
а = 1 в область больших значений 'а' (в зависимости от эффективной
ширины пиков).
Рис. 4.2. Преобразование функций Лапласа
На рис. 4.3 приведен спектр функций Гаусса. При сглаживании
вершин пиковых неоднородностей форма цветовых конусов также
сглаживается, но «хребтовые» («долинные») линии достаточно точно
фиксируют на временной оси положение центров локальных
неоднородностей.
Рис. 4.3. Преобразование функций Гаусса
31
На рис. 4.4 приведены спектры двух разных по крутизне перепадов
постоянных значений функции. Центры перепадов фиксируются по
переходу через нуль значений коэффициентов c.(a,.b), а крутизна
перепадов отражается в основном на значениях функции c.(a,.b) при
малых значениях параметра 'а'.
Рис. 4.4. Преобразование перепада постоянного значения функций
При изломах функций спектрограммы уверенно фиксируют место
изломов максимумами (минимумами) значений коэффициентов c.(a,.b),
как это показано на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Преобразование изломов функций
При наложении на такие функции шумов точное определение места
изломов по масштабным сечениям на малых значениях параметра 'а'
становится невозможным, однако на больших значениях параметра 'а'
такая возможность сохраняется, естественно с уменьшением точности
локализации. Аналогичный характер имеет влияние шумов и на другие
локальные сигналы, показанные на рис. 4.6, и если спектральные
32
особенности сигналов достаточно глубоки по диапазону значений
параметра 'а', то остается возможность идентификации этих локальных
сигналов и их места на временной оси.
Разделение гармонических функций на масштабной оси спектров, в
том числе при наложении сильных шумовых процессов, приведено в
примерах на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Преобразование гармонических функций
Приведенный пример имеет чисто иллюстративный характер, так
как для выделения гармонических процессов с постоянной частотой во
времени целесообразно использовать спектральный анализ и частотные
полосовые фильтры. Тем не менее, для локальных сигналов типа
модулированных гармоник вейвлет-спектры достаточно хорошо
показывают место их локализации на временной оси.
При наложении синусоидальных сигналов на тренд вейвлет-
преобразование на больших масштабах позволяет достаточно уверенно
выделять характерные особенности тренда. Пример выделения изломов
тренда приведен на рис. 4.7.
33
Рис. 4.7. Преобразование суммы трех сигналов
Форма вейвлета (четность или нечетность), доминирующая частота
и степень ее локализации существенно влияют на вейвлет-спектры
анализируемых сигналов и на возможности выделения его локальных
особенностей.
При анализе произвольных сигналов использование разнотипных
вейвлетов позволяет повысить достоверность выделения локальных
особенностей сигналов.
4.2. Вейвлетный кратномасштабный анализ
Вейвлеты произвели революцию в области теории и практики
обработки нестационарных сигналов. Они применяются для
распознавания образов при обработке и синтезе сигналов. Большое
развитие получила практика применения вейвлетов для решения задач
сжатия и обработки изображений. Вейвлеты связаны с
кратномасштабным анализом сигналов. Они могут быть ортогональными,
полуортогональными и биортогональными.
Многие изображения не сжимались старыми методами, хотя
обладали явной избыточностью. Это привело к созданию новых типов
алгоритмов, сжимающих изображение с потерей информации, где можно
34
задавать коэффициент архивации и степень потери качества. При этом
Разрешение
Среднее значение
Уточняющие коэффициенты
4
[9, 7, 3, 5]
2
[8, 4]
[1 -1]
1
[6]
[2]
достигается компромисс между размером и качеством изображения.
Наиболее распространенный метод сжатия в формате JPEG основан на
преобразовании Фурье-сигнала и представляется в виде набора
гармонических колебаний с различными частотами и амплитудами.
Преимущества метода вейвлет-сжатия в том, что вейвлет преобразует
полное изображение, а не его фрагменты и позволяет получить
качественное изображение при больших коэффициентах сжатия.
Рассмотрим принцип сжатия изображения путем вейвлетпреобразования Хаара для одномерного случая.
Допустим, имеется одномерное изображение со следующими
значениями пикселей: 9, 7, 3, 5. Изображение можно разложить по базису
Хаара путем следующего вейвлет-преобразования.
Попарное усреднение пикселей и следующих значений пикселей:
(9 + 7)/2 = 8, (3 + 5)/2 = 4 => [8, 4].
Эта операция привела к потере информации. Чтобы восстановить
значения пикселей, нужны уточняющие коэффициенты, хранящие эту
информацию. Рекурсивное повторение процедуры дает полное
разложение:
Можно определить исходное преобразование: [6 2 1 -1].
Данный метод есть метод блока фильтров. Произвольный
информационный сигнал в теории цифровых рядов – сумма разнотипных
составляющих, а именно: средних значений по большим интервалам,
циклических компонент с определенным периодом повторения и
локальных особенностей, т.е. резких изменений в определенные
моменты, а также флюктуаций значений более высокого порядка (шумы).
35
Инструментом разделения сигналов на такие составляющие
(декомпозиции), анализа их порядка и реконструкции сигналов из
определенных составляющих является кратномасштабный анализ (КМА).
Понятие КМА (Multiresolution analyses) является фундаментальным в
теории вейвлетов. Это связано с тем, что КМА позволяет вычислять
каскадный алгоритм, подобный быстрому преобразованию Фурье.
4.3. Принципы кратномасштабного анализа
Простейшие методы КМА без всякой теоретической базы,
использовались при обработке числовых данных уже достаточно давно.
Рассмотрим один из таких методов на практическом примере анализа
гистограмм, который выполняется функцией Хаара, в дальнейшем
получившей название вейвлета Хаара.
Допустим, что мы анализируем определенную зависимость s(x) на
интервале 0 ≤ х ≤ 1, представленную измерениями в 16-ти точках с
равномерным интервалом дискретизации данных x = 1/16 = 1/2m при
m = 4.
Математически эту функцию, если принять ее отсчеты
усредненными на интервале x, можно представить в виде ряда с
разложением по системе базисных функций – ортонормированных
функций
длительностью x=1/2
(x), образованных прямоугольным весовым окном
m,k
m
. Ортогональность этих функций обеспечивается
последовательным сдвигом функций относительно друг друга на
величину x. Ортогональность базисных функций является обязательным
условием КМА, обеспечивающим возможность обратной реконструкции
сигнала. К таким функциям относится и скейлинг-функция вейвлета
Хаара, форма которой соответствует прямоугольному весовому окну и
может быть записана в следующем виде:
(x) = р·.(2m x - k), (4.2)
m,k
36
где р.=.2
xk
xk
)1(
15
0 k
m/2
– коэффициент нормирования, который обеспечивает
единичную норму скейлинг-функции. Аргумент функции записан в
общей форме непрерывной переменной 'x', что позволяет использовать
это выражение и для анализа непрерывных сигналов s(x). Числовой ряд
разложения при m.=.m
обычно называют нулевым уровнем
max
декомпозиции сигнала, так как он представляет собой усредненные
значения сигнала в минимальном окне скейлинг-функции и является
уровнем максимального разрешения сигнала (x по аргументу 'x' при
максимальном значении m). Изменением значения x и общего
количества отсчетов N.=.2m на интервале задания сигнала можно
устанавливать максимальное количество m уровней разложения
непрерывного сигнала.
При сдвиговой ортогональности прямоугольных базисных функций
прямое преобразование (проекции сигнала на базис) для непрерывных
сигналов выполняется по формуле:
c
= (1/p)
m,k
s(x)·(2m x - k) dx. (4.3)
Пример декомпозиции сигнала
В данном случае для
дискретного задания функции по
интервалам x.=.1/2m нулевой уровень
декомпозиции сигнала (максимальная
детализация) соответствует m = 4.
Восстановление сигнала с
четвертого уровня декомпозиции
соответственно выполняется по
формуле реконструкции:
s
(4, x) =
.
r
c
4,k·4,k
(x). (4.4)
37
Восстановление исходной непрерывной функции сигнала s(x)
7
0 k
7
0 k
скейлинг-функцией Хаара возможно только с определенной
погрешностью, так как скейлинг-функция – константа шириной x, на
которую умножается соответствующее значение c
и распространяется
4,k
на весь интервал kx.-.(k.+.1)x. Что касается дискретных сигналов
данного примера, то значения sr.(kx) полностью повторяют значения
s.(kx).
Скейлинг-функции вейвлетов называют также
аппроксимирующими или масштабными функциями, а сами
коэффициенты, выделенные скейлинг-функциями,.– .аппроксимирующими.
Кроме аппроксимирующих коэффициентов c
из исходной
m,k
гистограммы могут быть выделены также коэффициенты изменения
сигнала в пределах нового интервала усреднения, т.е. коэффициенты
разности значений первой и второй половины интервала:
d
= (1/2)·(c
m-1,k
m,2k
- c
m, 2k+1
). (4.5)
Для математического отображения учета детализирующих
коэффициентов важно отметить, что в первой половине интервала при
m.=.3 они складываются с детализирующим коэффициентом, а во второй
половине – вычитаются. Для математического отображения этой операции
вводится функция :
(x) = р·(2m x - k), p = 2
m,k
m/2
. (4.6)
Обеспечивается сдвиг по координате синхронно со скейлинг-
функцией с такой же нормировкой амплитудных значений (4.6).
Эта функция является ортонормированным базисом разложения
детализирующих коэффициентов. Именно эта функция в связи со своей
формой и получила название вейвлета. С ее использованием уравнение
(4.4) приводится к следующей форме (m = 3, 2m - 1 = 7):
sr(3, x) =
Как и значения коэффициентов c
c
3,k·3,k
(x) +
38
d
3,k·3,k
(x). (4.7)
, значения детализирующих
m,k
коэффициентов или вейвлетов могут вычисляться с заменой скейлингфункции вейвлет-функцией.
На рассмотренном примере можно выделить характерные
особенности нового представления сигнала.
Общее количество коэффициентов разложения равно количеству
отсчетов исходного сигнала (условие необходимости и
достаточности сохранения в новом математическом представлении
исходного объема информации).
Вейвлет и его скейлинг-функция должны иметь однозначную связь.
Это определяется тем, что разложение сигнала может быть
выполнено с использованием только скейлинг-функции, а
детализирующие коэффициенты – определяться по разности
m и m.+.1 уровней аппроксимации и наоборот.
Значение с0 представляет собой среднее значение исходного
сигнала по интервалу его задания. Для центрированных сигналов
это значение равно нулю. При выполнении разложения без
скейлинг-функции картина детальных особенностей
нецентрированных сигналов остается без изменений, но полная
реконструкция сигнала невозможна. Без значения c
0·0
(x) при
полном разложении сигнал центрируется, при реконструкции по
другим масштабам искажается за счет отсутствия коэффициентов c
m,k
Увеличение масштабного значения m разложения соответствует
возрастанию временного разрешения сигнала (1/2
m
).
Коэффициенты вейвлет-преобразования вскрывают
.
флюктуационную структуру сигнала на разных масштабах и в
разных временных точках. Приведенный простой пример нетрудно
расширить на любой произвольный сигнал с произвольной
длительностью и с произвольным временным разрешением,
разложение которого может осуществляться до определенного
уровня m аппроксимации сигнала по низкочастотным
39
составляющим и с детализацией локальных высокочастотных
особенностей сигнала на разных масштабных уровнях. В областях
«гладких» значений сигнала коэффициенты детализации d близки к
нулевым и ими можно пренебречь, что позволяет весьма
эффективно осуществлять сжатие информации для хранения.
Реконструкция сигнала возможна по любому масштабному уровню
разложения, все особенности сигнала сохраняются без искажений с
временным разрешением первого вейвлета (с минимальной
шириной окна).
При вейвлет-анализе произвольных сигналов выбор
анализирующего вейвлета не определен заранее и во многом зависит от
поставленных задач.
4.4. Математические основы кратномасштабного анализа
Разложение сигнала на сумму аппроксимирующих и
детализирующих составляющих производится с использованием
ортогональных и биортогональных вейвлетов, которые отличаются
возможностью реконструкции как локальных особенностей сигналов, так
и сигналов в целом. Именно на таких вейвлетах выполняется быстрое
вейвлет-преобразование. К недостаткам ортогональных и биортогональных
вейвлетов можно отнести отсутствие у них какого-либо вида симметрии
и реализацию итерационными формулами (за исключением вейвлета Хаара).
При выполнении КМА пространство сигналов L2(R) представляется
в виде системы вложенных подпространств Vm, отличающихся друг от
друга перемасштабированием независимой переменной.
Исходные условия кратномасштабного анализа можно
сформулировать следующим образом:
1. Пространство сигналов L
2
(R) может быть представлено в виде
последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств
соответствующих уровней декомпозиции сигнала:
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]