Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Векторная алгебра и аналитическая Геометрия. Учебно-методическое пособие
.pdf
Решение. Решая систему уравнений
012
01843
yx
yx
)3,2(
)3,2(M
1
N
2
N
,
находим, что пара чисел является решением
системы. Следовательно, точка есть точка
пересечения прямых.
Если прямые пересекаются, то можно поставить
вопрос об угле под которым они пересекаются. При этом,
если прямые пересекаются не под прямым углом, то
можно говорить об остром и тупом угле между прямыми.
Как видно из рисунка , если векторы нормалей к
прямым и образуют острый угол, то угол между
ними равен острому углу между прямыми. Если же эти
векторы образуют тупой угол, то угол между ними равен
тупому углу между прямыми. Если прямые заданы
уравнениями, то из уравнений можно найти координаты
181
векторов и . Тогда косинус угла между этими
1
N
2
N
0cos
0cos
o
180
векторами можно найти по формуле
.
При этом, если , то угол между векторами
равен
острому углу между прямыми. Если же
, то угол между векторами равен тупому углу между
прямыми. Зная острый угол между прямыми, можно
найти тупой угол между прямыми и наоборот, так как
углы и связаны соотношением .
Если задать цель- найти острый угол между
прямыми, то для этого можно воспользоваться формулой
В самом деле, если векторы
угол, то
. В этом случае
и
образуют острый
.
182
Если же векторы
042 yx
073 yx
векторы
и
образуют острый угол, равный острому
и
образуют тупой гол, то
углу между прямыми. Тогда
Рассмотрим пример на нахождение угла между
прямыми.
Пример. Найти острый угол между прямыми
и
.
Решение. Векторы нормалей к прямым
и
.
Пусть - острый угол между прямыми. Тогда
Отсюда
183
и
равны
.
25
1
arccos
0 CByAx
),(
ooo
yxM
),(
111
yxM
d
o
M
Расстояние от точки до прямой
Получим формулу, выражающую расстояние от
заданной точки до заданной прямой.
Пусть на плоскости имеется прямая, заданная
уравнением
и точка , не лежащая на этой прямой.
Возьмем на прямой произвольную точку .
Тогда расстояние от точки до прямой, как видно из
рисунка, равно
184
где - нормаль к прямой. Используя
},{
111
yyxxMM
ooo
22
11
22
11
(
)()(
BA
ByAxByAx
BA
yyBxxA
d
oo
oo
),(
111
yxM
0
11
CByAx
11
ByAxC
d
полученную
выше формулу для проекции вектора на вектор
,
получаем
.
Так как
,
то
Поскольку точка лежит на прямой, то
есть верное числовое равенство. Отсюда
.
Тогда, с учетом этого, для расстояния получаем
формулу
185
.
22
BA
CByAx
d
oo
0 CByAx
0B
y
y
0B
x
x
0B
0 CByAx
B
0
B
C
yx
B
A
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Как установлено выше, уравнение любой прямой
на плоскости можно записать в виде
.
Ниже будем рассматривать только такие прямые, в
уравнении которых . Множество этих прямых
включает все прямые на плоскости за исключением
прямых, параллельных оси и прямой, совпадающей с
осью . В самом деле, если , то вектор нормали к
прямой коллинеарен орту оси , вектору
и, значит, прямая перпендикулярна оси .
Если , то обе части уравнения
можно разделить на . Тогда получаем
,
или
186
.
B
C
x
B
A
y
B
C
b
B
A
k ,
bkxy
bkxy
k
b
k
0324 yx
)2(
2
3
2 xy
Обозначим
.
Уравнение прямой принимает вид
.
Итак, уравнение любой не вертикальной прямой
можно записать в виде
,
где и - фиксированные числа. Параметр
называется угловым коэффициентом прямой. Уравнение
прямой, записанное в таком виде, называется уравнением
прямой с угловым коэффициентом.
Пример. Уравнение прямой имеет вид
.
Записать уравнение этой прямой в виде уравнения
прямой с угловым коэффициентом.
Решение. Разделив обе части уравнения на ,
получим после элементарных преобразований
.
187
bkxy
Ниже вводится понятие угла наклона прямой.
x
xAx
A
x
o
1800
x
y
0
L A
Опр. Пусть прямая на плоскости не параллельна оси
и пересекает ось в точке . Углом наклона прямой
называется угол, на который надо повернуть ось вокруг
точки против часовой стрелки до совмещения
спрямой.
Если прямая параллельна оси , то по определению
полагаем, что угол наклона прямой равен нулю. Угол
наклона прямой заключен в пределах
.
Пусть прямая задана уравнением с угловым
коэффициентом. Сформулируем в виде теоремы
утверждение о связи углового коэффициента с углом
наклона прямой.
Теорема. Пусть прямая задана уравнением
Пусть - угол наклона прямой. Тогда справедливо
равенство
188
x
0
2y1y1
x2x
y
B
C
D
)2;2(2yxM
)1;1(1yxM
ktg
o
90
tg
o
900
),(
111
yxM
),(
222
yxM
BCD
1212
, yyCDxxBD
Док-во. Заметим, что так как прямая не вертикальная,
то и значит определен. Рассмотрим сначала
случай , когда угол наклона острый, т.е.
.
Возьмем на прямой две точки и
как это показано на рисунке 42. Тогда в
прямоугольном треугольнике длины катетов равны
следующим значениям
.
Следовательно
189
.
12
12
xx
yy
BD
CD
tg
1
M
2
M
bkxybkxy
2211
,
k
xx
xxk
bkxbkx
tg
12
12
12
12
)(
)(
oo
18090
x
y
0
)1;1(1yxM
2
x
1x1y2
y
)2;2(2yxM
C
D B
Так как точки и лежат на прямой, то:
.
Отсюда
.
Рассмотрим теперь случай , когда
.
190
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]